高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的學(xué)習(xí)進(jìn)階研究

隨著教育改革的深入推進(jìn)，高中數(shù)學(xué)教育越來(lái)越重視學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，其中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是關(guān)鍵組成部分.平面向量數(shù)量積運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，不僅涉及向量的基本性質(zhì)，還與幾何、代數(shù)等多個(gè)領(lǐng)域緊密相關(guān).本文旨在通過(guò)對(duì)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的學(xué)習(xí)進(jìn)階研究，探討如何更有效地提升高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供理論支持和實(shí)踐指導(dǎo).

1 明確學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)

高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的學(xué)習(xí)進(jìn)階起點(diǎn)是學(xué)生對(duì)向量基本概念、向量數(shù)量積定義、性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律的掌握，以及對(duì)邏輯思維和空間想象能力的培養(yǎng).在此基礎(chǔ)上，學(xué)生才能逐步提高向量數(shù)量積運(yùn)算的熟練度和解題能力，為后續(xù)更深入地?cái)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).要實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的學(xué)習(xí)進(jìn)階，首先需要明確學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn).在平面向量數(shù)量積運(yùn)算的學(xué)習(xí)過(guò)程中，起點(diǎn)主要包括以下幾個(gè)方面：

（1）學(xué)生應(yīng)對(duì)向量的基本概念有清晰的認(rèn)識(shí)，包括向量的表示、向量的模、向量的方向等.這是學(xué)習(xí)向量數(shù)量積運(yùn)算的基礎(chǔ).在此基礎(chǔ)上，學(xué)生需要掌握向量的加法、減法、數(shù)乘等基本運(yùn)算，以便在后續(xù)學(xué)習(xí)中能夠熟練運(yùn)用向量運(yùn)算規(guī)律[1].

（2）學(xué)生對(duì)向量數(shù)量積的定義要有深刻的理解.向量數(shù)量積（又稱內(nèi)積）是描述兩個(gè)向量在某一方向上投影長(zhǎng)度乘積的物理量，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：a?b=|a|?|b|?cosθ. 學(xué)生需要了解向量數(shù)量積的幾何意義和代數(shù)意義，并能將其與實(shí)際生活中的問(wèn)題相結(jié)合，提高解決問(wèn)題的能力.

（3）學(xué)生應(yīng)掌握向量數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)律，如交換律、分配律、結(jié)合律等.這些性質(zhì)和規(guī)律是解決向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題的關(guān)鍵.

（4）學(xué)生還需了解向量數(shù)量積與向量垂直、平行等位置關(guān)系的聯(lián)系，以便在解題過(guò)程中能夠靈活運(yùn)用.

（5）學(xué)生在學(xué)習(xí)進(jìn)階的起點(diǎn)階段，還須具備一定的邏輯思維能力和空間想象能力.這是因?yàn)橄蛄繑?shù)量積運(yùn)算往往涉及多個(gè)向量之間的關(guān)系，需要學(xué)生能夠從多個(gè)角度分析問(wèn)題，找到解決問(wèn)題的突破口.

2 引入數(shù)量積的概念

為了使學(xué)生能夠更好地理解和掌握這一概念，需要從以下幾個(gè)方面來(lái)逐步引入數(shù)量積的概念.首先，在回顧向量的基本性質(zhì)后提出問(wèn)題：如何量化兩個(gè)向量之間的相互作用？這時(shí)，可以引入夾角的概念，說(shuō)明兩個(gè)非零向量之間的夾角是描述其相對(duì)位置關(guān)系的重要參數(shù).然后通過(guò)幾何圖形的直觀展示，讓學(xué)生觀察到當(dāng)兩個(gè)向量的夾角變化時(shí)，它們的投影長(zhǎng)度如何變化，從而引出數(shù)量積的定義.通過(guò)這樣的實(shí)際例子，學(xué)生可以初步理解數(shù)量積的幾何意義，即一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影長(zhǎng)度與另一個(gè)向量的模的乘積.接著通過(guò)幾何圖形來(lái)進(jìn)一步闡述數(shù)量積的概念.在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩個(gè)向量 a 和 ，可以構(gòu)造一個(gè)以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形，數(shù)量積 a?b 的絕對(duì)值實(shí)際上就是這個(gè)平行四邊形的面積的數(shù)值，這為學(xué)生提供了一個(gè)直觀的幾何模型[2].同時(shí)，還可以通過(guò)向量的夾角來(lái)定義數(shù)量積，即 a?b=∣a∣?∣b∣?cosθ ，這里的 θ 是向量 a 和向量 之間的夾角.這樣的定義不僅揭示了數(shù)量積的幾何本質(zhì)，也為后續(xù)的代數(shù)運(yùn)算奠定了基礎(chǔ).

