拉壓循環荷載下基于能量的混凝土損傷本構模型

中圖分類號：TU528.01 文獻標志碼：A

Energy-based Concrete Damage Constitutive Model Under Tensile-Compressive Cyclic Loadings

WU Xiaoxin ¹ ， WANG Yin ¹，2 ， JIANG Yating ¹ ， XIE Qun ¹ ， YANG Taochun ¹ ZONG Xianghua' ， SUN Liuyang ³

（1.School of Civil Engineering and Architecture，University of Jinan，Jinan 25o022，Shandong，China; 2.StateKeyLaboratoryofDisasterPreventionandMitigationof ExplosionandImpact，ArmyEnginering Universityof PLA， Nanjing 210007，Jiangsu，China；3. Tong Yuan Design Group Co.，Ltd.，Jinan ，Shandong，China）

Abstract：To solvethe problem that theoriginal Kong-Fang concrete damage constitutive model could not describe strain hardening phenomenon ofconcrete duringcompresionandmodulus damage ofconcrete subjectedto tensile-compressive cyclicloadings，the yield strength surface was introduced todescribethestrainhardening phenomenonofconcrete.Scalars of tensile and shear damage derived onthebasis of energy method were multipliedbytensileand shearstresses respectively to describe the modulus damage problem of concrete.In summary，an energy-based concrete damage constitutive model undertensile-compressivecyclic loadings was establishedand implanted intoLS-DYNA software.Stress-straincurves were predicted under uniaxial compresioncyclicloading，uniaxial tensioncyclic loading，anduniaxial tension-compressive cyclic loading of aconcrete single element model.The results showthatstress-strain curves obtained by numericalycalculating thesingleelement modelusingtheestablishedmodel includeelastic segment，strain hardening segment，and strain softeningsegment.The established model can notonly efectively verifythe strain hardening phenomenon inascending section and strainsoftening phenomenon in descending section of the concrete stress-straincurves，but also perfectly predict the concrete stress-strain curves under uniaxial compressivecyclic loading，uniaxial tensile cyclic loading，and uniaxial tensile-compressive cyclic loading.

Keywords： engineering mechanics；cyclic loading；energy method； modulus damage； constitutive model

既有混凝土建筑在遭受地震、風振、凍融等循環荷載時，混凝土處于拉伸-壓縮的循環應力狀態。在循環荷載下，混凝土出現明顯的模量損傷問題，如何在混凝土損傷本構模型中準確地表征循環荷載下混凝土的模量損傷問題成為諸多學者關注的焦點。

按照偏應力行為與球應力行為是否相互獨立的原則，混凝土損傷本構模型可分為流體彈塑性模型和彈塑性損傷模型[1]。流體彈塑性模型的損傷處理方式通常是損傷前置，可獲得混凝土的彈性段、應變硬化段和應變軟化段，僅能反映混凝土的強度退化；常見的流體彈塑性模型包括LS-DYNA軟件中嵌入的 Kamp;C（Karagozian and Case）模型[2]、HJC（Holmquist-Johnson-Cook）模型[3]、自定義的原始Kong-Fang混凝土損傷本構模型[4（簡稱原始模型）等。彈塑性損傷模型的損傷處理方式通常是損傷后置，即損傷標量與最終應力相耦合，既可反映混凝土的強度退化，又可反映混凝土的剛度退化；常見的彈塑性損傷模型包括ABAQUS軟件中嵌入的混凝土損傷塑性模型[5-10]（concrete damage plasticity，CDP）、自定義的 Wu-Li 模型[11-12]等。

在已有混凝土模型中，通過擬合應力-應變曲線下降段提出大部分損傷公式，屬于唯象處理方法，如Kamp;C模型、HJC模型、原始模型等，均通過等效塑性應變累積與固定衰減指數的耦合描述應變軟化。 W_u 等[1]基于熱力學原理推導拉伸、剪切受力過程中的能量釋放率，建立了損傷標量與能量釋放率之間的耦合關系，可以較好地描述混凝土的應變軟化和模量損傷問題

綜上所述，流體彈塑性模型的優勢是在高圍壓下可以表征材料流體特性，彈塑性損傷模型的優勢則是在循環荷載下可以表征材料的模量損傷問題為了使原始模型更好地表征混凝土在受壓過程中的應變硬化和拉壓循環荷載下的模量損傷，本文中將 模型中基于能量的拉壓損傷演化方法嵌入原始模型，并引入屈服強度面，建立拉壓循環荷載下基于能量的混凝土損傷本構模型（簡稱本文模型），利用已有混凝土單軸壓縮應力-應變曲線經驗公式[13]驗證本文模型，并預測混凝土單軸壓縮循環荷載、單軸拉伸循環荷載、單軸拉壓循環荷載下的應力-應變曲線。

