4個運動解耦的單回路兩自由度三平移并聯機構的拓撲設計及其位置封閉解研究

中圖分類號：TH112 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.06.008

0 引言

單回路并聯機構被視為兩支鏈的、結構最為簡單的一類并聯機構，這類機構自由度少、能耗低，是構成復雜空間多回路機構的單元和基礎[-3]，有著重要的學術價值和廣泛的應用前景4。但相比于以多自由度并聯機構為代表的空間多回路機構研究而言，目前，學術界對單回路機構的拓撲、運動學和動力學的研究相對較少，特別是對由純低副組成的單回路機構。

少輸入-多輸出機構是一類特殊的并聯機構，這類機構的自由度少于其輸出構件的運動類型和數目（方位特征，Positionand OrientationCharacteristics，POC），故可用于篩分、混合、攪拌等需要復雜、多維的空間運動，且對精度要求不高的場合[5-7]。若能結合單回路機構與少輸入-多輸出機構的優點，則能夠得到結構簡單、能耗低，同時又能實現空間復雜運動的機構，顯著提高生產效率，在實際應用中具有顯著優勢。

單回路機構只有兩條支鏈，支鏈間相互約束的能力小。當運動副數量較多時，位置求解較為復雜、困難。位置求解是所有機構研究的基礎，主要求解方法有數值法（ n 維搜索法，逐次逼近法等）、解析法（矢量分析法，序單開鏈法等）[8-9。如能求得其解析解，則會為機構的后續研究，如工作空間、誤差分析以及動力學研究，帶來方便[0-1]

為此，本文構造了一類4個新型單回路的兩自由度三平移并聯機構，它們都具有部分運動解耦性。計算了其自由度；導出了它們位置正解的一元八次方程（封閉解）以及符號式位置反解，并用數值法驗證了其準確性；同時，通過正解方程分析了其動平臺輸出運動間的關聯性，為后續研究提供了技術支持。

1機構拓撲設計與分析

為使機構能夠用于篩分、混合、攪拌等需要復雜、多維的空間運動的場合，動平臺的輸出元素應不小于3個位移量。據此原則，初步確定所構造新型機構的末端P0C集為3T（3平移），支鏈數目為2（即單回路），自由度為2。

1.1拓撲設計的基本方程

機構支鏈末端串聯POC集（ （M_bi） 與機構動平臺并聯POC集 （M_pa） 方程[12]3，56[1313分別為

M_bi=?_k=1^mM_Jk

M_pa=?_i=1ⁿM_bi

式中， M_Jk 為第 k 個運動副的POC集； ?_m 為運動副數；M_bi 為第 i 條支鏈末端的POC集； n 為支鏈數； M_pa 為機構動平臺的POC集。

1. 2 支鏈設計

1.2.1 支鏈I的設計

由式（2）易知，機構的每條支鏈都必須至少包含3個移動元素。將一個移動副 P₁₁ 和兩個轉動副組 依次首尾相連，組成支鏈 I^[14-15] 。根據移動副與靜平臺0、動平臺1的連接關系，支鏈I可有4種形式，分別如圖1（a）＼～圖1（d）所示。其中，支鏈I-1、I-2、I-3的拓撲結構可記為： ；支鏈I-4的拓撲結構可記為： 。

由式（1）可知，上述4種支鏈I末端構件的POC 集為

M_bl=M_p∪M₁∪M₂=[t¹（//P₁₁）]∪[t²（⊥R₁₂）]∪

因此，支鏈I末端輸出運動為3T2R（3平移2轉動），包含設計所需的3T位移元素。

1.2.2 支鏈Ⅱ的設計

為使結構簡單，采用最簡易的由一個P副與兩個軸線相互平行的轉動副平行串聯組成的方式，如圖2所示。其拓撲結構可記為：支鏈Ⅱ 。

由式（1）可得，支鏈Ⅱ的POC集為

因此，支鏈 I 末端輸出運動為3T1R（3平移1轉動），包含設計所需的3T位移元素。

1.3 機構構造

為得到三平移并聯機構，需消除支鏈I、支鏈I 中各自存在的轉動元素。為此，將支鏈I中 R₁₃ 、R₁₅ 副軸線與支鏈Ⅱ中 R₂₃ 副軸線均作垂直布置。根據這一原則，可以組成4種單回路空間并聯機構，分別如圖3（a）＼～圖3（d）所示。