在引入數(shù)量積的概念時(shí)，還需要強(qiáng)調(diào)其代數(shù)性質(zhì)，如交換律、分配律，這些性質(zhì)使得數(shù)量積運(yùn)算在代數(shù)上具有簡(jiǎn)潔和優(yōu)美的特性.通過(guò)具體的例子和練習(xí)，讓學(xué)生在實(shí)際操作中感受這些性質(zhì)的應(yīng)用，從而加深對(duì)數(shù)量積概念的理解.此外，還要引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)量積為0的特殊情況，即當(dāng)兩個(gè)向量互相垂直時(shí)，這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0，這是判斷向量垂直的一個(gè)簡(jiǎn)便方法.最后，為了確保學(xué)生能夠全面掌握數(shù)量積的概念，需要通過(guò)多樣化的教學(xué)手段，如小組討論、問(wèn)題探究、實(shí)際應(yīng)用等，讓學(xué)生在互動(dòng)中學(xué)習(xí)，在探究中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在解決問(wèn)題中深化理解.

3數(shù)量積的初步簡(jiǎn)單運(yùn)算

初步簡(jiǎn)單運(yùn)算主要包括數(shù)量積的定義運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算以及一些基本的性質(zhì)應(yīng)用，

（1）從數(shù)量積的定義 a?b=|a|?|b|?cosθ 出發(fā)，通過(guò)給定具體的向量模和夾角，讓學(xué)生計(jì)算數(shù)量積，這樣可以幫助學(xué)生鞏固對(duì)數(shù)量積定義的理解.

例如給定兩個(gè)向量 和 ，這兩個(gè)向量的模分別是3和4，夾角是 θ=60^° ，學(xué)生可以通過(guò)直接代入公式計(jì)算得到數(shù)量積.

（2）引入坐標(biāo)運(yùn)算，這是數(shù)量積運(yùn)算中更為常見(jiàn)和實(shí)用的方法.在平面直角坐標(biāo)系中，若向量 a= （x₁，y₁） ，向量 b=（x₂，y₂） ，則這兩個(gè)向量的數(shù)量積可以表示為 .通過(guò)這種方式，學(xué)生可以避免直接計(jì)算向量的模和夾角，而是通過(guò)向量的坐標(biāo)進(jìn)行快速計(jì)算.

例如給定向量 a=（2，3） 和向量 b=（4，-1） .學(xué)生可以直接計(jì)算得到 a?b=2×4+3×（-1）=8- 3=5

（3）還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)量積的基本性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，如交換律、分配律.這些性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高解題效率[3」.

例如在解決向量線性組合問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以利用分配律將數(shù)量積分解開(kāi)來(lái)，從而簡(jiǎn)化計(jì)算.同時(shí)，通過(guò)數(shù)量積性質(zhì)的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以更好地理解數(shù)量積的代數(shù)特性，為解決更復(fù)雜的問(wèn)題打下基礎(chǔ)，

在數(shù)量積的初步簡(jiǎn)單運(yùn)算階段，教師應(yīng)當(dāng)設(shè)計(jì)多樣化的例題和練習(xí)，從易到難，逐步引導(dǎo)學(xué)生掌握運(yùn)算技巧.這些例題應(yīng)涵蓋不同的題型，如選擇題、填空題和解答題，以及不同難度的題目，以適應(yīng)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

