正余弦定理在解三角形中的應用

步驟

（1）將分式化為整式，正切化為正余弦；（2）將已知條件邊角統一，大部分題型都是邊化為角，若出現平方項則角化為邊；（3）若邊化角，則需減少角的個數，如 sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC， cosA=-cos（B+C）=-（cosBcosC-sinBsinC）.

題型1 正余弦定理基本型：分式型.

例1在 ΔABC 中， _{a，b，c} 分別為內角 A，B，C 所對的邊，已知COsA－2cosC ，求sinC的值.

解由原式可得， b（cosA-2cosC）=（2c- _a）cosB ，由正弦定理得， a=2RsinA ，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入即可得到 2RsinB（cosA-2cosC） （=（2?2RsinC-2RsinA）cosB， 化簡得， sinBcosA-2sinBcosC =2sinCcosB-sinAcosB， 移項得， sinBcosA+sinAcosB =2sinCcosB+2sinBcosC，

有 sin（A+B）=2sin（B+C） ，即 sinC=2sinA ，所以sinC 分析嚴格按照步驟進行，第一步分式化為整式;第二步利用正弦定理將邊角進行統一，將邊化為角；第三步通過移項化簡及三角函數的和角公式將角的個數減少.此題相對較為基礎，只需嚴格按照步驟進行解答即可.題型2正余弦定理基本型：角與對邊，邊化為角.例2已知 _{a，b，c} 分別為三角形三個內角 A ，

^B，C 所對的邊，若 ，

求角 A ：解由正弦定理得， a=2RsinA ，b=2RsinB，c=2RsinC， 代人得

2RsinB-2RsinC=0， 化簡得

sinC=0 由 sinB=sin（A+C） 代入得， 展開化簡得 ，因 c 為三角形內角， C∈（0，π） ，故 ，因此等式兩邊同除 sinC 得， 再由三角函數的輔助角公式得， 因 A 為三角形內角， A∈（0，π） ，

故 .

所以 ·

分析第一步利用正弦定理將邊角進行統一，將邊化為角；第二步利用三角函數的和角公式減少角的個數；第三步根據三角形內角取值范圍，等式兩邊同除 sinC ；最后利用三角函數輔助角公式求出答案.此題難點在于善于發現三角形內角隱含的取值范圍.

題型3 正余弦定理基本型：角與對邊，角化為邊.

例3已知 ΔABC 三個內角 A，B，C 所對的邊分別 為 ^a，b，c ，若 （a-c） ， 求角 C

解由正弦定理得，

.

代人可得 化簡得 a²-c²=ab-b² ，

即 a²+b²=ab+c²

再由余弦定理，

又因 c 為三角形內角， C∈（0，π） ，

故

1

分析第一步利用正弦定理將邊角進行統一，將角化為邊；第二步直接利用三角函數的余弦定理求出所求角.此題難點在第一步，不是用常規的邊化為角的方法，題設出現平方項，要考慮到采用角化為邊的方法進行解答.

題型4 正余弦定理基本型：正切型.

例4 已知 ΔABC 三個內角 A，B，C 所對的邊分別為 _a，b，c ，若 cosBcosC求角A.

解 代入正切化為弦公式得，

（204號

通分得， 化簡得，

即 ，有 .

又因 A 為三角形內角， A∈（0，π） ，

故

分析第一步利用正切化為弦公式，將切化為弦；第二步利用三角函數和角公式化簡；第三步將等式兩邊同除以余弦，得到正切值，答案顯而易見.此題難點在于第一步，需要首先將切化為弦.

結語

綜上所述，解三角形是高中數學中有重要意義的一部分，有利于培養學生邏輯思維與實際應用能力.學生要擅長抓住題設中已有的條件，根據已有條件判斷出解題方法，還要擅長發現題設中隱含的某些條件，做到正確解決問題.解三角形的解答題復雜多樣，本文總結解題方法，幫助學生巧妙找到解題方案，達到事半功倍的效果.