由式（2）可知，這4個機構動平臺的P0C集均為

因此，該機構動平臺具有三平移的特性。

1. 4 自由度分析

非瞬時自由度（亦稱全周自由度）的計算式[121713140為

式中， F 為機構自由度； f_k 為第 k 個運動副的自由度（不含局部自由度）； Φ_ν 為獨立回路數 （ν=m-p+1 ，p 為機構所含的構件數）； ξ_?Lj 為第 j 個回路的獨立位移方程數； ?_i=1^jM_bi 為由前 j 條支鏈組成的子并聯機構的POC集； M_b（j+1） 為第 j+1 條支鏈末端構件的POC集。

由式（4）可知，上述4個機構的獨立位移方程數均為

因此，由式（3）求得，這4個機構的自由度均為

這樣，當取靜平臺上的 P₁₁ 、 P₂₁ 為驅動副時，動平臺1可實現三平移輸出，但只有兩個移動是獨立運動量，另一個移動量為派生的運動量。

下面分別對這4個單回路機構進行運動學位置分析與求解。

2 運動學分析

2.1機構1位置正反解分析

機構1的運動學建模如圖4所示。

以靜平臺0導軌上一點 o 為原點建立笛卡兒靜坐標系 O-XYZ ， X 軸垂直于 P₂₁ 軸線方向， Y 軸與 P₂₁ 軸線方向重合， Z 軸方向由右手定則確定；動坐標系_o-xyz 原點位于動平臺1幾何中心 σ_o ， x 軸、 y 軸、 z 軸分別平行于 X 軸、 Y 軸、 Z 軸。

設 ， ， ， ， ， ，

2.1.1 機構1位置正解分析

設 ， ，向量 l_B4B5 與 x 軸正方向的夾角為 α 。該機構位置正解可歸結為：已知靜平臺0上A₁A 、 B₁B 的位移距離 ，求動平臺1上原點 Σ_o 坐標 。

在靜坐標系 O-XYZ 中， ， A₂= （x₁，-a，l₁），B₁=（x₂，a，0），B₂=（x₂，a，l₆）

在動坐標系中， b，z），B₄=（x-l₃cosα，y+b，z-l₃sinα），

因桿 A₂A₃ 在運動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₂B₃ 在運動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ， ，分別建立位置方程，有

由式（7）得

將式（5）、式（8）代入式（6），化簡可得

式中， J₁=l₄-l₁+l₆;K₁=a-b;L₁=x₁-x₂;M₁=

進一步，化簡得

式中， n₁=n₂=l₃⁴;n₃=-2l₃⁴;n₄=4J₁l₃³;n₅=4L₁l₃³; （20

令 u=tan（α/2） ，代入式（9），整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式中， T₀=n₁+n₅+n₉+n₁₂+n₁₃;T₁=2n₆+2n₁₀+ （204 2n11； T₂=4n₃-4n₁-2n₅+4n₇+4n₈+2n₁₂+4n₁₃; （2 T₃=8n₄-2n₆+2n₁₀+6n₁₁;T₄=6n₁+16n₂-8n₃+ （204號 （204號 T₆= 4n₃-4n₁+2n₅-4n₇+4n₈-2n₁₂+4n₁₃;T₇=2n₆- （204號 2n₁₀+2n₁₁;T₈=n₁-n₅+n₉-n₁₂+n₁₃₀ （204號

式（11）為一元八次非線性方程，可用迭代法求解所有實數解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α ，故正解為

由式（12）可知，機構1動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機構具有部分運動解耦性； y 方向上運動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅動輸人不直接相關，是γ方向運動量的派生量。

2.1.2 機構1位置反解分析

機構1的位置反解可歸結為：已知動平臺1質心 ，求驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 x₁ 、 x₂ 。

由式（5）可得

x₁=x

將式（14）代入式（7）并化簡，可得

式（13）、式（15）即為機構1的反解。

2.1.3機構1正反解數值算例

設機構1的尺寸參數： a=50mm，b=30mm，l₁= 20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm，l₅= 20mm ， l₆=20mm 。

為此，建立機構1的三維CAD模型，從中測量得到，兩個驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 x₁= -31.5975、 x₂=-65.3866 ，相對應基點 σ_o 的輸出值分別為 x=-31.5975 ！ y=7.7796 ！ z=48.7889 。

