核心素養導向下的生長課堂教學探究

在核心素養導向下的數學教學中，如何構建生長課堂一直是教師探索的方向.筆者近期參加了“基礎教育精品課\"遴選工作，做了“數學歸納法”的課例展示.本文將詳細闡述此次教學實踐的設計思路與感悟心得，為數學教學中核心素養的落地與生長課堂的構建提供思考范例.

1教學分析

1.1內容解析

“數學歸納法”是蘇教版《普通高中教科書數學選擇性必修第一冊》第4章的內容，在論證涉及自然數的命題時，數學歸納法是一種常用的手段.數學家華羅庚曾說：“數學歸納法意義重大，不但有助于攻克高等數學的學習難關，利于洞察數學本質，還能有效引導我們深入思考.”

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以下簡稱“課程標準\"對“數學歸納法\"的要求是“了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明數列中的一些簡單命題”[盡管課程標準針對數學歸納法的教學要求并不高，但是在教學過程中，倘若僅僅讓學生機械地記住“兩步一結論\"這種固定的操作流程，而忽視引導學生領會其原理，那么學生對數學歸納法的認知就會停留在表面，僅僅知道怎么做卻不明白為何這樣做.如此一來，數學學科所追求的價值目標便難以達成，最終在學生的認知體系里就會淪為空洞的推理演練，喪失數學歸納法本應具有的深度與內涵，無法真正實現對學生數學學科核心素養與思維能力的有效培養.因此，本節課既要教操作步驟，更要教對原理的理解，這是因為學習數學歸納法，最有價值、最精彩的就是要學習一種思維方式.[2]

1.2學情分析

在學習數學歸納法之前，學生已有知識儲備.[3]他們對推理的相關知識有所掌握，對于自然數相關的命題也不陌生，已形成對自然數無限性的直觀感受，并且在數學證明表達上積累了一定的經驗.數學歸納法，從本質上來說，就是需要將逐個遞進、永無正境的遞推精煉地概括為有限的兩個步驟，從而為證明與自然數相關的命題提供一種高效且嚴謹的方法.事實上，學生在日常生活中，積累了很多“一個接著一個\"順序推進的實際經驗，也逐漸形成了對事物\"無限發展”的認知概念.[3在學習集合、函數、數列等數學知識后，更是進一步樹立起“借有限掌控無限”“以任意把握全體”的數學觀念.這些寶貴的知識基礎與豐富的經歷體驗，為數學歸納法的學習提供了絕佳的生長根基.基于此，本節課完全能夠開展一系列富有成效的探究活動，助力學生自主建構起關于數學歸納法的知識體系，讓學習過程充滿深度理解與意義.

1.3教學問題診斷

學生理解數學歸納法的困難之處在于以下幾點： ① 難以接受將無窮多步的推理簡化為有限步證明的思維轉變； ② 對于“先假定結論正確，進而去求證該結論依然正確\"這一方式，學生在數學意義層面上難以領會； ③ 無法清晰認識到數學歸納法中兩個步驟各自存在的不可或缺性； ④ 在遞推關系的證明環節，面臨著很多數學層面的阻礙與難題，難以順利推進.

2教學過程

2.1情境引入

情境1：法國數學家費馬（P.deFermat）是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極大的貢獻.因為他的本行是專業的律師，為了表彰他的數學造詣，世人冠以“業余王子”的美稱.費馬觀察到 2²⁰+1=3，2²¹+1=5，2²²+1=17，2²³+1= 257，2²⁴+1=65537 都是素數，于是猜想 F_n=2²ⁿ+ 1（n∈N） 都是素數.1732年，瑞士數學家歐拉（L.Eu-ler）發現費馬錯了！當 n=5 時， F₅=4294967297= 6700417×641

問題1費馬運用什么方法得到的結論？為什么會出現錯誤？

問題2既然歸納推理得到的結論不一定正確，那這種方法有沒有意義呢？

師生探究.

師：費馬運用歸納猜想的方法得到了結論.雖然發生了錯誤，但歸納法可以幫助我們發現一般的規律，促進科學的發展

【設計意圖】把費馬素數猜想的過程展現在學生面前，分析數學家所使用的數學思想方法，再現數學家的思維方式，從而幫助學生像數學家一樣思考問題，激發學生會學數學.

