基于構造法的高中數學解題策略研究

構造法具體是指在數學問題的處理過程中按照定向思維難以對問題進行有效處理的情況下，可以嘗試根據題目設置的條件以及題目結論的主要信息，從新的角度、新的觀點去觀察和分析數學問題，把握能反映數學問題中條件與結論之間內在關系的主要信息，基于數學問題的數據、坐標等特征，使用題干信息重點整理原有材料，應用所學數學知識和相關理論，通過思維構造的方式構造滿足條件或者結論的數學對象，使原有題目中隱藏的信息展現出來，從而有效解決數學問題.構造法在高中數學教學中的實踐應用，能有效鍛煉學生的思維能力，全面提高高中數學教學活動的整體質量.

1基于“構造法”的高中數學解題優勢

基于構造法的實踐應用能夠改變高中數學解題教學活動，促進學生解題思路的優化和解題能力的培養；能在教學實踐中提高學生的綜合學習能力，引導學生對數學問題進行高效的分析和處理，從而系統鍛煉高中生的數學綜合學習能力.基于構造法的實踐應用能在高中解題教學中展現出以下幾個方面的應用優勢.

其一，有助于鍛煉學生的思維能力.在高中數學教學中，構造法在解題實踐中的應用是多種多樣的，能通過構造函數、數列、方程、復數、圖形、向量、數學模型等方式對問題進行處理.高中數學問題非常靈活，教師要教導學生跳出框架式解題思維，靈活運用自己所學知識從不同的視角去思考數學問題，從而讓學生能夠自己尋找解題的思路，做到構造法的熟練運用.[1]

其二，有助于提高學生的解題效率.在高中數學解題訓練中，教師引導學生認真觀察數學問題的特點和題干信息與結論信息的關系，判斷如何應用構造法探尋解決問題的關鍵信息，并通過提煉和轉化關鍵信息另辟蹊徑處理問題，從而提高解題效率.例如，在證明 的過程中，就可以構造函數，通過設 完成對問題的轉化，先構造函數 ，然后以此為基礎對問題進行處理.通過構造函數，學生能高效率地解決數學問題，其綜合學習能力也能得到有效的培養.

其三，有助于培養學生的獨立學習能力.構造法的實踐應用，會有意識地鼓勵學生自主觀察題干內容和分析題干信息，引導學生在系統分析和解讀的基礎上對數學問題進行自主探究和處理，從而找到數學問題處理的技巧和方法.在此過程中，教師探索構造法的應用，能讓學生找到適合自己的數學學習方法和問題處理方向，從而引發學生對數學問題處理的深度思考，有效鍛煉學生在數學學習方面的綜合素質，保障高中生的解決問題能力、獨立學習能力不斷得到提升，為高中生在數學解題方面實現全面發展奠定基礎.

在高中數學解題教學實踐中，探索構造法的實踐應用，能培養學生創造性思維能力和發散性思維能力[2]，有效啟發學生對數學問題的深度思考和探究，從而讓學生在深度學習中保持積極的學習狀態，為高中階段學生對數學知識的深度探索創造良好的條件

2基于構造法的高中數學解題策略

構造法是高中數學解題中一種重要的方法，它可以使數學問題得到更加清晰的表現，也可以在一定程度上簡化問題.構造法的使用必須符合以下兩個條件：一是由若干條輔助線索所組成的題目，有一種\"由線串珠\"或“串珠為線\"的性質；二是輔助線索要具有一定的數目.高中數學解題中運用構造法能使問題得到更好解決，也能系統檢驗問題結果的正確性.下面就基于構造法的實踐應用對數學解題教學活動的開展進行細化分析.

