淺析如何提高學生的數學解題能力

1解析幾何中的直線與圓

例1已知直線 ξ_l 的方程為 3x-4y+4=0 圓c 的方程為 x²+y²-4x=0 ，求直線 ξ_l 與圓 Ψ_c 的位置關系，并求出交點坐標(若存在).

解析（1）理解題意：首先將圓的方程化為標準形式，確定圓心 ^c(2，0) 和半徑 r=2 .然后，利用點到直線間的距離公式，求出圓心 Ψ_c 到直線 ξ_l 的距離d ，比較 d 與 r 之間的關系.

（2）應用公式：點到直線間的距離公式為 d= 將圓心坐標與直線方程系數代入，得出 d=2 ，等于半徑.

（3）判斷位置關系：由于 d=r ，可證明直線 ξ_l 與圓 c 相切.

此外，還可以通過假設 d

（4）檢驗答案：對于相切的情況，應當驗證切點是否唯一且滿足相關條件.而對于相交的情況，則應當檢查交點是否都在圓內.

點評此類問題主要考查學生是否能夠理解直線與圓之間的位置關系.這一類型的習題強調了轉化思想、公式應用以及方程求解的重要性.在對此類習題進行解答時，教師應當讓學生針對習題中所給出的條件，應用相關的公式.

圓的標準方程為 (x-a)²+(y-b)²=r² ，其中， (a，b) 是圓心的坐標， r 是圓的半徑.圓的一般方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0.

點到直線的距離公式為 其中 (x，y) 是點的坐標 ，Ax+By+C=0(A，B≠0) 是直線的方程.

2 數列與遞推關系

例2已知 {a_n} 滿足 a₁=1，a_n+1=2a_n+3 求數列 {a_n} 的通項公式.

解析（1）觀察遞推式，嘗試對其進行變形：首先，學生應觀察遞推關系式，發現其并非等比、等差數列的標準形式，因此可嘗試通過加減常數，乘除非零因子等方式，將其逐步轉化為等差或等比數列等易于處理的形式.

（2）構造新數列，尋找公式規律：通過觀察發現每項加3，可構造為一個新的數列.即首項為4，公比為2的等比數列，因此可以以此作為依據對數列進行重新構建.

（3）利用等比數列性質，求解通項公式：依據等比數列的通項公式，最終得出原有的通項公式.這個由于變形而來的等比數列是由原有數列的通項公式加3而得成的.因此，只要減3便可以得出原有數列的通項公式 a_n=2ⁿ⁺¹-3 ：

（4）驗證答案，總結解題思路：將求解的通項公式代入原具體關系式并驗證其正確性，便可以確定本題的最終答案.

點評本題型展示了如何通過對數列的特點進行觀察，以構造新數列，進而解決復雜數列問題的方法.但需要注意的是，在構造新數列時應當盡可能地嘗試通過加減常數，乘除非零常數等運算方式進行轉化，同時在轉化過后對數列的通項公式進行計算時，也需要將變形而來的通項公式轉變為原有數列的通項公式，以避免最終答案與原題意不符的情況.

3 函數與導數

例3求函數 f(x)=x³-3x²+2 在區間[—1，3上的最大值和最小值.

解析（1)求導數，判定其單調性：首先要對函數進行求導，以判斷函數單調性.導函數解析式為f^′(x)=3x²-6x. 令 f^′(x) 為零，則 x=0 或 x=2 這兩個點是函數在區間[一1，3]上可能的極值點.

（2）判斷單調區間，求極值：根據導數的正負可將區間劃分為三個子區間，在每個子區間內選擇代表點代人原函數計算函數值，并結合導數的符號變化確定函數在各區間內的單調性及極值.在 x∈ (-1，0) 時，導數大于零，函數單調遞增，當 x∈ （0，2）時，導數小于零，函數單調遞減，當 x∈(2，3) 時，導數大于零，函數單調遞增.由此可知， x=0 是極大值點，而 x=2 則是極小值點.

（3）計算端點值，比較確定最值：計算區間端點x=-1 和 x=3 處的函數值，并與極值點的函數值進行比較，以確定函數在區間［一1，3]上的最大值和最小值.具體而言，當 x=-1 時， y=-2 ，當 x=0 時， y=2 ，當 x=2 時， y=-2 ，當 x=3 時， y=2 .由此可見，函數在該區間上的最大值為2，最小值為-2 ：

點評本題通過求導，分析數據及符號變化的特點，精準判斷函數的單調性以及極值點.結合區間端點值的計算，以確定函數在給定區間內的最大值與最小值.

常數函數的求導公式：

如果 f(x)=c （其中 c 是常數)，那么 f^′(x)=0

4數列與求和的推導

例4已知數列 {a_n} 滿足 a₁=1，a_n+1=a_n+ 2n+1 ，求數列的通項公式 a_n 及前 n 項和公式.

解析（1）觀察遞推式，尋找規律：通過對數列進行觀察，發現每一項與前一項之間的差是一個等差數列，這提示學生可以通過累加的方式來求解通項公式.

(2）構造新數列，進行變形：設 b_n=a_n+1-a_n ，代 入原遞推式，可得 b_n=2n+1

(3）求解通項公式：當 n?2 時， a_n-a₁=(a_n- a_n-1)+(a_n-1-a_n-2)+?+(a₂-a₁)=(2n-1) （204號+(2n-3)+?+3. 因為 a₁=1 ，所以 a_n=n² .當 n= 1時，上式也成立.所以通項公式為 α_n=n² ：

（4）求前 n 項和：由于已知 {a_n} 的通項公式，可通過求和公式來求解.得到前 n 項和公式為 S_n

點評本題所考查的是特殊的數列求和方式，學生應當將等比數列與等差數列的基本知識予以掌握，并根據題干中數列所給出的特殊關系代換構造成為一個新型數列.但在變形時，教師要指導學生將其變為常見的等比數列和等差數列，從而計算新數列的通項公式，再將其轉變為原有數列的通項公式.在求數列的前 n 項和時也應當采用多元化的方法.如求和公式、裂項相消、分組求和等.

等差數列求和公式： 或 S_n= 其中， S_n 表示數列的前 n 項和， a₁ 是數列的首項， a_n 是數列的第 n 項， d 是公差， n 是項數.

等比數列求和公式： 當 時）或 S_n=na₁ （當 q=1 時).其中， S_n 表示數列的前n 項和， a₁ 是數列的首項， q 是公比， n 是項數.