變量代換法在高中數學解題中的實踐運用

在高中數學解題訓練中，變量代換法是一種既常用又有效的解題方法，特別是處理含有復雜式子的題目時，通過合理代換通常可以把試題信息進行簡化處理，同時發掘出隱性條件，明確量和量之間存在的聯系，從而優化解題流程.

1借助三角變量代換法優化解題思路

三角變量代換法就是結合三角函數的相關性質，將幾何或者代數試題轉變為三角函數類題目，由此找到解題的切入點，這是一種十分高效的解題方法，其實三角變量代換的本質是換元思想的應用.在高中數學解題訓練中，教師可以引導學生借助三角變量代換法對題目中給出的條件或信息進行轉化，目的是把解題的難度給降低，使其據此優化解題思路，變得清晰明了，同時確定解題的關鍵所在，加快他們的解題速度，且降低出現錯誤的概率[1].

例1 已知函數 ，求該函數的值域.

解根據題意得 x-4?0，15-3x?0

將它們聯立到一起可以得到一個關于 x 的不等式組，求得 x 的具體取值范圍為 4?x?5 ，

令 x=4+sin²θ ，且 則原式可變形為

因為

所以

當 時， y_min=1 ，

當 時，ymax y_max=2 ，

所以該函數的值域為[1，2].

2運用函數變量代換法化繁為簡解題

函數知識貫穿于整個初高中數學體系，其重要性毋庸置疑，學生在初中階段已經學習過不少基礎性的函數知識，包括一次函數、二次函數以及反比例函數等，他們在高中階段則繼續深入探究函數，不僅他們所學的函數概念有所升級，還學習到對數函數、指數函數、冪函數等新函數，且研究函數與方程、不等式之間的關系.高中數學教師可以指導學生使用函數變量代換法來解題，使其將復雜的數學問題簡單化，讓他們化繁為簡地完成解題[2].

例2這里有一個奇函數出 f(x) ，且 x∈R ，其中 f(1)=-1，f(x-2)=-f(x) （1）證明 f(x+2)=f(x-2) ·（2）求 f(2001) 的值.解 (1)因為 f(x-2)=-f(x) 所以 f(x)=-f(x-2) ，把 x 轉變為 x+2 ，將其代入到 f(x)=-f(x-2) ，得 f(x+2)=-f(x) ，由于 f(x-2)=-f(x) ，則 f(x+2)=f(x-2) (2）將 x 變為 x-2 代人 f(x)=-f(x-2) .

得 f(x-2+2)=f(x-2-2) ，也就是 f(x)=f(x-4) ，則 f(2001)=f(1997)=f(1993) （20=?=f(1)=-1 所以 f(2001) 的值是－1.

3應用導數變量代換法降低復雜程度

導數作為高中數學知識體系中較為特殊的一部分內容，抽象性較強，學生往往會受到多個因素的干擾，很難順利列出正確的表達式，高中數學教師在平常的解題訓練中，應當引導學生采用導數變量代換法處理難度較大或者復雜的導數試題，使其通過列出導數表達式找準解題突破口，有效訓練和提升他們的解題能力[3].

例3這里有一個函數 f(x)=ax³-3x² ，且 a∈ R，當 x∈(0，2] 區間內，函數 g(x)=e^xf(x) 呈單調遞減，請求出參數 a 的具體取值范圍.

解根據題意 g(x)=e^xf(x) 展開求導，

因為 e^x>0 ，

所以該函數式可以轉變為 ax³-3x²+3ax²- 6x?0 ，而且在區間 a∈R 內是恒成立的，

即 ，且在 x∈(0，2] 區間內是恒成立的，

運用變量代換法，用函數 h(x) ）來代換 中

對函數 h(x) 進行求導，發現在給定區間 x∈ （0，2]里面函數 h(x) 呈單調遞減，

則當 x=2 時，函數 h(x) 有最小值，為 h(2)=

所以參數 a 的具體取值范圍是

4采用不等式變量代換法來化難為易

變量代換法的本質是利用變量展開代換，降低數學題目的復雜程度，最終目的在于方便求解，有著廣闊的運用空間.當解決不等式試題時，高中數學教師同樣可以指導學生有效利用變量代換法，幫助他們對解題過程進行簡化處理，使其學會化難為易.

例4這里有三個實數，分別是 m_?n_?? ，且 m>

1，n>1，/>1 ，請證明 解根據題意可設 x=m-1 ，y=n-1，z=p-1 則 m=x+1 ，n=y+1，?=z+1， 因為 m>1，n>1，?>1 ，所以 x>0，y>0，z>0 ，此時將

1，n=y+1，p=z+1 代入到原不等式的左邊，得到（x+1）2 由此得 所以 2

5結語

總而言之，在高中數學解題訓練活動中，教師應充分認識到變量代換法是高效且常用的解題方法之一，能夠有效降低題目的難度，指引學生合理運用變量代換法解決一些復雜多變、難度較大的試題，使其學會根據實際需求科學恰當地運用這一解題方法優化流程，促使他們通過專題訓練真正做到靈活自如地解題，繼而慢慢提高自身的解題能力與效率.

參考文獻：

[1]柳永紅.高中數學解題中變量代換法的應用[J].數理天地（高中版），2022(10）：27—29.

[2」沈艷.變量代換法在高中數學解題中的應用J].數學大世界（上旬），2021(1)：70.

[3]周亞，馮長煥.合理進行變量代換，讓解題更加高效[J]語數外學習（高中版中旬），2021（10）：56—57.