1 原始模型

原始模型包含失效面、狀態方程、損傷模型、應變率效應、單元刪除準則5個部分。本文中主要研究拉伸、切應力狀態下混凝土的損傷演化問題，從而修正原始模型的強度面和損傷演化，因此從失效面、損傷演化2個方面給出原始模型的基本理論。

1. 1 失效面

在原始模型的失效面中引人最大強度面 σ_m ）殘余強度面 σ_r 這2個獨立的強度面。通過混凝土的總損傷 D 插值 σ_m，σ_r 描述混凝土的應變軟化現象。當前失效面 ！ σ_m，σ_r 公式[4]分別為

σ_r=p/（0.5857+0.025p/f_c），

式中： 為應力張量， 為應力偏量的第二不變量； r^′ 為當前子午面與壓縮子午面上的應力比； p 為混凝土的靜水壓力； f_t 為混凝土的單軸抗拉強度； f_c 為混凝土的單軸抗壓強度； ξ 為拉伸、壓縮子午線上的切應力比

1. 2 損傷演化

在原始模型中， D 由拉伸損傷 D_t 和剪切損傷D_s 組成[4]，即

分別由拉伸塑性應變 λ_r 、剪切塑性應變 λ 累積而成[4]，即

根據 p 的正、負區分損傷狀態變量：當 pgt;0 時，材料處于壓縮狀態；當 p?0 時，材料處于拉伸狀態。等效塑性應變累積 λ 的表達式[4]為

式中 、 分別為壓縮、拉伸狀態下的等效塑性應變 ，上標-、 + 分別表示材料的壓縮（或剪切）、拉伸狀態。

2 本文模型建立

本文模型的建立過程如下：刪除原始模型中的σ_r ，補充屈服強度面 σ_y ，通過修正后的損傷因子 η 插值 σ_y，σ_m ，描述混凝土應力-應變曲線上升段的應變硬化現象；通過拉伸、剪切損傷標量折減更新后的應力，用以描述混凝土應力-應變曲線下降段的應變軟化現象。

2.1 失效面修正

本文模型中的 由 σ_m，σ_y 組成，即

利用 λ 的多項式函數形式表征 η ，表達式[2]為

本文模型中的 σ_m 與原始模型中的一致， D 由式（9）替換為 η ；由 σ_m 推導得出 ，即

2.2 拉壓損傷修正

為了區分材料拉伸、切應力狀態，在本文模型中首先正負分解當前應力，然后分別計算拉伸、切應力狀態下的彈性、塑性能量釋放率，最后分別建立拉伸損傷因子與拉伸能量釋放率、剪切損傷因子與剪切能量釋放率之間的物理模型。

2.2.1 拉壓應力狀態區分

損傷狀態的宏觀區別通常以不同的裂紋形式表征。如拉伸損傷由拉伸微裂紋的發展與貫通形成，剪切損傷由剪切微裂紋的發展與貫通形成。當微裂紋的發展與貫通歸因于材料的受力狀態時，拉伸微裂紋由拉伸應力控制，剪切微裂紋由切應力控制。由此，本文模型在推導損傷演化時，利用應力譜分解的方法區分拉伸、切應力狀態[12]，即

式中： 為有效應力張量; 分別為剪切、拉伸應力狀態下的有效應力分量。

采用雅克比迭代法[14]正負分解應力張量，直至滿足求解精度， 由式（11）移項得出， 的表達式[12]為

式中： σ_a 為 的特征值矩陣 的元素， a=1 ，2，3； ?σ_a? 為 σ_a 坡度函數， ?σ_a?= （0，σ≤0n為的特征向量；? 為張量積運算符。 的應力譜分解公式為 " ，其中 為 對應的特征向量矩陣。

2. 2.2 剪切損傷演化

混凝土單軸壓縮荷載下的應力-應變曲線如圖1所示。在本文模型中，通過對圖1中混凝土單軸壓縮荷載下的應力-應變曲線與坐標橫軸所圍的面積積分，引人切應力狀態下的損傷能量釋放率 Y^- 控制剪切損傷[15-16]，即

式中 ψ_01，e^-，ψ_02，e^-，ψ_0，p^- 分別為混凝土應力-應變曲線初始彈性段、硬化段、軟化段的Helmholtz受剪自由能。

ε —混凝土的應變; σ —混凝土的應力； o 一坐標原點； f_c —混凝土的單軸抗壓強度； 0.45f_c 一初始彈性段與 硬化段的分界點; V_01，e^-，ψ_02，e^-，ψ_0，p^- 一初始彈性段、 硬化段、軟化段的Helmholtz受剪自由能。