1）封閉式正解的驗證當 x₁=-31.5975 、 x₂=-65.3866 時，有

利用二分法對 f（u） 進行迭代求解，得到8組解，其中，2組實數解 u 及其對應的 α 值如表1第2、第3列所示。

將 α 值代人式（12），得到機構1對應的位置正解，如表1右邊兩列所示。顯然，表1中第2組解 y= 7.7945、 z=48.7979 ，與三維模型測量值的誤差在1% 之內。因此，機構1的一元八次方程（封閉解）推導正確。

2）符號式反解的驗證

將3D模型中測量的動平臺基點 Σ_o 的輸出值 x= -31.5975、 y=7.779 6 、 z=48.7889 ，代入式（13）、式（15），得到對應的2組輸入值，如表2所示。

由表2可知，第1組理論值 x₁=-31.5975 、 x₂= -65.3952與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內。因此，機構1位置反解的公式推導正確。

2.2機構2位置正反解分析

機構2的運動學建模如圖5所示。靜坐標系 O- XYZ 與動坐標系 _o-xyz 的建立與第2.1節所述相似。進一步，設 ， ， ， ， l₃ ， ， ， 。

2.2.1 機構2位置正解分析

設 ， ，向量 l_B3B2 與 x 軸正方向的夾角為 α 。

該機構位置正解可歸結為：已知靜平臺0上 A₁A ）B₁B 的位移距離 ，求動平臺1上基點 σ_o 的坐標 。

在靜坐標系 O-XYZ 中， ）， A₂= （x₁，-a，l₁），B₁=（x₂，a，0），B₂=（x₂，a，l₆） ， B₃= （x-l5 cosα，a， l₆+l₅sinα， ）， a， l₆+ l₅sinα+l₄）

由動平臺基點 ，得

因桿 A₂A₃ 在運動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₄B₅ 在運動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ，分別建立方程，有

（y-b+a）²+（z-l₁）²=l₂²

（x-x₂+l₅cosα）²+（y+b-a）²=l₃²

由式（18）得

將式（16）、式（19）代入式（17），化簡可得

式中， J₂=l₄-l₁+l₆;K₂=a-b;L₂=x₁-x₂;M₂= 1

進一步，化簡得

式中， n₁=n₂=l₅⁴;n₃=-2l₅⁴;n₄=4J₂l₅³;n₅=4L₂l₅³; n₆=-4J₂l₅³;n₇=-4L₂l₅³;n₈=2l₅²（2J₂²+M₂）;n₉= 1-2l₅²（M₂-8K₂²-2L₂²）;n₁₀=-8J₂L₂l₅²;n₁₁=4J₂M₂l₅; n₁₂=-4L₂l₅（M₂-8K₂²）;n₁₃=-N_2^°

令 u=tan（α/2） ，代入式（20），整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式中， T₀=n₁+n₅+n₉+n₁₂+n₁₃;T₁=2n₆+2n₁₀+ （204號 2n₁₁ ； T₂=4n₃-4n₁-2n₅+4n₇+4n₈+2n₁₂+4n₁₃ T₃=8n₄-2n₆+2n₁₀+6n₁₁;T₄=6n₁+16n₂-8n₃+ （204號 T6= 4n₃-4n₁+2n₅-4n₇+4n₈-2n₁₂+4n₁₃;T₇=2n₆- 2n₁₀+2n₁₁;T₈=n₁-n₅+n₉-n₁₂+n₁₃° （20

式（22）為一元八次非線性方程，可用迭代法求解所有實數解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α ，故正解為

由式（23）可以看出，機構2動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機構具有部分運動解耦性；y 方向上運動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅動輸入不直接相關，是 y 方向運動量的派生量。

2.2.2 機構2位置反解分析

機構2的位置反解可歸結為：已知動平臺1質心 ，求驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 x₁ 、 x₂， 。

由式（16），可得

將式（25）代入式（18）并化簡，可得

式（24）、式（26）即為機構2的反解。

2.2.3機構2正反解數值算例

設機構2的尺寸參數為： a=50mm ， b=30mm l₁=20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm 1，l₅=20mm，l₆=20mm 。

為此，建立機構2的三維CAD模型，從3D模型中測量得到，兩個驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 x₁=-52.5246 、 x₂=-48.9037 ，相對應基點 σ_o 的輸出值分別為x=-52.5246、y=4.5236、 z= 51.617 4。

1）封閉式正解的驗證當 x₁=-52.5246 、 x₂=-48.9037 時，有

利用二分法對 f（u） 求解，得到8組解，其中，2組實數解 u 及其對應的 α 值如表3第2、第3列所示。將 α 值代入式（23），得到機構2對應的正解如表3右邊兩列所示。

