數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

隨著教學(xué)改革的持續(xù)推進(jìn)，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用凸顯了一定的優(yōu)勢(shì)和價(jià)值，不僅可以使抽象的數(shù)學(xué)概念變得具體形象，讓學(xué)生更容易理解和接受，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動(dòng)力；還能幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維和空間想象力，在幾何圖形中直觀看到數(shù)學(xué)規(guī)律和關(guān)系。另外，數(shù)形結(jié)合思想可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和幾何圖形解決問(wèn)題的能力。基于此，本文以高中數(shù)學(xué)“向量的減法運(yùn)算”為例，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用展開(kāi)研究。

一、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，引導(dǎo)課前預(yù)習(xí)

在課堂教學(xué)之前，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)展開(kāi)預(yù)習(xí)，對(duì)課程形成初步認(rèn)知，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，從而提高學(xué)生的預(yù)習(xí)質(zhì)量，為后期課堂學(xué)習(xí)做好鋪墊。

例如，在教學(xué)“向量的減法運(yùn)算”時(shí)，教師可按照如下步驟指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行預(yù)習(xí)。

首先，教師提出一個(gè)具體問(wèn)題：“有兩個(gè)向量 A 和B ，向量 A 的起點(diǎn)為點(diǎn) P（1，2） ，終點(diǎn)為點(diǎn) Q（4，5） ，向量 B 的起點(diǎn)為點(diǎn) Q（4，5） ，終點(diǎn)為點(diǎn) R（6，3） ，求向量A 減去向量 B 的結(jié)果。\"基于此問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考向量的減法運(yùn)算，并結(jié)合教材鼓勵(lì)學(xué)生嘗試計(jì)算向量A減去向量 B 的結(jié)果，即向量 B 的終點(diǎn)坐標(biāo)減去向量 A 的起點(diǎn)坐標(biāo)。

在學(xué)生思考后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將問(wèn)題中的點(diǎn)繪制到坐標(biāo)系中，體會(huì)向量在坐標(biāo)系中的幾何展示，讓學(xué)生直觀地猜想向量的減法運(yùn)算。在這個(gè)例子中，教師可以讓學(xué)生畫(huà)出向量A和向量 B 的起點(diǎn)和終點(diǎn)，并標(biāo)出向量減法的計(jì)算過(guò)程。基于學(xué)生的探究，教師可以提出探究性問(wèn)題：“如果向量 A 和向量B的方向相同，向量減法的結(jié)果會(huì)是怎樣的？”

通過(guò)這樣的預(yù)習(xí)過(guò)程，教師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)計(jì)算和幾何圖形相結(jié)合，幫他們建立向量減法的數(shù)形結(jié)合思維模式，從而運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式理解向量的減法運(yùn)算，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和幾何直觀想象力。

二、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，實(shí)施課堂教學(xué)

（一）創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，構(gòu)建新舊知識(shí)銜接

創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，還能構(gòu)建新舊知識(shí)的銜接，讓學(xué)生基于所學(xué)知識(shí)以及學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)展開(kāi)探究性學(xué)習(xí)，從而促進(jìn)課堂教學(xué)效果的提升。為此，在“向量的減法運(yùn)算”教學(xué)中，教師可以按照如下步驟實(shí)施教學(xué)。

首先，教師可以創(chuàng)設(shè)一個(gè)有趣的教學(xué)情境：在一個(gè)“尋寶探險(xiǎn)\"活動(dòng)中，探險(xiǎn)家對(duì)山洞里的方向進(jìn)行了定位，并繪制了路線圖，已知山洞里的寶藏就在探險(xiǎn)家的路線上，需要通過(guò)解決向量減法問(wèn)題來(lái)找到寶藏的具體位置。基于此情境，教師啟發(fā)學(xué)生思考：若從起點(diǎn)出發(fā)，依次按照向量 A（3，4） 向量 B（1，2） 、向量 C（2，-1） 的方向前進(jìn)，最終會(huì)到達(dá)哪個(gè)位置？教師指導(dǎo)學(xué)生在地圖上繪制向量 A 、向量 B 、向量 c 的方向，標(biāo)注起點(diǎn)和終點(diǎn)，直觀展示向量的減法過(guò)程。