情境2：對于數列{an），已知a1=1，an+1=1+an（n∈N^* ）

問題3求出數列 a_n 的前4項，你能得到什么猜想？

問題4你的猜想一定正確嗎？

師生探究：通過對 n=1，2，3，4 前4項的歸納，學生可以猜想出其通項公式，但也有學生提出歸納推理得出的結論不一定成立，必須經過嚴格的證明

師：要證明這個猜想，同學們自然就會想到從n=5 開始逐一驗證，當 n 較小時可以一一驗證，但當n 較大時，逐個驗證起來會很麻煩，特別是證明 n 取所有正整數時，逐個驗證是不可能的.因此，我們需要尋求一種方法，通過有限個步驟的推導，證明 n 取所有正整數 n 都成立.

【設計意圖】通過經歷數列通項公式的歸納、猜想、驗證過程，體會研究“尋求通過有限個步驟的推理，去證明 n 取所有正整數都成立\"的必要性.通過學生自己發現問題，激發其求知的欲望，促使學生更加主動地學習，這正是生長課堂要追求的，

2.2學生活動

師：你見過多米諾骨牌游戲嗎？對我們解決本題有什么啟示？

教師通過PPT播放多米諾骨牌傾倒的動畫（如圖1）.

學生小組合作，探究思考“這項游戲中，要讓全部多米諾骨牌依次倒下，需滿足什么條件”

【設計意圖】多米諾骨牌游戲以直觀鮮活的形式，闡釋了抽象的數學歸納法原理，幫助學生更好地理解數學歸納法，這是學好數學歸納法原理的“先行組織者”.

師：為了回答這個問題，我們先來研究有限塊骨牌倒下的情況.請同學們小組討論，思考“如何保證10塊骨牌全部倒下？如何保證從第3塊開始的8塊骨牌全部倒下”

師：我們再來研究無數塊骨牌倒下的情況.請同學們小組討論，思考“如果有 n 塊骨牌，如何保證全部倒下呢”.

生：所有的骨牌都倒下需要滿足兩個條件： ① 第一塊骨牌必須倒下； ② 對于任意緊鄰的兩塊骨牌而言，前面一塊骨牌倒下，必然要引發后面一塊骨牌跟著倒下.

師：條件 ② 的作用是什么？能否用數學語言表述？

師生探究：條件 ② 事實上給出了一個遞推關系，換言之就是假設第 k 塊倒下，則相鄰的第 k+1 塊也倒下.

【設計意圖】從有限塊骨牌倒下到無限塊骨牌倒下的原因分析，經歷用數學語言表示“假設第 k 塊倒下，則相鄰的第 k+1 塊也倒下\"的過程.美國教育家布魯納（J.S.Bruner）的發現學習理論認為，“有指導的發現學習\"強調知識發生、發展的過程.通過類比多米諾骨牌的過程，學生能夠捕捉到數學歸納法的基本特征，這一學習方式體現了再創造的特性，屬于發現性學習，也是生長課堂需具備的.

2.3意義建構

師：數列通項公式 的猜想與多米諾骨牌游戲有相似性嗎？請同學們嘗試類比多米諾骨牌游戲解決這個問題.（1）從生活到數學.類比多米諾骨牌游戲原理，填寫表1.

（2）從特殊到一般.

類比通項公式為 的證明方法，填寫表2.

【設計意圖】從生活實例出發，遷移到數列通項公式 的證明方法，這是從生活到數學的過程.從數列通項公式 的證明，拓展到與正整數 n 有關命題的證明，這是從特殊到一般的過程.兩次遷移和拓展，讓數學歸納法原理呼之欲出.

2.4數學理論

問題5什么是數學歸納法？

師生探究：一般地，對于某些與正整數有關的數學命題，我們有數學歸納法原理.

（1）證明當 ）時命題成立，

（2）假設當 ）時命題成立，證明當 n=k+1 時命題也成立.

根據（1）（2）就可以斷定命題對于從 n₀ 開始的所有正整數 n 都成立.

這時，我們獲得了證明自然數相關問題的強大手段——數學歸納法.

【設計意圖數學歸納法本質上是一種演繹證明方法.它獨辟蹊徑，把原本無窮無盡的歸納過程巧妙地轉化為有限步的演繹操作.面對涉及自然數的命題，無論是進行證明、推理，還是深入探究，數學歸納法都堪稱是最有效的數學手段.