顯然，表中第4組解 x=-52.524 6 1 y=4.5240 z=51.6039 ，與三維模型測量值的誤差在 1% 之內。因此，機構2的一元八次方程（封閉解）推導正確。

2）符號式反解的驗證

將3D模型中測量的動平臺基點 σ_o 的輸出值 x= -52.5246、 y=4.523 6 、 z=51.6174 ，代入式（24）、式（26），得到對應的2組輸入值，如表4所示。

由表4可知，第2組理論值 x₁=52.524 6 、 x₂= -48.9128與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內。因此，機構2位置反解的公式推導正確。

2.3機構3位置正反解分析

機構3的運動學建模如圖6所示。靜坐標系 O- XYZ 與動坐標系 _o-xyz 的建立與第2.1節所述相似。進一步，設 ， ， ， ，

2.3.1 機構3位置正解分析

設 ， ，向量 l_B4B5 與 x 軸正向的夾角為 α 。

該機構位置正解可歸結為：已知靜平臺0上 ） 的位移距離 ，求動平臺1上基點 σ_o 的坐標（2號 。

在靜坐標系 O-XYZ 中， ， A₂= （x₁，-a，l₁），B₁=（0，y₁，0），B₂=（0，y₁，l₆）

在動坐標系中，由動平臺基點 可得 ，進一步，點B₄ 、 B₃ 的坐標： （204號

因桿 A₂A₃ 在運動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₂B₃ 在運動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ，分別建立方程，有

（y-b+a）²+（z-l₁）²=l₂²

（x-l₃cosα）²+（y+b-y₁）²=l₅²

由式（29）得

將式（27）、式（30）代人式（28），化簡可得

式中， J₃=l₄-l₁+l₆;K₃=a-2b;L₃=l₅²-x₁²; （204號M₃=J₃²+K₃²+L₃+2K₃y₁+y₁²-l₂²;N₃=2K₃²+2y₁²+ （2號4K₃y₁-M₃;O₃=4L₃y₁²-M₃²+8K₃L₃y₁+4K₃²L₃₀

進一步，化簡得

式中， n₁=n₂=l₃⁴;n₃=-2l₃⁴;n₄=4J₃l₃³;n₅=-4l₃³x₁ （20（204號 n₆=-4J₃l₃³;n₇=4l₃³x₁;n₈=2l₃²（2J₃²+M₃）; n₉= 2l₃²（N₃+2x₁²）;n₁₀=8J₃l₃²x₁;n₁₁=4J₃M₃l₃; n₁₂= -4N₃l₃x₁;n₁₃=-O₃₀ （204號

令 u=tan（α/2） ，代入式（31）整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式（33）為一元八次非線性方程，可用迭代法求解所有實數解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α ，故正解為

由式（34）可以看出，機構3動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機構具有部分運動解耦性；y 方向上運動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅動輸入不直接相關，是 y 方向運動量的派生量。

2.3.2機構3位置反解分析

機構3的位置反解可歸結為：已知動平臺1質心 ，求驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 。

由式（27），可得

x₁=x

將式（36）代入式（29）并化簡，可得

式（35）、式（37）即為機構2的反解。

2.3.3機構3正反解數值算例

設機構3的尺寸參數為： a=50mm ， b=30mm l₁=20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm l₅=20mm，l₆=20mm □

為此，建立機構3的三維CAD模型，從3D模型中測量得到，兩個驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 _{x1=22.638 1} 、 y₁=19.549 9 ，相對應基點 σ_o 的輸出值分別為 _x=22.6381 、 y=9.0394 、 z=47.521 0 。

1）封閉式正解的驗證當 x₁=22.638 1 、 y₁=19.5499 時，有

用二分法對 f（u） 求解，得到8組解，其中，2組實數解 u 及其對應的 α 值如表5第2、第3列所示。將α 值代入式（34）得到，機構3對應的正解如表5右邊兩列所示。

顯然，表中第2組解 x=22.6381.y=9.1332、z= 47.4099，與三維模型測量值的誤差在 1% 之內。因此，機構3的一元八次方程（封閉解）推導正確。

2）符號式反解的驗證

將3D模型中測量的動平臺基點 σ_o 的輸出值 x= 22.6381、 y=9.039 4 、 z=47.521 0 ，代入式（35）、式（37），得到對應的2組輸入值，如表6所示。