教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧上節(jié)課涉及的力的合成原理，通過(guò)圖示展示向量的三角形法則和平行四邊形法則的應(yīng)用（見(jiàn)圖1），以此鞏固學(xué)生對(duì)這兩種法則的理解。

1.三角形定則：給定非零向量 ，在二維空間內(nèi)選取任意點(diǎn) A ，繪制向量 與向量 ，那么這兩個(gè)向量的組合 被稱為向量 與 的和，記為a+b ，即

2.平行四邊形定則：假設(shè)有兩個(gè)不共線的向量^a，b ，繪制向量 和向量 ，以A 和 這兩個(gè)向量為鄰邊構(gòu)造平行四邊形 ABCD ，那么該平行四邊形對(duì)角線上的向量即為 與 的合成向量A 。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生親手繪制出三角形和平行四邊形，以此展示向量加法的運(yùn)算過(guò)程

教師引導(dǎo)學(xué)生思考并提出啟發(fā)性問(wèn)題：“你們還能想起實(shí)數(shù)的相反數(shù)是如何定義的嗎？?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算是否可以視為加法的一種形式？向量減法又是如何界定的呢？如何通過(guò)向量的減法幫助情境中的探險(xiǎn)家找到寶藏的位置呢？”

通過(guò)創(chuàng)設(shè)這樣的教學(xué)情境，學(xué)生可以在實(shí)際探險(xiǎn)任務(wù)中運(yùn)用向量減法的知識(shí)，將抽象的數(shù)學(xué)概念與具體的情境相結(jié)合，提高學(xué)習(xí)興趣和理解能力。

（二）探究課程知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維

在探究課程知識(shí)的過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算和幾何圖形之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的形象思維，促進(jìn)學(xué)生掌握向量減法的知識(shí)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

探究點(diǎn)1：向量的減法

首先，教師應(yīng)輔導(dǎo)學(xué)生掌握關(guān)于逆向向量的基本概念及特性。

概念解析：如果一個(gè)向量與另一向量 的模長(zhǎng)相等，但方向恰好與之相悖，那么這個(gè)向量就被稱作是 的逆向向量。

特征闡述：（1）雙重否定等于肯定，即 -（-a） 等同于 在逆向量的范疇內(nèi)，向量 與它的逆向向量相加的結(jié)果是零向量。（3）如果向量 與向量 彼此是逆向向量，則滿足 等于 ^-b ，且 與 相加的結(jié)果為零向量。

基于學(xué)生對(duì)相反向量的認(rèn)識(shí)，教師啟發(fā)學(xué)生思考實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算，一個(gè)數(shù)減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，如 3-5=3+（-5）=-2 ；那么在向量的減法運(yùn)算中，一個(gè)向量減去一個(gè)向量，是否可以模仿實(shí)數(shù)的算理進(jìn)行運(yùn)算呢？

教師通過(guò)幾何圖形展示向量減法的運(yùn)算過(guò)程，形如圖2所示。

教師借助實(shí)例輔導(dǎo)學(xué)生理解向量相減的概念：當(dāng)從一個(gè)向量中減去另一個(gè)向量時(shí)，實(shí)際上等同于添加該向量的負(fù)值。具體操作：在二維空間內(nèi)選取任意一點(diǎn) o ，繪制向量 對(duì)應(yīng) ，向量 對(duì)應(yīng) ，于是向量 OA 與向量 ?OB 之差 即為向量 減去向量 。

隨后，教師鼓勵(lì)學(xué)生探究：在哪些情況下，向量 減去向量 的模等于向量 的模與向量 的模之和？這一條件在向量 和 中至少有一個(gè)為零向量，或者向量 和 非零且方向相反時(shí)得以滿足。

通過(guò)這一系列的教學(xué)活動(dòng)，教師將實(shí)數(shù)減法的概念遷移到向量減法，從而搭建起知識(shí)之間的橋梁，并促進(jìn)學(xué)生問(wèn)題解析能力的提升。在這一過(guò)程中，教師逐步指導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)向量運(yùn)算與幾何圖形之間的相互關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合解決實(shí)際問(wèn)題。

探究點(diǎn)2：向量減法的幾何意義

在完成上述課程探究后，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題。

如圖3，已知向量 ^a，b，c 不共線，求作向量 δa+δ 。

X C

基于此問(wèn)題，教師指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)合作探究，根據(jù)向量的定義以及減法運(yùn)算的規(guī)律展開(kāi)運(yùn)算，并鼓勵(lì)

