曲線系方程在解答解析幾何問題中的運用

2025-07-06 00:00:00葛艷英

數理天地(高中版) 2025年11期

關鍵詞：解題

在解析幾何問題的求解中，曲線系方程類題目因融合了曲線方程與直線的知識，呈現出較高的復雜性，對學生的基礎知識和計算能力形成了嚴峻挑戰.而曲線系方程，作為高中數學解題的得力工具，為解析幾何問題的解答提供了高效途徑.

1 過定點問題

在借助曲線系方程解答過定點問題時，首先應根據題目信息，確定兩個或更多的曲線方程，根據曲線系方程的定義，將曲線方程進行線性組合，形成一個新的方程，即曲線系方程；而后根據題目要求，確定曲線系方程中的參數或系數，使得新的曲線系方程滿足過定點的條件；最后將參數或系數代入曲線系方程，得到最終的曲線方程，進而確定定點位置.

例1橢圓 E 的左、右、上頂點為為直線 x=6 上的動點， PA，PB 與 E 的另一交點分別為點 ?_C，D .證明：直線 CD 過定點.

=0 ，

加之點 A，B，C，D 在橢圓 E 上，

故存在 λ 使上式滿足方程，

由項系數有：

由 xy 項系數有： A

通過解上述兩個方程，得

故

所以直線 CD 過定點

解析因為點 P 在 x=6 上，

所以設其為 P(6，y₀) ，

此時易得 PA 的方程

PB的方程，

設直線 CD :x=ty+n ，

則過點 A，B，C，D 的二次曲線方程可設為：

點評在借助二次曲線系方法解答這類問題時，首先需寫出直線 PA，PB，CD 的直線方程，而后設出過點 A，B，C，D 的二次曲線方程，結合點 A ，^B，C，D 在橢圓 E 上，結合圓錐曲線方程，對比對應項的系數，建立起等式關系便可解題.

2 定值問題

解答定值問題的初始步驟與定點問題大致相同.首先，需要根據題目給出的信息，構建出相應的曲線系方程.接著，根據題目的具體要求，通過分析和計算，確定曲線系方程中的參數或系數，從而得到具體且確定的曲線方程.最后，結合這個已經確定的曲線方程，可以進一步求解題目中的其他問題，得出最終答案.

例2點 A(2，1) 在雙曲線 1(a>1) 上，直線 ξ_l 交 C 于 P，Q 兩點，直線 AP，AQ 的斜率之和為0，求直線 ξ_l 的斜率.

解析將 A(2，1) 代人C 可得C：由題意易知 ξ_l 的斜率存在，故設 l:y=kx+b，P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂) 設直線 l_AP:y-1=k₁(x-2) ，即 k₁x-y-2k₁+1=0 ，直線 AQ 的方程為 y-1=k₂(x-2) ，即 k₂x-y-2k₂+1=0 將 A 點視為 C 上無限接近的兩個點，將過兩點

的直線視為過 A 的切線，則過 A，P，Q 三點的曲線方程可表示為

1)(k₂x-y-2k₂+1)=0，因為 A，P，Q 三點均在 C 上，故必存在 λ 使上式滿足橢圓C 的方程，則 xy 項的系數為0，所以 -1-k-k₁λ-k₂λ=0 又因為 k₁+k₂=0 ，則 k=-1 ，所以 ξ_l 的斜率為 -1

點評本題為直線斜率求解問題，解題時根據設點坐標得到過 _A，P，Q 三點的曲線方程，根據各項系數間的關系，得到 -1-k-k₁λ-k₂λ=0 ，根據已知信息可得 k=-1 .在解答本題時，需要注意的是要將 A 點視為 C 上無限接近的兩個點.

3 四點共圓問題

在此類問題中，除了需要掌握基礎的解題過程，還需要掌握一些推論.當凸四邊形ABCD的對角互補；凸四邊形ABCD的對角線 AC，BD 交于點 M ，且MA?MC=MB?MD ；凸四邊形ABCD的邊 AB ，DC 的延長線交于點 M ，且 MA?MB=MD?MC ：凸四邊形ABCD滿足 AB?CD+AD?BC=AC ·

BD 等，均可得到 ABCD 四點共圓.

例3F為橢圓C:x2+2 在軸正半軸上的焦點，過 F 且斜率為的直線 ξ_l 與 C 交于 A，B 兩點，點 P 在 C 上，且滿足，設點P 關于點 O 的對稱點為 Q ，證明 ?A，P，B，Q 四點共圓.