由表6可知，第2組理論值 x₁=22.638 1 、 y₁= 19.4674與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內。因此，機構3位置反解的公式推導正確。

2.4機構4位置正反解分析

機構4的運動學建模如圖7所示。靜坐標系 O- XYZ 與動坐標系 _o-xyz 的建立與第2.1節所述相似。進一步，設 ， ， ， ， l₄ ， ，

2.4.1機構4位置正解分析

設 ， ，向量 l_B2B3 與 x 軸正方向的夾角為 α 。

該機構的位置正解可歸結為：已知靜平臺上 、 的位移距離 ，求動平臺1上基點 σ_o 的坐標 ○

在靜坐標系 O-XYZ 中， A₁=（x₁，-a，0） ， A₂= （204號進一步，點 B₃ 、 B₄ 的坐標： l₅sinα），B₄=（l₅cosα，y₁，l₆+l₅sinα+l₄）₉ 。

由動平臺基點 得

因桿 A₂A₃ 在運動過程中始終與 X 軸垂直，桿 B₂B₃ 在運動過程中始終平行于水平面，則有

由幾何約束 ，分別建立方程，有

（y-b+a）²+（z-l₁）²=l₂²

（x-l₅cosα）²+（y+b-y₁）²=l₃²

由式（40）得

將式（38）、式（41）代人式（39），化簡可得f（α）=l_s⁴cos⁴α+l_s⁴sin⁴α-2l_s⁴cos²αsin²α+ 4J₄l₅³sin³α-4l₅³x₁cos³α-4J₄l₅³cos²αsinα+ 4l₅³x₁cosαsin²α+2l₅²（2J₄²+2M₄）sin²α+ 2l₅²（N₄+2x₁²）cos²α+8J₄l₅²x₁cosαsinα. +4J₄M₄l₅sinα-4N₄l₅x₁cosα-O₄=0 式中， J₄=l₄-l₁+l₆;K₄=a-2b;L₄=l₃²-x₁²; M₄=J₄²+K₄²+L₄+2K₄y₁+y₁²-l₂²;N₄=2K₄²+2y₁² +4K₄y₁-M₄;O₄=4L₄y₁²-M₄²+8K₄L₄y₁+4K₄²L₄₀

進一步，化簡得 n₁₂cosα+n₁₃=0 （204 （42）

式中， n₁=n₂=l₅⁴;n₃=-2l₅⁴;n₄=4J₄l₅³ （202/ I₄）;n₉=2l₅²（N₄+2x₁²）;n₁₀=8J₄l₅²x₁;n₁₁= （204號 4J₄M₄l₅;n₁₂=-4N₄l₅x₁;n₁₃=-O₄₀

令 u=tan（α/2） ，代入式（42），整理可得

因 （1+u²）⁴≠0 ，所以

式中， T₀=n₁+n₅+n₉+n₁₂+n₁₃;T₁=2n₆+2n₁₀+ 2n11； T₂=4n₃-4n₁-2n₅+4n₇+4n₈+2n₁₂+4n₁ T₃=8n₄-2n₆+2n₁₀+6n₁₁;T₄=6n₁+16n₂-8n₃+ T6=4n₃-4n₁+2n₅-4n₇+4n₈-2n₁₂+4n₁₃;T₇=2n₆- 2n₁₀+2n₁₁;T₈=n₁-n₅+n₉-n₁₂+n₁₃₀ （204號

式（44）為一元八次（非線性高次）方程，可用迭代法求解所有實數解，再由 u=tan（α/2） 求解變量 α 故正解為

由式（45）可以看出，機構4動平臺在 x 方向上的移動僅由 x₁ 決定，因此，機構具有部分運動解耦性；y 方向上運動由 決定；而在 z 方向上的移動量與驅動輸入不直接相關，是 y 方向運動量的派生量。

2.4.2機構4位置反解分析

機構4的位置反解可歸結為：已知動平臺1質心 ，求驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的輸入位置 x₁ 、 y₁ 。

由式（38），可得

x₁=x

將式（47）代入式（40）并化簡，可得

式（46）、式（48）即為機構4的反解。

2.4.3機構4正反解數值算例設機構4的尺寸參數為： ，l₁=20mm，l₂=40mm，l₃=20mm，l₄=20mm， l₅=20mm，l₆=20mm 。

為此，建立機構4的三維CAD模型，從3D模型中測量得到，兩個驅動副 P₁₁ 、 P₂₁ 的初始輸入位置分別為 x₁=32.3642 、 y₁=33.982 3 ，相對應基點 σ_o 的輸出值分別為 x=32.3642 、 y=-1.0159 、 z=55.2167 。