各小組進(jìn)行探究匯報(bào)。

學(xué)生小組1：方法一：在二維空間中選取任意一點(diǎn) o ，構(gòu)造向量 等于 ，向量 等于 ，向量 等于 c ，并將點(diǎn) B 與點(diǎn) c 相連。此時(shí)，向量 等于 減去 。從點(diǎn) A 引出向量 使其垂直于 BC ，并將點(diǎn)o 與點(diǎn) D 相連。因?yàn)橄蛄? 等于向量 減去向量c ，所以向量 加上向量 等于 。

方法二：在二維空間中隨機(jī)選取一點(diǎn) o ，繪制向量 等于 ，向量 等于 ，并將點(diǎn) o 與點(diǎn) B 相連，此時(shí)向量 等于向量 加上向量 ??b 。接著，構(gòu)造向量 等于 ，并將點(diǎn) c 與點(diǎn) B 相連，此時(shí)向量 等于向量 加上向量 減去向量 。

方法三：在二維空間中任意選取一點(diǎn) o ，繪制向量 等于 ，向量 等于 ，并將點(diǎn) o 與點(diǎn) B 相連，此時(shí)向量 等于向量 加上向量 然后，構(gòu)造向量 等于 α（c ，并將點(diǎn) o 與點(diǎn) C 相連，此時(shí)向量 等于向量 加上向量 減去向量 。

在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納解題策略：在計(jì)算兩個(gè)向量的差時(shí)，可以先將其中一個(gè)向量視為另一個(gè)向量的反向量，利用圖形表示這個(gè)反向量，進(jìn)而通過(guò)加法運(yùn)算得到結(jié)果；或者采用三角法則，即兩個(gè)向量的差相當(dāng)于從其中一個(gè)向量的終點(diǎn)指向另一個(gè)向量的終點(diǎn)，從而確定差向量。

探究點(diǎn)3：針對(duì)已知向量求解未知向量的問(wèn)題

教師引導(dǎo)學(xué)生探討以下問(wèn)題：如圖4，在平行四邊形ACDE中， B 點(diǎn)位于該圖形外側(cè)，已知向量 等于 ，向量 等于 ，向量 等于 α_c ，現(xiàn)嘗試?yán)?^a，b 和 c 來(lái)表示向量 、向量 和向量 （2號(hào)解析：鑒于四邊形 ACDE 構(gòu)成平行四邊形，

因此， ，所以， 。

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握如何利用已知向量推導(dǎo)出其他向量的規(guī)則與技巧：首先，要從題目中我到關(guān)鍵信息，分析向量之間的關(guān)系，確定哪些是已知向量，哪些是所求向量。其次，根據(jù)向量加法和減法的幾何意義，對(duì)已知向量進(jìn)行幾何表達(dá)，并通過(guò)加法和減法的過(guò)程計(jì)算出所求向量的幾何表達(dá)。最后，對(duì)所求向量進(jìn)行驗(yàn)證，以此判斷計(jì)算的正確性。

這樣的教學(xué)過(guò)程可以加深學(xué)生對(duì)向量減法運(yùn)算的理解，同時(shí)學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決向量之間的加減運(yùn)算，以此培養(yǎng)學(xué)生的幾何思維，促進(jìn)學(xué)生解題能力的提升。

（三）開(kāi)展習(xí)題測(cè)試，鍛煉學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用

在“向量的減法運(yùn)算\"教學(xué)中，學(xué)生雖然掌握了算理知識(shí)，但對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決能力依然較弱。教師需要借助一系列經(jīng)典的課堂例題深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，鍛煉學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，同時(shí)將數(shù)形結(jié)合思想真正內(nèi)化于心。形如。

題1：在 ΔABC 中， D 是 BC 邊上的一點(diǎn)，則A 1 等于

解析：選C。在三角形 ABC 中， _D 點(diǎn)位于 BC 邊上，依據(jù)向量減法的幾何含義，可推知 O題2：化簡(jiǎn) 。解析：原式 。答案： 。題3：已知 ，則 的取值范圍為解析：因?yàn)? 所以 。又因?yàn)? 所以 。答案：[3，17]。題4：若 o 是 ΔABC 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 ，試判斷 ΔABC 的形狀。

解：因?yàn)?

