聚焦數學建模教學落實建模素養培養

以“包裝彩繩問題”為例，從理解現實情境，構建數學情境，識別數學元素，建立、反思并推廣數學模型方面分析數學建模教學的具體實施，并針對其中出現的問題，提出基于問題驅動教學、積累相關建模經驗，基于學習進階開發課程、發展學生數學思維，提供溝通交流平臺、鍛煉學生數學表達能力，基于數字化開展教學、培養學生模型意識，提高跨學科教學水平、培養學生高階思維，加強課堂深度學習、拓展學生思考深度的教學建議。

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現，是在數學學習和應用過程中逐步形成和發展的。數學建模是高中生必備的六大數學核心素養之一，需要學生有意識地運用數學語言表達現實世界，從現實情境出發，發現問題、提出問題，然后用數學模型解決實際問題，也就是說數學建模素養的發展需要“做中學”。我們以《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）中的第27個案以“包裝彩繩問題”為例，引領學生數學建模，鼓勵學生從數學的角度剖析現實問題、構建數學模型解答問題，發展創新意識和應用能力。

教學“包裝彩繩問題”：情景與問題。春節期間，佳怡準備去探望奶奶，她到商店買了一盒點心。為了美觀起見，售貨員對點心盒做了一個捆扎（見圖1），并在角上配了一個花結。售貨員說，這樣的捆扎（對角捆扎）不僅漂亮，還比一般的捆扎包裝更節省彩繩。你同意這種說法嗎？請給出你的理由。（注：長方體點心盒的高小于長、寬。）

理解現實情境，揭示問題本質。為引導學生從數學的視角識別并聚焦于合適的研究對象，可從以下幾方面引入有關彩繩長度問題的情境：播放商店店員捆扎禮盒視頻，并介紹包裝禮盒的常用捆扎方式：單道捆扎、十字捆扎及對角捆扎（見圖2）；我國并沒有專門法律對包裝用品彩繩長度問題進行規定，但在《童裝繩索和拉帶安全要求》中對童裝上的繩索和拉鏈長度有詳細規定，思考此法規制定的依據；呈現生活中的“減量化”措施：在不影響使用效果的前提下，盡量減少包裝用量，以降低資源消耗及廢棄物的產生。

上述情境有一個共同點：在滿足需求的基礎上，體現長度合理化原則。本問題雖未直接提供禮盒長、寬、高的具體尺寸，但通過描述“這樣捆扎不僅漂亮，還比一般的捆扎包裝更節省彩繩”，推斷出此問題的核心目標在于優化捆扎方式，以達到既結實、美觀又經濟（即節省材料）、實用的效果，并抽象出要解決的現實問題：在保證捆扎結實、美觀的前提下，比較不同捆扎方式所用彩繩長短。

設計意圖：現實情境是理論知識與實際應用之間的橋梁，理解問題背景是建立恰當數學模型的前提；創新往往源于對現實情境的深刻理解與洞察之中。引導學生理解問題情境，可以培養學生的數學直覺與創造力。

構建數學情境，提煉建模目標。“新課標”中數學建模水平三指出“要清楚所建立數學模型的有效性及適用范圍”。提煉目標可以明確建模方向，把握問題的關鍵要素，從而構建出符合問題需求的數學情境。結合生活經驗，捆扎包裝所用彩繩長度包括扎緊包裝盒的長度以及捆扎花結的長度。由于花結長度可固定統一，所以在討論不同捆扎方式所用彩繩長度時，只需討論扎緊包裝盒所用彩繩長度即可。本問題的建模目標是求解不同捆扎方式與所用彩繩長度之間的函數關系，并從節約成本的角度給出合理的捆扎建議。

設計意圖：構建數學情境、提煉建模目標，可使學生深入理解實際問題的需求和限制條件，有針對性地收集數據、設計模型，使模型更加貼近實際；同時培養學生全局思維，提高學生分析問題的能力。

