高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中雙曲線的題型解法

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容.教師會(huì)介紹圓、橢圓、拋物線和雙曲線的基本概念，包括定義、性質(zhì)和特征.圓錐曲線的定義是推導(dǎo)軌跡方程和幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)，也是重要的解題工具.[1學(xué)生需要學(xué)習(xí)每種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，以及如何根據(jù)給定的條件將方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式或其他形式.同時(shí)，學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)每種圓錐曲線的特性，如圓的半徑、中心，橢圓的焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸，拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中雙曲線的題型是每位學(xué)生必須掌握的，與整體學(xué)習(xí)密切相關(guān).教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)不同的教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)行不同方式的變式探索，同時(shí)為學(xué)生講解繪制圓錐曲線的要求、注意事項(xiàng)等，從而使學(xué)生了解雙曲線的特點(diǎn)、常見題型、正確解出該題型的方法等.

1巧用定義求解雙曲線方程

平面內(nèi)，一動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn) F₁，F(xiàn)₂ 距離的差的絕對(duì)值等于一個(gè)常數(shù)（常數(shù)為 2a ，小于 ∣F₁F₂∣ 的軌跡稱為雙曲線.根據(jù)動(dòng)圓過動(dòng)點(diǎn)及與已知?jiǎng)訄A相外切，轉(zhuǎn)化為動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)和定圓圓心的距離之差為常數(shù)，根據(jù)雙曲線的定義解答.[3]

例1動(dòng)圓 P 和兩個(gè)定圓（圓 F₁ 和圓 F₂ ）相切，圓 F₁ 的半徑是5，圓 F₂ 的半徑是1，且圓心距F₁F₂=8 ，求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡.

解析：用 R 表示動(dòng)圓 P 的半徑， r₁ 表示圓 F₁ 的半徑， r₂ 表示圓 F₂ 的半徑，動(dòng)圓 P 與定圓相切有以下兩種情況（如圖1）.

一是動(dòng)圓 P 和兩個(gè)定圓處在外切狀態(tài)，可得∣PF₁∣=R+r₁ ， ∣PF₂∣=R+r₂ ，求它們的差值并與定長(zhǎng) ∣F₁F₂ |作比，就能判斷動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡.于是∣PF₁∣-∣PF₂∣=（R+r₁）-（R+r₂）=r₁-r₂lt; ∣F₁F₂∣ ，得到動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為距離焦點(diǎn) F₂ 較小的雙曲線的一支.

r₁-r₂=2a=4 ，即 a=2，2c=8 ，求出 c=4，b²= 12.動(dòng)圓 P 和兩個(gè)定圓處在外切狀態(tài)時(shí)，和焦點(diǎn)F₂ 距離較近的雙曲線的一支用 表示.

二是動(dòng)圓 P 和圓 F₁ 、圓 F₂ 處于內(nèi)切狀態(tài).由于動(dòng)圓的圓心 P 和兩個(gè)定圓圓心距離相減后的數(shù)值屬于定長(zhǎng)，與圓 F₁ 、圓 F₂ 圓心距離相比，比 |F₁F₂ 小，可以得到 |PF₂|-|PF₁|=（R-r₂）-（R-r₁）= r₁-r₂lt;|F₁F₂| ，得到動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡為距離焦點(diǎn)F₁ 較小的雙曲線的一支.

動(dòng)圓 P 和兩個(gè)定圓處在內(nèi)切狀態(tài)時(shí)，和焦點(diǎn)F₁ 距離較近的雙曲線的一支用 表示.

例2雙曲線 的左焦點(diǎn)是 F₁ ，右焦點(diǎn)是 F₂ ，離心率為3，點(diǎn) P（x，y） 是c 上一點(diǎn)，且 PF₁⊥PF₂ ΔPF₁F₂ 的面積為5，求雙曲線 C 的方程.

解析：設(shè)點(diǎn) P 在雙曲線的右支上，由雙曲線定義可知， ∣PF₁∣-∣PF₂∣=2a.①

因?yàn)?PF₁⊥PF₂ ，所以 ∣PF₁∣²-∣PF₂∣²= 4c².②

聯(lián)立 ①② ，得 ∣PF₁∣∣PF₂∣=2c²-2a²

且 ，所以 ，62=5，所以雙曲線的方程為

2利用參數(shù)方程或定理求解定值問題

定值問題是圓錐曲線中比較常見的問題.在思維定式的影響下，一部分學(xué)生習(xí)慣通過傳統(tǒng)解法得出答案，除了浪費(fèi)很多時(shí)間之外，也加大了錯(cuò)誤的發(fā)生率.[4為了有效解決此類問題，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓錐曲線的雙曲線題型產(chǎn)生清晰認(rèn)識(shí)，讓他們可以準(zhǔn)確了解定值問題，并通過合理的思路進(jìn)行解答，即從圓錐曲線參數(shù)方程的角度或余弦定理出發(fā)，遵循靈活應(yīng)用的基本原則，明確雙曲線方程和其他方程的差異性.

例1已知雙曲線方程 x²-y²=2a² ，設(shè) C 上一點(diǎn) P 到兩條漸進(jìn)線的距離依次是 d₁，d₂ ，那么 d₁ ·d₂ 的值為.