2.1構造函數，提高數學解題思維能力

函數知識點是高中數學教學中比較重要的內容.教師在教學中通過構造函數的方式引發學生對數學問題進行系統的探索和分析，能讓學生在復雜的數學問題中，巧妙融入函數思想對問題進行處理，促使學生的解題能力和思維能力得到相應的鍛煉

例1已知 x，y，z∈（0，1） ，證明： x（1-y）+ y（1-z）+z（1-x）lt;1. （204號

解題思路：針對此類數學問題進行處理的過程中，教師指導學生觀察題干信息，能看到題目的條件和結論存在一定的對稱性，但是難以直接有效地證明，因此可以嘗試從構造函數的視角對問題進行處理.在證明此類數學問題時，教師可以引導學生先綜合分析題干信息，然后構造函數 f（x）=（y+z-1）. =x+（yz-y-z+1） ： y，z∈（0，1） ，因此能夠得到f（0）=yz-y-z+1=（y-1）（z-1）gt;0，f（1）= （y+z-1）+（yz-y-z+1）=yzgt;0 此時由于f（x） 是一次函數，函數圖象為直線，根據 x∈（0，1） 可以判斷出恒有 f（x）gt;0 ，那么就可以證明 （y+z- 1）x+（yz-y-z+1）gt;0 ，最終可以證明x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）lt;1 ，完成對數學問題的求解.

在此類數學問題中，通過構造函數的應用，就能對數學問題進行簡單化的處理.教師可以幫助學生重新整理題干信息和數量關系，讓學生在認真思考和分析的基礎上探索數學知識的多元化應用，通過構造函數完成對數學問題的系統轉化.

2.2構造方程，開發數學解題工具

方程是解決數學問題的重要工具，在高中數學教學中很多數學問題的處理都需要方程的支持.教師在教學活動中也可以組織學生觀察題干信息涉及的數量關系，通過構造方程快速找到解題思路，通過使用自變量和因變量這一概念進行解題.[3

例2已知 a，b，c 為互不相等的實數，證明：

解題思路：對于此類問題的處理，如果簡單地觀察信息會發現證明部分的內容比較復雜，存在無從下手的情況.此時為了能對數學問題進行高效化的分析和解決，教師就可以引導學生采用構造方程的方法，對數學問題進行有效的轉化.具體證明過程如下.

解析：構造

顯然 _a，b，c 為方程的三個互不相等的實根.從 而對任意實數 x 均滿足 令 x=0 ，得

在此數學問題中，基于構造方程的實踐應用，就能對數學問題進行簡單化的處理，并且學生可以比較清晰明了地分析解題的具體思路和過程，掌握思維轉換的技巧和方法.

2.3構造復數，簡化數學解題過程

在高中數學知識體系中，復數實際上是實數的延伸.為了提高學生解決數學問題的效率和效果，教師可以將一些無法有效理解的實數問題轉變為復數問題，通過構造復數的方式改變數的結構，有效促進學生對數學問題的深度思考.

例3已知 a，b，x，y 均為正實數，并且 x²+ y²=1 ，求證： a+b

解題思路：對于此類數學問題的證明，由于式子 相對比較復雜，學生在處理過程中無法找到解決問題的關鍵點.教師在解題訓練中指導學生將實數轉變為復數，表面上會使數學結構更加復雜，但實際上會讓數學解題的過程更加簡明化，從而提高學生解決問題的效率，加深學生對數學問題的理解.在具體證明過程中，可以通過設 z₁=ax+byi z₂=bx+ayi 的方式完成復數的構造，然后就能夠得到 ，這樣就能完成對不等式的證明，最終得到

在此類數學問題的處理過程中，通過構造復數的方式，能實現對數學問題的成功轉化，使學生可以系統地思考數學問題的處理技巧和處理方法，把復雜的數學命題簡化為易于理解和接受的形式，從而降低解題難度和復雜度，幫助學生在短時間內找到問題所對應的知識點和解題思路

2.4構造向量，展示全新數學證明方式

在高中數學解題訓練中，向量問題是比較常見的數學問題.教師通過構造法的應用帶領學生對向量問題進行處理，通過使用向量表示具體的等式結構，將原有題干信息進行變形處理，從而為學生提供全新的證明方式，使學生能從不同的視角理解和認識數學向量問題的處理技巧和方法，有效提高數學教學的整體質量.