圖1混凝土單軸壓縮荷載下的應力-應變曲線ψ_01，e^- 的表達式為

式中： E 為彈性模量； μ 為泊松比； 為切應力狀態下有效應力偏量的第二不變量； 為 的第一不變量； 為 的第一不變量；：為二階張量的雙重點積運算符； 2f₀ 為彈性柔度矩陣，滿足

ψ_01，e^- 不能超過單軸壓縮荷載下應力 應變曲線彈性段的應變能，其中 0.45f_c 為初始彈性段與硬化段的分界點。

ψ_02，e^- 的累積與材料的塑性相關，此時出現塑性變形并開始累積，因此 ψ_02，e^- 的計算與塑性勢函數F_p 、流動法則相關。 F_p 的表達式為

式中 ω 為塑性流動關聯因子。

流動法則為

式中： 為塑性應變張量； λ_p 為塑性流動因子； 為有效應力偏張量； E 為單位矩陣； 為有效應力偏量的第二不變量。

ψ_02，e^- 的表達式為

ψ_0，p^- 的累積計算過程與混凝土單軸壓縮應力-應變曲線硬化段與坐標橫軸所圍的面積積分過程一致，即

剪切損傷變量 d^- 的表達式[17]為

式中： r₀^- 為混凝土開始產生受剪損傷的損傷能量釋放率閾值， r₀^-=ψ_01，e^-+ψ_02，e^- ; r_n^- 為歷史最大受剪能量釋放率， ，max 。

2.2.3 拉伸損傷演化

混凝土為脆性材料，單軸抗拉強度約為單軸拉壓強度的1/10，可忽略單軸拉伸狀態下的硬化現象。圖2所示為混凝土單軸拉伸荷載下的應力-應變曲線。在本文模型中，通過對圖2中混凝土單軸拉伸荷載下應力-應變曲線與坐標橫軸所圍的面積積分，引入拉伸應力狀態下的損傷能量釋放率Y^+[15-16] ，包含初始彈性段的 Helmholtz 受拉自由能ψ_0，e⁺ 與軟化段的Helmholtz受拉自由能 ψ_0，p⁺ ，即

Y⁺=ψ_0，e⁺+ψ_0，p⁺°

ε 混凝土的應變； σ —混凝土的應力； o 一坐標原點；f_t —混凝土的單軸抗拉強度; ψ_0，e^-，ψ_0，p⁺ 一初始彈性段、軟化段的Helmholtz受拉自由能。

式中 為拉伸應力狀態下有效應力偏量的第二不變量。

ψ_0，e⁺ 不能超過單軸拉伸荷載下應力-應變曲線彈性段的應變能。

ψ_0，p⁺ 的累積計算過程與 ψ_0，p^- 的一致，即

拉伸損傷變量 d⁺ 的表達式[18]為

式中： r₀⁺ 為混凝土開始產生受拉損傷的損傷能量釋放率閾值， r₀⁺=ψ_0，e⁺ ; r_n⁺ 為歷史最大受拉能量釋放率， ，max Y⁺ }。

2.2.4 應力更新

本文模型中損傷后的應力張量為

為了方便驗證和應用本文模型，編寫了本文模型中拉伸損傷和剪切損傷演化源代碼，詳見開放科學識別碼（OSID碼）。采用Fortran77語言實現代碼編譯，將本文模型編譯成功的求解器復制到LS-DYNA軟件的安裝目錄下，數值計算時調用此求解器

3 本文模型驗證與預測

為了驗證本文模型能夠描述單軸壓縮循環荷載作用下混凝土應變硬化現象，建立混凝土單單元模型，如圖3所示。該模型采用六面體三維實體單元驗證單軸壓縮荷載下混凝土的應變硬化和應變軟化現象，并預測單軸壓縮循環荷載、單軸拉伸循環荷載、單軸拉壓循環荷載下混凝土的應力-應變曲線?；炷羻螁卧Ｐ完P于 x，y，z 軸對稱，取單單元模型的1/8計算混凝土單軸壓縮荷載下的應力-應變曲線和單軸壓縮循環荷載、單軸拉伸循環荷載、單軸拉壓循環荷載下的應力-應變曲線，沿 y 軸方向施加豎向位移， x，z 軸方向不設置約束，單單元模型邊長為 1mm 。

