k. -佩爾-盧卡斯混合數與 k. -佩爾-盧卡斯混合多項式的代數性質

中圖分類號：0015 文獻標志碼：A

Algebraic Properties of k -Pell-Lucas Hybrid Numbers and （2號 -Pell-Lucas Hybrid Polynomials

DENG Yong， CHEN Quanguo

（College of Mathematics and Statistics，Kashi University，Kashi 844OOO，Xinjiang，China）

Abstract： To extend concepts of k -Pell-Lucas progressions and k -Pell-Lucas polynomial sequences，notions of k -PellLucas hybrid numbers and k -Pell-Lucas hybrid polynomials were introduced by considering k -Pell-Lucas progressions and k -Pell-Lucas polynomial sequences as components of hybrid numbers. Concepts of k -Pell-Lucas hybrid progressions and k -Pell-Lucas hybrid polynomial sequences were further derived. Binet formula for k -Pell-Lucas hybrid numbers and k -Pell-Lucas hybridpolynomials，aswellasgenerating functions，exponential generatingfunctions，andVajdaidentities for k -Pell-Lucas hybrid progressions and k -Pell-Lucas hybrid polynomial sequences were discussed. The results show that Binet formula for k -Pell-Lucas hybrid numbers and exponential generating functions for k -Pell-Lucas hybrid progressions are determined by roots of characteristic equations for k -Pell-Lucas progressions and hybrid numbers. Generating functions for k -Pell-Lucas hybrid progressions can be expressed as functions related to initial conditions for k -Pell-Lucas hybrid progressions， and k -Pell-Lucas hybrid polynomial sequences exhibit algebraic properties similar to those of k -Pell-Lucas hybrid progressions.

Keywords： hybrid number； algebraic property； k -Pell -Lucas hybrid number； k -Pell -Lucashybrid polynomial; recurrence relation

斐波那契（Fibonacci）數列與盧卡斯（Lucas）數列近年來廣泛應用于線性代數、應用數學、微積分等數學分支。矩陣方法是研究數列代數性質的有力工具，Falc6n等[1]、Bolat等[2]利用初等矩陣代數得到了 k -斐波那契數列的生成函數和可除性等代數性質和恒等式。 引入佩爾（Pell）數列，并給出了2個有相同遞推關系式但是初始條件可能不同的Horadam型廣義斐波那契乘積之和的公式。Ercolano[4]通過討論滿足佩爾方程的二階方陣解，找出佩爾數列所有可能的矩陣生成元，建立了佩爾數的比內（Binet）公式。Kalman[5]利用矩陣分析法引入廣義斐波那契數列的概念，得到廣義斐波那契數列的通項公式。Koshy研究了楊輝三角形（Pascaltriangle）與斐波那契數列、盧卡斯數列、佩爾數列之間的關系，利用由二項式定理所得的Lockwood恒等式，給出根據楊輝三角形計算斐波那契、盧卡斯、佩爾數列的方法。利用斐波那契、盧卡斯、佩爾、佩爾-盧卡斯數列的比內公式可以討論與Jacobsthal數列與 k -Jacobsthal數列相關的代數性質[7-8]。混合數9]及以斐波那契、佩爾、佩爾-盧卡斯數列為分量的混合數[10-16]引發了研究者廣泛而深厚的興趣。混合數作為復數的自然且富有啟發性的延伸，巧妙地融合了復數、雙曲數、對偶數的獨特代數性質，構建了一個全新的數學框架。

本文中以 k -佩爾-盧卡斯數列與 k -佩爾-盧卡斯多項式序列[17]分別為混合數的分量，引入 k -佩爾-盧卡斯混合數列與 k -佩爾-盧卡斯混合多項式序列，分別研究 k -佩爾-盧卡斯混合數列與 k -佩爾-盧卡斯混合多項式序列的代數性質，主要包括比內公式、生成函數、指數生成函數及一些重要等式。