A.1 B. a² （204號(hào) C. b² D. c²

該題目涉及的知識(shí)點(diǎn)與雙曲線相關(guān)，解題的過程中要將雙曲線的參數(shù)方程作為依據(jù)和主要手段，先表示點(diǎn) P 的坐標(biāo)，隨后運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離得出答案.

解析：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ，根 據(jù)點(diǎn)到直線的距離，得 secθ+tanθ|，則 d₁ · ，故選擇B.

例2已雙曲線 為雙曲線上一點(diǎn)， ∠F₁PF₂=θ ，求 ΔF₁PF₂ 的面積.

解析：在 ΔF₁PF₂ 中，由三角形的面積公式得

由余弦定理得 ∣F₁F₂∣²=（2c）²=∣PF₁∣²+ ∣PF₂∣²-2∣PF₁∣?∣PF₂∣cosθ.②

由雙曲線的定義可得 ∣PF₁∣-∣PF₂∣=2a ，即∣PF₁∣²+∣PF₂∣²-2∣PF₁∣?∣PF₂∣=4a².③

由 ②③ ，得

則 所以 （204號(hào) （20號(hào) ΔF₁PF₂ 的面積為

3利用思維導(dǎo)圖進(jìn)行雙曲線解題教學(xué)

由于高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中雙曲線這部分知識(shí)點(diǎn)具有多而雜的特征，所以計(jì)算的過程往往很困難.不少學(xué)生受圓錐曲線中雙曲線復(fù)雜題型的影響，在解題的過程中沒有頭緒，讀題的過程中也難以準(zhǔn)確捕捉到關(guān)鍵字，逐漸陷入解題障礙的困境.因此，在教學(xué)雙曲線題型解法的過程中，教師需提升對(duì)思維導(dǎo)圖的關(guān)注度，利用思維導(dǎo)圖梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，從有用的條件人手，使學(xué)生可以逐漸對(duì)這些條件產(chǎn)生清晰的認(rèn)識(shí).[5]

教師在介紹思維導(dǎo)圖的過程中以雙曲線在實(shí)際生活中的應(yīng)用為主，并體現(xiàn)出雙曲線在工程、物理中的應(yīng)用.教師需通過思維導(dǎo)圖的框架，逐步引導(dǎo)學(xué)生思考雙曲線的定義、方程及其應(yīng)用.在教學(xué)過程中，避免單純的知識(shí)灌輸，而是通過問題的設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生自主探索和推理.教師在講解每個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)，需結(jié)合思維導(dǎo)圖中的具體內(nèi)容，幫助學(xué)生厘清不同部分之間的聯(lián)系.例如，通過分析焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、漸近線等概念，幫助學(xué)生理解雙曲線的幾何意義，之后通過實(shí)際的例題，幫助學(xué)生理解如何將知識(shí)應(yīng)用到解題中.在雙曲線方程的教學(xué)中，除了基礎(chǔ)的代數(shù)運(yùn)算，還要注意培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺和圖象理解能力.

4結(jié)語

雙曲線是圓錐曲線教學(xué)中非常重要的一部分.首先，教師可以通過繪制幾何示意圖來引導(dǎo)學(xué)生理解不同圓錐曲線的幾何特性，如橢圓的長(zhǎng)軸、短軸和焦點(diǎn)位置，拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線和頂點(diǎn)位置等.這有助于學(xué)生直觀地理解圓錐曲線的形狀和特點(diǎn).其次，可以向?qū)W生介紹各種圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并通過推導(dǎo)的方式解釋方程中各項(xiàng)的含義.例如，通過橢圓的定義推導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)方程，或通過焦點(diǎn)和直線性質(zhì)推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.同時(shí)，需不斷強(qiáng)調(diào)雙曲線的內(nèi)涵和解題方式，提供一些具體的實(shí)例讓學(xué)生分析圓錐曲線的方程.最后，需加強(qiáng)對(duì)雙曲線特殊性的分析，了解目前高中生對(duì)這部分內(nèi)容的掌握情況，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一些應(yīng)用問題，讓學(xué)生將圓錐曲線的方程與實(shí)際問題相結(jié)合，從而培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力和應(yīng)用能力.這些問題可以涉及幾何、物理、工程等不同領(lǐng)域，如拋物線的拋物面應(yīng)用、橢圓的行星軌道模擬等.

參考文獻(xiàn)

[1]王曦.巧用定義求解高中數(shù)學(xué)圓錐曲線方程[J].數(shù)理化解題研究，2023（36）：2-4.

[2]李琴.高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)應(yīng)用析談—以“圓錐曲線的方程”為例[J].考試周刊，2023（31）：76-80.

[3]高芳民.巧用定義解題[J].數(shù)理天地（高中版），2020（8）：18-19.

[4]單燦.圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的使用[J].數(shù)理天地（高中版），2022（14）：31-32.

[5]顏進(jìn)怡.基于思維導(dǎo)圖的高中圓錐曲線教學(xué)策略研究[D].延邊：延邊大學(xué)，2022.