號(hào)

又因?yàn)?

所以 ，該平行四邊形為矩形，所以 AB⊥AC ，所以 ΔABC 是直角三角形。

上述習(xí)題考查了學(xué)生對(duì)向量減法的理解以及用向量減法解決問(wèn)題的能力，要求學(xué)生能夠根據(jù)題意構(gòu)建相關(guān)的向量幾何模型，再結(jié)合算理知識(shí)以及向量減法的運(yùn)算過(guò)程對(duì)題目展開(kāi)解析。

在學(xué)生完成課堂練習(xí)后，教師指導(dǎo)學(xué)生梳理本課知識(shí)小結(jié)。

1.相反向量解析

概念：如果一個(gè)向量與向量 等長(zhǎng)但方向相反，則稱這個(gè)向量為 的反向量，記作- ??a 。特別地，零向量的反向量仍然是零向量。

特性： （1）0-（-a）=a，a+（-a）=（-a）+a=0; （2）如果向量 和向量 互為反向量，則 a=-b，b=-a，a+b=0， （2號(hào)

2.向量減法規(guī)則

（1）向量 與向量 的反向量相加，得到的結(jié)果稱為向量 與向量 的差，表示為 a-b=a+（-b） 。這種計(jì)算兩個(gè)向量差的操作稱為向量的減法。

（2）操作方法：在平面內(nèi)選取任意一點(diǎn) o ，繪制向量 代表 ，向量 代表 ，那么向量 即為向量 減去向量 的結(jié)果，如圖5所示。

在幾何學(xué)中，向量 減去向量 的運(yùn)算，即 a-b 其幾何意義可以被詮釋為從向量 的終點(diǎn)到向量 的終點(diǎn)的向量，這個(gè)向量實(shí)際上描述了從向量 到向量 的位移。換句話說(shuō)，它是從向量 的末端出發(fā)，到達(dá)向量 末端的直線段的向量表示。這種向量運(yùn)算在解析幾何中是非常基礎(chǔ)且重要的，它幫助我們直觀地理解兩個(gè)向量之間的相對(duì)位置和方向關(guān)系。

三、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，完成課后作業(yè)

首先，教師按照學(xué)生的學(xué)習(xí)水平設(shè)計(jì)作業(yè)題目，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用向量減法解決問(wèn)題。其次，在學(xué)生運(yùn)算過(guò)程中，教師要求學(xué)生在紙上或電腦上繪制坐標(biāo)系，并將計(jì)算出的向量減法結(jié)果在坐標(biāo)系上標(biāo)注出來(lái)，直觀地展示題目的運(yùn)算過(guò)程。另外，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)計(jì)算和幾何圖形相結(jié)合，幫助他們理解向量減法的意義和應(yīng)用，并提醒學(xué)生注意向量的方向和大小。基于此，教師為學(xué)生布置如下作業(yè)。

1.如圖6所示， o 是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC，BD 的交點(diǎn)， ，求證： （204 。

題目解析：

題目考查學(xué)生利用已知向量展開(kāi)向量運(yùn)算的能力，要求學(xué)生運(yùn)用向量的減法運(yùn)算進(jìn)行題自證明。

【詳解】因?yàn)? 所以b+c-a=OA。

數(shù)形結(jié)合的課后作業(yè)設(shè)計(jì)可以幫助學(xué)生鞏固向量減法的知識(shí)，加深他們對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。同時(shí)，通過(guò)實(shí)際操作和圖形展示，學(xué)生可以更直觀地理解向量減法的過(guò)程，提高數(shù)學(xué)思維能力和幾何直觀理解能力，從而促進(jìn)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效應(yīng)用。

四、總結(jié)

綜上分析，數(shù)學(xué)教學(xué)中融合數(shù)形結(jié)合的理念，具有重要的教學(xué)應(yīng)用價(jià)值。首先，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)預(yù)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)課程知識(shí)形成初步認(rèn)知。其次，教師可以在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生探究課程知識(shí)，開(kāi)展習(xí)題測(cè)試，從而讓數(shù)形結(jié)合思想融人各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，提升教學(xué)效果。最后，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)學(xué)生完成課后作業(yè)，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和實(shí)際問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維和空間想象力，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和幾何圖形提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：福建省三明市泰寧縣第一中學(xué)）

編輯：趙文靜