3教學反思

核心素養導向下如何構建生長課堂，這是我們一直在探索的問題.筆者認為核心素養導向下的生長課堂需要重視問題情境的創設、數學概念的建構、例題教學的思維展示和回顧反思環節的思想引領，讓學生在主動探索中理解和掌握數學知識，實現高效的\"生長教育”

3.1在創設問題情境中，體現學習新知識的必要性

問題情境大致可以分為兩類：一類是學生熟悉的現實生活情境，從中抽取出所要研究的數學模型，并進行抽象概括，提煉出共性數學特征；另一類是從數學知識內部發展、生成的現實情境，自然生成，符合學科發展需要.無論采用哪一類辦法，都要能夠讓學生萌生出對新知識的強烈渴求，切實體會到學習新知識的必要性，起到質疑激趣的功能.

在本節課中，通過呈現費馬素數猜想以及數列通項公式的歸納、猜想情境，讓學生經歷從歸納推理得出可能錯誤或需要進一步證明的結論，從而深刻體會到尋求一種有效證明方法（數學歸納法）的必要性，將學生置于主動探索新知識的情境之中.

3.2在建構新數學概念的過程中，體現新知識的生長性

找準新知識的生長點和培養基，“刨根問底”\"嚼得菜根”，深挖固著點，即解決新知識是從哪里來的問題，找到其邏輯上的起點.否則，新知識就像水中浮萍，隨波逐流.“萍水相逢，盡是他鄉之客”就是“無根的教學”4]，使得已有的認知結構和新知識無法建立起穩定的、持久的聯系，非常容易遺忘，不能夠建立起“新的認知平衡”.

本節課以學生已有的推理知識、對自然數命題的熟悉程度、對自然數無限性的感性認識以及對數學的證明表達能力為基礎，借助多米諾骨牌游戲這一形象的“先行組織者”，從有限塊骨牌倒下的條件類比到無限塊骨牌倒下的條件，進而遷移到數列通項公式證明以及與正整數 n 有關命題的證明，讓數學歸納法原理自然地從學生已有的知識經驗中生長出來，建立起與原有認知結構的緊密聯系.

3.3在新概念的意義建構環節中，體現內涵與外延的生成性

意義建構要讓學生充分地參與進來，讓學生不斷地參與活動，特別是思維活動，把學生的主體地位凸顯出來，讓學生在活動過程中積累學習的經驗，獲得需要的知識.這樣的教學才是最有效，也必定是最高效的.

在數學歸納法的意義建構過程中，教師先引導學生自主探究多米諾骨牌游戲中骨牌全部倒下的條件，然后讓學生類比到數列通項公式證明，從生活到數學，從特殊到一般，逐步構建起數學歸納法原理的內涵與外延，讓學生在親身參與和思考中深人理解數學歸納法的本質，而非單純記憶定義和步驟.

3.4在例題教學環節中，充分展示解題思路的建構性

例題教學是數學應用的重要標志.例題教學有“知其然”“知其所以然”“何由以知其所以然”三重境界，即怎么做、為什么這么做、怎么想到要這樣做的.例題教學要研究通解通法.通解通法就是解決這一類問題最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序.

在本節課的例題教學中，對于情境1，先讓學生嘗試用數學歸納法證明，然后展示典型錯誤的證明過程，引導學生反思錯因，深入探究數學歸納法證明時兩個步驟的作用與價值，讓學生明白每一步的必要性以及正確的操作方式，達到知其然且知其所以然的效果.情境2則進一步強化學生對數學歸納法證明步驟的理解，尤其是關鍵步驟中利用歸納假設和保證結構一致性的運用，掌握解決此類問題的通解通法，體會如何從已有的知識和方法出發構建解題思路.

3.5在回顧反思環節中，要突出化隱為顯的思想性

“編筐編籮，重在收口.\"在課堂小結環節中要把本節課概念學習、例題教學、鞏固訓練環節中蘊含的數學思想方法進行化隱為顯的挖掘、提煉、升華，讓學生積累數學學習活動的經驗、策略與智慧.

在本節課的回顧反思環節，通過引導學生回顧知識與技能、獲得的數學活動經驗，將本節課中蘊含的類比思想、從特殊到一般的思想、演繹推理思想等數學思想方法進行了明確的提煉，幫助學生梳理學習過程，積累數學學習的寶貴經驗，提升數學核心素養，使學生在本節課的學習中有更全面、深入的收獲和成長.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普遍高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M.北京：人民教育出版社，2020.

[2]喬愛萍.“數學歸納法”教學實錄與反思[J].中學數學月刊，2016（3）：6-9.

[3]賀育林.數學教學應讓學生領悟數學思想—以“數學歸納法”教學設計為例[J].上海中學數學，2017（6）：31-33.

4卓斌.“向量的加法”兩種教學過程的比較與思考J」中國數學教育，2015（8）：54-57.