識別數學元素，合理進行數學化。為了建立彩繩長度模型，需要識別捆扎過程中的相關因素并劃分自變量、因變量和其他參數。彩繩長度顯然是因變量，影響它的主要因素有捆扎方式（轉化為包裝盒的長、寬、高）、纏繞次數、包裝盒形狀、包裝盒上彩繩平滑程度、彩繩的類型與形狀等因素，實際情境中這些因素具有一定的隨機性，將其全部看作自變量會導致建模過程無從下手。為簡化問題，將最影響彩繩長度的包裝盒的長、寬、高視為模型的自變量，非主要考察的因素設定為它們在日常情境下的平均值，作為模型中的參數。為便于計算和建模，做出如下假設：包裝盒進行一次纏繞，包裝盒為常見的長方體，包裝盒上彩繩平滑且無多余褶皺，彩繩有足夠的韌性和強度以滿足包裝需求，并且不考慮彩繩的粗細對包裝效果的影響等。

問題沒有給出具體長度。出于直觀表示的目的，在將實際問題轉化成數學問題時，需精準識別數學元素并進行數學化。現設長方體包裝盒的長、寬、高分別是 x ， y ， z ，且 xgt;ygt;z ；所用彩繩繩長為 L 。

設計意圖：數學化是數學建模的基石。通過數學化，將復雜的實際問題轉化為一系列可操作的數學方程、不等式或優化問題，使問題更易進行數學處理和分析；通過數學化，提高學生用數學思維思考問題的能力，激發學生探索數學未知的興趣。并在此過程中引導學生將數學問題簡單化，基于已知條件做出合理的假設，培養學生的創新思維。

建立數學模型，求解數學結果。對于單道捆扎法而言（見圖3），當長方體各個面上的彩繩都與長方體的棱垂直時，所用彩繩最短，為 L=2x+2z 或 L=2y+2z 。對于單道捆扎法而言，最短繩長為 2y+2z 。

對于十字捆扎法而言（見圖4），當長方體每個面上的彩繩都與長方體的棱垂直時，所用彩繩最短，為 L=2x+2y+4z 。

對于對角捆扎而言，學生容易將其與對角線捆扎相混淆。對角捆扎是按某種對角線的路徑穿過或圍繞物體，捆扎方式可能并不嚴格遵循幾何學中的對角線定義；而對角線捆扎更側重嚴格遵循幾何學中的對角線定義，明確沿著對角線的路徑進行捆扎。為此，教師需要引導學生實際動手探索。

在對角線捆扎法中，經學生實踐發現，此種方法無法對禮盒進行有效捆扎。在對角捆扎法中，教師先讓學生動手捆扎，在實際操作中暴露困難；接著就學生出現的問題進行針對性講解；隨后引導學生展開捆扎示意圖，并借助拼湊法求解彩繩長度。在對角捆扎中，經過試驗，繩的捆扎長度與捆扎位置無關，因而以圖5中的捆扎為代表，計算對角捆扎所用繩長。

依據三角形的兩邊之和大于第三邊，判斷出：

對三種捆扎方式所用最短繩長進行比較，得出所用彩繩長度關系為：單道捆扎法最短，對角捆扎法次之，十字捆扎法最長。最后，讓學生思考此問題中最佳的捆扎方式不是單道捆扎法的原因。

出于捆扎牢固的目的，單道捆扎法僅適用于基礎固定（如緊急救援中臨時固定傷員）、輕量級材料捆扎（如搬家時捆扎衣物將其固定）等，但在需要高強度固定的包裝禮盒領域較少涉及，本問題不選擇單道捆扎法。

設計意圖：通過建立數學模型，將包裝彩繩問題轉化為比較線段長度問題，基于數據及計算結果，為決策提供科學依據；在此過程中，也能培養學生的數學表達能力、邏輯推理能力；同時，積累用建模思想解決問題的實踐經驗，為建模素養的培養奠定基礎。

結合現實情境，檢驗模型合理性。檢驗模型的合理性，需要運用數學知識及數學軟件，對現實數據進行擬合分析，觀察其與模型數據的吻合程度。考慮到時間及費用成本，提供給學生10個大小不同但長度滿足“長 gt; 寬 gt; 高”的長方體盒子，分別對其用十字捆扎、對角捆扎進行包裝并記錄數據，以此檢驗模型的合理性。

設計意圖：通過模型檢驗，不僅可增強模型的可解釋性，還可使學生意識到數學來源于生活又應用于生活。基于現實情境分析數學結果，檢驗數學模型的合理性，找到現實問題的最優解，從而更好地改進數學模型。

