新高考下圓錐曲線復習課教學實踐與思考

1 試題呈現

例1 已知 A（0，3） 和 為橢圓 C 上兩點.

（1）求橢圓 C 的離心率；

（2）若過 P 的直線 ξ_l 交 C 于另一點 B ，且△ABP的面積為9，求 ξ_l 的方程.

分析本題第（1）問考查的是橢圓基本量的運算，屬于基礎題.第（2）問考查的是直線與橢圓的位置關系，屬于中難題.本文對第（2）問進行探究.

2 教學過程

2.1 探究基本方法

問題1處理解析幾何問題的基本思路：設直線、設點.本題能否用設直線的方法來求解呢？

教師引導學生設直線求解時，需要對直線斜率是否存在進行討論，得到解法1.

解法1（設直線） ① 當直線 ξ_l 斜率不存在時，直

線 l：x=3. 此時 （204號 ，，不合題意.② 當直線 ξ_l 斜率存在時，設直線 l：y=k（x-3）+

（20聯立方程 得： （4k²+3）x²-（24k²-12k）x+36k²-36k-27 =0 ，根據韋達定理得： 即 由弦長公式得

設 A 到直線 ξ_l 的距離為 d ，即 則

，得到 或 求

所以直線 ξ_l 的方程為：

2.2 發現問題

學生表示解法1計算量大，容易出錯.

問題2 解法1從哪步開始計算變難了？

學生反映直線方程與橢圓方程聯立比較容易出錯.

追問 針對本題，能否轉化直線，從而在解題過程中減少計算量？

學生發現點 A 橫坐標為0，過點 A 的直線方程簡單，通過表示 AB 直線方程來解決本題，計算量會減小.

解法2（設直線）由于直線 AB 的斜率一定不為0，設直線 AB：x=t（y-3） ， B（x₁，y₁） ，

直線 AB 與橢圓 C 聯立得 （3t²+4）y²-18t²y+ 27t²-36=0 ，

根據韋達定理得： H

代人直線 AB 得

此時|AB|=

設 P 到 AB 的距離為 d ，即

得 t=0 或 中

當 t=0 時， B（0，-3） ，

當 時，

所以直線 ξ_l 的方程為： 2x-3或y

2.3 深入研究

解法2與解法1的解題思路相似，解法2的運算量有所減少.筆者引導學生思考是否有計算量更小的方法.經過思考，個別學生想通過平移橢圓的方法來解決本題，得到解法3.

解法3（平移橢圓） 橢圓 c ，將點

P ，點 A ，點 B 向左平移3個單位、向下平移 個單

位后得到橢圓 C^′

① 當直線 P^′B^′ 斜率不存在時，直線 P^′B^′：x=0

此時 B^′（0，-3） ， ∣P^′B^′∣=3 此時S△A'B'P' 不合題意.② 當直線 P^′B^′ 斜率存在時，設直線 P^′B^′：y=

kx ，與橢圓 C^′ 聯立方程得 （4k²+3）x²+（12k+

18）x=0 ， （204號根據韋達定理得中易得 此時|P'B'|= 設點 A^′ 到 P^′B^′ 的距離為 d ，即

得到 或 A

即直線 或

直線 ξ_l 的方程為： 或

2.4 另尋他法

問題3 我們是否可以嘗試設點的方法來解決問題？學生發現通過設點 B 能夠解決本題，并且運算量小，得到解法4.

解法4（設點法） 直線 PA：x+2y-6=0 ，（20 ，設 B 到 PA 的距離為 d ， 即 ，設 B（x₀，y₀） ，則 則 x_?0+2y_?0+6=0 或 x_?0+2y_?0-18=0（ 點 B 不在橢圓上，舍）.發現 x+2y+6=0 與直線 PA 關于（0，0）對稱.直線PA與橢圓 c 的交點為 A（0，3） 和 則點 B（0，-3） 或 所以直線 ξ_l 的方程為： 或 由于點 B 為橢圓上一點，可以利用三角換元得到點 B 的坐標來求直線 ξ_l 的方程，可以減少運算量，此種方法類比解法4，這里不再贅述.

3結語

學生在解決圓錐曲線問題中，經常會遇到過程太復雜、計算量大，無法完成的情況，本節課充分尊重學生的解法，適當點撥，帶領學生完成解題，并引導學生對解法進行優化.教師采用一題多解的教學模式，以學生為主體，循循善誘，拓寬了學生視野，

參考文獻：

[1]項海圓，黃永明.巧用齊次化方法解圓錐曲線問題[J].中學數學教學參考（上旬），2021（3）：40-42.