3.1 單軸壓縮荷載下應變硬化現象驗證

圖4所示為混凝土單軸壓縮荷載下應力-應變曲線驗證結果。由圖可知：本文模型數值計算的初始彈性直線段與已有混凝土單軸壓縮應力-應變曲線經驗公式的彈性直線段基本吻合；增加屈服強度面后，本文模型可以較好地驗證混凝土應力-應變曲線上升段的應變硬化現象；引入基于能量的損傷演化方法后，本文模型可以較好地驗證單軸壓縮荷載下應力-應變曲線中下降段的應變軟化現象。

3.2 單軸壓縮循環荷載、單軸拉伸循環荷載下應 力-應變曲線預測

單軸壓縮循環荷載、單軸拉伸循環荷載下混凝土應力-應變曲線的預測結果如圖5所示。由圖可知，引入彈塑性損傷模型損傷后置的損傷處理方式，能反映單一荷載作用下加、卸載時混凝土的模量損傷問題。由圖5（a）可知，隨著單軸壓縮循環荷載加、卸載次數的增加，加、卸載階段的彈性模量逐漸減小，即加、卸載階段的彈性模量由大到小的順序依次為混凝土初始壓縮彈性模量 E_c0 、第1次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_cl 、第2次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_e2 、第3次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_c3 、第4次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_c4 、第

E_c0 —混凝土的初始壓縮彈性模量; E_cl 、 E_c2 、 E_c3 E_c5- 混凝土第1、2、3、4、5次壓縮卸載再加載的彈性模量。

5次壓縮卸載再加載的彈性模量 E_c5 。由圖5（b）可知：隨著單軸拉伸循環荷載加、卸載次數的增加，加、卸載階段的彈性模量逐漸減小，即加、卸載階段的彈性模量由大到小的順序依次為混凝土初始拉伸彈性模量 E_u 、第1次拉伸卸載再加載的彈性模量 E_u 、第2次拉伸卸載再加載的彈性模量 E_?2 、第3次拉伸卸載再加載的彈性模量 E₁₃ 、第4次拉伸卸載再加載的彈性模量 E₁₄ 、第5次拉伸卸載再加載的彈性模量 E_r 。由于忽略混凝土拉伸過程中應變硬化現象，因此單軸拉伸循環荷載下混凝土的應力-應變曲線上升段為直線。

3.3 單軸拉壓循環荷載下應力-應變曲線預測

圖6所示為單軸拉壓循環荷載下混凝土應力-應變曲線的預測結果。由圖6（a）可知：首先進行單軸壓縮加載，混凝土經初始彈性段和應變硬化段進入壓縮軟化階段， d^- 累積；其次進行單軸壓縮卸載，在 d^- 的影響下，相對于初始單軸壓縮加載階段，此時壓縮彈性模量明顯減小；再后進行反向單軸拉伸加載，混凝土經過初始彈性段后進入拉伸軟化階段， d⁺ 累積；然后進行單軸拉伸卸載，在 d⁺ 的影響下，相對于初始單軸拉伸加載階段，此時拉伸彈性模量較明顯減??；最后進行反向單軸壓縮加載，混凝土應力-應變曲線沿單軸壓縮卸載時的彈性模量增至單軸壓縮卸載時的混凝土強度后馬上進入壓縮軟化段；如此往復循環。由圖6（b）可知，拉伸-壓縮-拉伸循環荷載下的混凝土應力-應變曲線中模量損傷規律與圖6（a）中壓縮-拉伸-壓縮循環荷載下的一致。

本模型未考慮拉伸損傷與剪切損傷相互影響機制，即忽略了剪切微裂紋在拉伸應力狀態下的擴展。

4結論

在原始混凝土模型的基礎上，引入屈服強度面和基于能量的損傷演化方法，建立了拉壓循環荷載下的混凝土損傷本構模型，利用本文模型數值計算

單單元模型所得的應力-應變曲線包含彈性段、應變硬化段和應變軟化段，驗證了單軸壓縮荷載下混凝土的力學性能，并預測了單軸拉伸循環荷載、單軸壓縮循環荷載、單軸拉壓循環荷載下的混凝土應力-應變曲線，得到以下主要結論：

1）通過引入的屈服強度面和最大強度面，本文模型能較好地驗證混凝土應力-應變曲線上升段中的應變硬化現象和下降段的應變軟化現象

2）利用引入基于能量的損傷演化方法，本文模型能較好地預測單軸壓縮循環荷載、單軸拉伸循環荷載下混凝土的應力-應變曲線。

3）利用應力譜分解方法區分拉伸、切應力狀態，本文模型能較好地預測單軸拉壓循環荷載下混凝土荷載下混凝土的應力-應變曲線，但是未考慮拉伸損傷與剪切損傷相互影響機制，仍有待于進一步完善。

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（責任編輯：王 耘）