反思數學模型，強調持續優化。數學建模應充分考慮實際情境的多樣性及合理性。借助實驗數據進行擬合與驗證，得到解決“包裝彩繩問題”的數學模型。結合現實情境，分析和思考所建立的模型能否有效解決現實生活中的問題并得到有效推廣。

例如，改變模型條件：當禮盒的高最長時，對角捆扎是否仍能穩固捆扎并達到所用長度最短的目的…通過模型反思，及時調整模型的弊端，也可以識別潛在問題，從而更好地推動模型的迭代與優化。

設計意圖：通過模型反思，學生意識到所建模型的恰當與否，同時反思自己是否掌握數學建模流程并評估自身建模素養的發展水平。在此，教師引導學生發散思維，通過舉一反三、創新問題假設，帶領學生運用建模思想多次嘗試數學建模，以此加深學生對數學建模的理解并培養學生的綜合探究能力。

推廣數學模型，鍛煉批判思維。以下對“包裝彩繩問題”進行橫向遷移。

現有一座圓錐形小山，計劃從位于山腳的甲村莊修建一條公路至其背面山腰中點的乙村莊。已知山腳到山頂的距離為 40km ，山腳到其背面另一山腳兩端的水平距離為 60km 。問如何修建使得路程最短？

本問題的實質同樣是空間線段的最短問題。解決方法是通過降維，將空間問題轉化為平面問題。在教學中首先引導學生思考合適的路線展開圖，基于路線圖進行求解。

設計意圖：此問題是對“包裝彩繩問題”的目標達成檢驗。“包裝彩繩問題”向學生滲透了數學建模的一般步驟，即提取目標、數學化、建立模型并求解。該問題相對簡單，目的是通過讓學生分析和解決此問題，檢驗學生對數學建模流程的掌握情況，以及了解學生的數學建模素養水平。基于學生現階段的水平給予有效指導，使學生可以更加積極地投入數學學習中去。

通過對實際問題建立數學模型并求解，學生能基于數學知識解決問題，最后結合現實情境反思問題。此過程可以激發學生學好數學的信心，且能夠為學生建模素養的培養創造實踐的條件，從而提高學生綜合素質。

教學建議：基于問題驅動教學，積累相關建模經驗。在新課講授環節，將抽象的數學知識與學生的現實生活緊密聯系，創設貼近學生日常經驗的問題情境，激發學生的好奇心和探索欲，使學生意識到數學是解決生活實際問題的重要工具。在創設問題情境后，教師采用循循善誘的方式，逐步引導學生分析問題情境。如從問題情境中提煉出關鍵信息，識別數學問題的本質，以及探索可能的解決方案。在鞏固練習階段，教師從主導者轉變為觀察者和引導者，給學生預留足夠的思考空間和自主探索的時間。在這一過程中，學生需獨立面對與新課內容相關的數學問題，嘗試運用課堂上學到的知識和方法，分析問題、構建模型并求解，讓學生在實踐中檢驗理論，加深對數學原理的理解和應用能力。

基于學習進階開發課程，發展學生數學思維。不同教學階段的教師可以緊密圍繞課程標準以及當前學生的實際發展水平，深人研讀教材，確保全面、精確的把握知識點。在此基礎上，進一步分析并確定既符合學生認知規律又具有挑戰性的恰當教學目標，旨在提升學生的基礎知識掌握程度，同時培養學生的思維能力和解決問題的能力。此外，教師需要充分發揮專業創造力，開發和利用各種課程資源，如利用教材配套的多媒體教學資源、引入生活化的數學實例來增強學生的學習興趣，設計一系列由淺入深、循序漸進的教學活動和實踐項目，讓學生在參與和體驗中發展自身的數學思維。

基于數字化展開教學，培養學生模型意識。教師應不斷提升多媒體交互教學能力，充分利用現代信息技術手段來豐富教學內容。借助豐富的網絡資源，為學生介紹各種常見的數學模型。通過多次的多媒體互動教學練習，學生能夠在直觀感受中逐漸理解模型的應用場景和解題方法，這種教學方式不僅將復雜的數學問題變得簡單化，還能夠讓學生在潛移默化中增強學生的模型意識。

（作者單位：聊城大學數學科學學院；泰山學院數學與統計學院）