1）封閉式正解的驗證當 x₁=32.3642 、 y₁=33.9823 時，有

利用二分法對 f（u） 進行迭代求解，得到8組解，其中，2組實數解 u 及其對應的 α 值如表7第2、第3列所示。將 α 值代入式（45）得到，機構4對應的位置正解如表7右邊兩列所示。

顯然，表中第1組解 x=32.364 、 y=-1.3075、z= 55.1330，與三維模型測量值的誤差在 1% 之內。因此，機構4的一元八次方程（封閉解）推導正確。

2）符號式反解的驗證

將3D模型中測量的動平臺基點 Σ_o 的輸出值 x= 32.3642、 y=-1.015 9 、 z=55.2167 ，代人式（46）、式（48），得到對應的2組輸入值，如表8所示。

由表8可知，第1組理論值 x₁=32.364 2 、 y₁= 33.8994與三維模型測量值的相對誤差在 1% 之內。因此，機構4位置反解的公式推導正確。

3 潛在應用分析

振動篩分是一種常見的物料分離工藝，其主機構需要具備輸出運動多向、結構簡單、能耗低等特點，以提高篩分效率[18-20]

本文所構造的4個新型機構均為兩支鏈單回路并聯機構，活動構件數僅有7個，結構簡單，占用空間少；且其動平臺可實現空間三維方向上的移動輸出，可有效提升篩分效率，減少篩孔堵塞[21-25]。因此，這4個單回路兩自由度三平移并聯機構可用于制作小型化或微型化的便捷型三維振動篩分裝置，適用于輕型物料的振動篩分。

4結論

1）設計并構造了4個部分運動解耦的新型單回路兩自由度三平移并聯機構，并計算了其自由度；它們純由低副組成，其中，兩個驅動副為移動副，其余均為轉動副；結構簡單，制造、裝配容易。

2）建立了這4個單回路機構的運動學模型，導出了這些機構的一元八次方程（封閉解）位置正解方程，并通過數值方法求得數值解；分析了其獨立輸出運動量與派生運動量之間的內在聯系；同時，通過解析法得到符號式反解公式，并對正反解進行了數值驗證。

3）這4個單回路機構可用于輕型物料篩分等需要多維空間運動的場合，制作成為篩分機。本文工作為其進一步的尺度優化、工作空間、動力學模型以及結構設計奠定了技術基礎。

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Topological design and positional closed-form solution research of 4 motion decoupled single-loop 2-DOF three-translationparallel mechanisms

SHE Junjie LI Ju KONG Xiangchao SHEN Huiping （Research Center forAdvanced Mechanism Theory，Changzhou University，Changzhou 213164，China）

Abstract：[Objective]Inorder tounderstand the influenceof sidechainswithsimilar topological structureson the decouplingandderivedmotionsofparalelmechanisms，paralelmechanismswithimilartopologicalstructuresweredesigned， andtheirtopologicalcharacteristicsandpositionequationswereanalyzed.[Methods]Firstlybasedonthetopologydesign methodofparalelmechanismsusingthepositionandrientationcharacteristicsettheoryfournovelsingle-loopspatialtwo degree-of-fredom three-translationparalelmechanismscomposedofsimilarbrancheswereconstructed.Thedesignprocess wasdetailed，andthedegreesoffreedomwerecalculated.Secondly，kinematicmodelsof thesefour mechanisms were establishd，ndosedfoaateotic（ghtge）atiosfotrardinematiereed，itical methodsemployed toobtain numerical solutions.Symbolic inverse kinematic solutionswerealsoderivedanalyticallyand verified.Finally，theintrinsicrelationbetween theindependentlyoutputmotionsandparasitic motionsofthemovingplatform wasanalyzed.[Results]Itisfoundthatthesesingle-looptwo-degree-of-freedomthre-translationparalelmechanismsare motion-decoupledandexhibit parasitic motions，making them suitableasmain structures forlightweight three-dimensional vibratingscrens.Theresultslaythefoundationfordimensionaloptimization，workspaceanalysis，anddynamicanalysisofuch mechanisms.

KeyWords：Positionandorientationcharacteristicsset;Fewer input-moreoutput;Paralelmechanism;Associatedmovement;Closed-form solution