例4已知 a，b，c 為正數，求函數 y= 的最小值.

解題思路：在對此類問題進行處理的過程中，由于給出的題干信息比較簡單，而函數式比較復雜，如果讓學生對問題進行系統的分析和處理，可能會浪費大量的解題時間，出現學生的解題正確率下降的情況.嘗試引入構造向量的技巧和方法，就能夠對原函數轉化處理，幫助學生找到有效處理問題的技巧.例如，構造向量 ，原函數進行轉化為 y=∣a∣+∣b∣?∣a+b∣= ，得到（20 ，從而完成對此類數學問題的求解.[7]

在處理此類問題的過程中，教師引導學生采用構造向量的方式，借助向量 完成對函數的轉化和處理，能夠充分利用問題中的條件和結論來構造出新的數學模型，完成對數學知識的系統解析，從而使學生可以通過特定的符號和函數分析數學問題，在深度思考的基礎上實現對數學問題的高效處理

2.5構造幾何圖形，引入數形結合模式

一般情況下，高中數學教學中涉及的代數問題整體比較抽象，學生對數學問題的處理存在一定的難度.適當的引入構造法對數學問題進行分析，將代數問題轉變為幾何圖形處理的方式，就能夠增強數學問題分析和處理的直觀性，在解決數學問題方面達到事半功倍的效果.學生對數學問題的理解能力也會明顯的提升.[4]

例5 求證：

解題思路：對于此類數學問題的處理，教師應該先帶領學生系統分析 的結構，然后嘗試從數形結合的角度構造橢圓方程，完成對數學問題的處理.這種將代數問題轉變為幾何圖形的方式，讓學生能夠直觀地分析題目中的已知條件和求證內容，從而使學生解決數學問題的能力得到顯著的提升.[5]在解決問題的過程中，可以先令 y= ，那么這個函數的圖象就是橢圓+=1的上半部分，此時可以設y-2x=m，只要證明 即可.因為 ψ_m 是直線 y= 2x+m 在 軸上的截距，因此結合圖象信息可以判斷，在直線 y=2x+m 過點 的情況下， Ω_m 有最小值且最小值是一. .在直線 y=2x+m 與橢圓上半部分相切的情況下， ψ_m 有最大值.根據{y=2x+m，可以得到13x2+4mx+m2-4=0.令Δ=4（52-9m²）=0 ，得到 或 m= （舍），那么在綜合分析和計算的基礎上就可以判斷 Ψ_m 的最大值為 ，因此可以得到 ，最終證明-

在處理此類數學問題的過程中，采用構造幾何圖形的方式，將代數問題轉變為圖形問題加以分析，使解題的過程更加清晰明了，提高解決數學問題的效率和正確率；使學生的數學學習能力和問題處理能力得到顯著的提升，可以為學生綜合素質的培養奠定堅實的基礎.

3結語

構造法是解題的一種重要方法，它可以使問題得到更加清晰的表現，也可以在一定程度上簡化問題，為學生解決數學問題提供良好的支持.因此，高中數學教師應該探索構造法的合理化應用，通過教學活動的改革創新展現構造法的應用優勢，引發學生對數學解題的新思考和新探索.唯有如此，才能充分展現構造法的應用價值，全面支持高中數學解題指導教學的創新推進，使學生的數學思維能力和解題能力得到高效的鍛煉，切實提升高中生數學整體學習的有效性.

參考文獻

[1]莊素慧.基于“構造法”的高中數學解題思路探索[J].數理化解題研究，2022（31）：55-57.

[2]張宏敏.應用構造法在高中數學中的解題策略[J].數理天地（高中版），2022（18）：49-51.

[3]劉海杰.構造法在高中數學解題中的運用措施分析[J].數理化解題研究，2022（12）：14-16.

[4]何應海.高中數學圓錐曲線問題中“構造法”的應用[J].數理化解題研究，2022（1）：86-87.

[5]王媛.淺析“構造法”運用在高中數學解題中的具體策略[J]數學學習與研究，2016（14）：129.