1基本理論

定義 1^[17] k -佩爾 - 盧卡斯數列 由遞推關系

Q_k，n=2Q_k，n-1+kQ_k，n-2，n≥2

與初始條件 Q_k，0=Q_k，1=2 所定義，其中 k 為正實數，n 為自然數。 k -佩爾-盧卡斯數 Q_k，n 的比內公式為

Q_k，n=t₁ⁿ+t₂ⁿ，

其中 、 是式（1）以 Ψ_tΨ_t 為特征根的特征方程 t²-2t-k=0 的互異根， 的生成函數為

定義 2^[18] （204號 k -佩爾-盧卡斯多項式序列 以 x 為自變量，由遞推關系

Q_k，n（x）=2xQ_k，n-1（x）+kQ_k，n-2（x），n?2

與初始條件 Q_k，0（x）=2 Q_k，1（x）=2x 所定義。

的比內公式為

Q_k，n（x）=t₁ⁿ（x）+t₂ⁿ（x），

其中 ！ 是式（3）的特征方程 t²-2xt-k=0 的互異根。 的生成函數為

2 k -佩爾-盧卡斯混合數列

以 作為混合數的分量，得到 k. -佩爾 盧卡斯混合數的概念。

定義3 k -佩爾-盧卡斯混合數 H_k，n 定義為

式中：i為虛數單位， i²=-1 ε 為對偶數單位， 0 （ε_E≠0） ； h 為雙曲虛數單位， 。i、 滿足 。

根據式（1）、（6），對于 n?2 ，可得

又因為

且

所以有

即 k. -佩爾-盧卡斯混合數列 由式（7）與初始條件 2k）i+（8+6k）ε+（16+16k+2k²）h 唯一確定。

類似式（2），建立 H_k，n 的比內公式。

定理1 H_k，n 的比內公式為

其中 ，

證明：由式（2）、（6）可得

由定理1可知， H_k，n 的比內公式由 的特征方程的根與混合數確定。類似式（3），得到 的生成函數。

定理2 （20 的生成函數為

證明：

因此有

利用式（7）可得

定理2表明， 的生成函數可以表示為與 的初始條件相關的函數

利用定理1，建立 的指數生成函數。

定理3 的指數生成函數為

證明：根據式（8），有

由定理3可知， 的指數生成函數由 的特征方程的根與混合數確定。為了建立 的Vajda恒等式，須先討論 與 的關系。

引理1 其中 θ=1+k-k³，η=2i+（4+2k）ε+（8+6k）h ， δ=2ki+ ， 。

證明：利用定理1中 、 的表達式，并結合定

義3中 i，e_νh 滿足的關系即可得證。

定理4對于任意自然數 的Vajda恒等式為

證明：由式（7）可得

利用定理4，得到 的其他3個重要恒等式，即卡塔藍（Catlan）恒等式、卡西尼（Cassini）恒等式、d'Ocagne 恒等式。

推論1對于 的卡塔藍恒等式為 （20 0

證明：只須在Vajda恒等式中取 s=-r 即可得證。

推論2對于 n?1 ， 的卡西尼恒等式為H_k，n-1H_k，n+1-（H_k，n）²=4（Ω-k）^n-1Δ（2δ+θ+η） 。

證明：只須在卡塔藍恒等式中取 r=1 即可得證

推論3設 m 為自然數，如果 mgt;n+1 ，則 的d'Ocagne 恒等式為

證明：只須在Vajda恒等式中，取 s=m-n 和 r= 1即可得證。

3 k -佩爾-盧卡斯混合多項式序列

類似定義3的思想，混合數的分量替換為 ，可得 k. -佩爾-盧卡斯混合多項式 H_k，n（x） 的定義。

定義4 H_k，n（x） 定義為

根據式（4）、（9），對于 n?2 ，有

又因為

所以有

定義5 k -佩爾-盧卡斯混合多項式序列 由遞推關系

與初始條件 H_k，0（x）=2+2xi+（4x²+2k）ε+（8x³+6kx）h. H_k，1（x）=2x+（2k+4x²）i+（6kx+8x³）δεe+（2k²+16kx²+17）i. 16x⁴）h 唯一確定。

在研究 的相關問題時，可以采用與 相關問題處理方法相似的過程，因此省略部分證明，僅給出相關結論。

定理5 H_k，n（x） 的比內公式為

，其中 ，t2（x）=1+t₂（x）i+t₂²（x）ε+t₂³（x）h 。

定理6 （204 的生成函數為

定理7 的指數生成函數為

引理2

其中 θ（x）=1+k-k³-2kx，η（x）=2xi+（4x²+2k）e+ （20號 。

利用引理2，可以得到 的Vajda恒等式

定理8 的Vajda 恒等式為

推論4對于 的卡塔藍恒等式為

推論5對于 的卡西尼恒等式為

推論6 如果 mgt;n+1 ，則 的 d'Ocagne恒等式為

利用定理5，可得 的求和公式。

定理9 設 n?2 ，有

證明：由定理5，可得

4結語

本文中將 k -佩爾-盧卡斯數列的概念拓展到了更寬泛的 k. -佩爾-盧卡斯混合數列與 k. -佩爾-盧卡斯混合多項式序列領域。該創新性推廣不僅豐富了數列與多項式理論，也為超復數的研究開辟了新視角。推導得到了 k. -佩爾-盧卡斯混合數列與 k. -佩爾-盧卡斯混合多項式序列的一些重要代數性質，這些成果將為混合數的后續研究提供有力工具與理論基礎，從而能應用于更廣泛的科學領域，如代數數論、代數幾何、數學分析、組合數學以及計算機科學等。下一步可探索 k. -佩爾-盧卡斯混合數列及 k 1佩爾-盧卡斯混合多項式序列與特殊函數、分數階微積分等現代數學分支之間的聯系，以期發現更多新的數學現象與規律，并將相關理論成果應用于密碼學、信號處理等領域，以拓廣實際應用范圍

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（責任編輯：王 耘）