4數(shù)量積的幾何意義

數(shù)量積可以表示為兩個(gè)向量的模的乘積與其夾角的余弦值的乘積，即 a?b=∣a∣?∣b∣?cosθ .這個(gè)定義本身就蘊(yùn)含了幾何意義，表明數(shù)量積實(shí)際上是一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影長(zhǎng)度與后者模的乘積.當(dāng)兩個(gè)向量夾角為 0^° 時(shí)， cosθ 為1，此時(shí)數(shù)量積達(dá)到最大值，即 a?b=|a|?|b| ，這意味著一個(gè)向量完全在另一個(gè)向量方向上；而當(dāng)夾角為 90^° 時(shí)，cosθ 為0，數(shù)量積為0，表明兩個(gè)向量正交，沒(méi)有重疊部分.其次，數(shù)量積的幾何意義還可以用來(lái)判斷兩個(gè)向量的相對(duì)位置關(guān)系.如果數(shù)量積大于0，則兩向量夾角小于 90^° ，這兩個(gè)向量在一定程度上同向；如果數(shù)量積小于0，則兩向量夾角大于 90^° ，這兩個(gè)向量在一定程度上反向；如果數(shù)量積等于0，則兩向量垂直.這一性質(zhì)在解決直線與平面、向量與向量之間的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)非常常見(jiàn)4.此外，數(shù)量積的幾何意義還可以用來(lái)計(jì)算向量的投影.在解決幾何問(wèn)題時(shí)，常常需要找到向量在某一方向上的分量，這可以通過(guò)計(jì)算向量在該方向單位向量上的數(shù)量積來(lái)完成.

例如要找到向量 在向量 方向上的投影長(zhǎng)度，可以計(jì)算 ，這個(gè)結(jié)果就是向量 在 方向上的投影長(zhǎng)度.在教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)通過(guò)直觀的圖形演示和具體的例題，幫助學(xué)生建立起數(shù)量積的幾何直觀.

例1已知 ?O 的半徑為1，直線 PA 與 ?O 相切于點(diǎn) A ，直線 PB 與 ?O 相交于 B，C 兩點(diǎn)，點(diǎn) D 為線段 BC 的中點(diǎn)，若 ，則 的最大值為

設(shè)計(jì)意圖本題考查在直線與圓的相切、相交位置關(guān)系背景下，研究平面向量的數(shù)量積的最值問(wèn)題.在解題過(guò)程中一方面考查學(xué)生的空間想象能力及作圖能力，另一方面考查學(xué)生平面向量的運(yùn)算

能力.

解析由于 的幾何意義為： 的長(zhǎng)度 與 在 方向上的投影數(shù)量的乘積，且 ，則當(dāng) 在 方向上的投影數(shù)量取最大值時(shí)， 與 的數(shù)量積即為最大值.

如圖1所示，由幾何關(guān)系可知 OD⊥DP ，則 D 點(diǎn)在以 OP 為直徑的 ?M 上，并在 ?O 內(nèi)部的一段圓弧上.即可過(guò) M 點(diǎn)作 MN⊥AP 于 N 點(diǎn)，過(guò) M 作MD^′//AP ，交 ?M 于 D^′ 點(diǎn)，過(guò) D^′ 作 D^′D₁⊥AP 交 PA 延長(zhǎng)線于 D₁ .此時(shí) D^′ 滿足 在 方向上的投影數(shù)量最大，為 ·

所以，在 RtΔMNP 中， ∠MPN= ，則 而 所以 的最大值為 故選擇（A）項(xiàng).

5數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)

數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)不僅揭示了向量運(yùn)算的內(nèi)在規(guī)律，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)具有不可替代的作用.具體而言，數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，數(shù)量積的交換律表明 a?b= b?a ，這一性質(zhì)讓學(xué)生在運(yùn)算中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的對(duì)稱性，同時(shí)也鍛煉了學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)能夠靈活調(diào)整思考順序的能力.其次，數(shù)量積的分配律 （a+b）?c= a?c+b?c 和 λa?b=λ（a?b）=a?λb 則教會(huì)學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，如何通過(guò)分解和組合的策略來(lái)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，這是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中邏輯思維和策略運(yùn)用的重要體現(xiàn)[5.更為重要的是，數(shù)量積與向量的模長(zhǎng)和夾角的關(guān)系 （a?b=|a|?|b|?cosθ） 0不僅揭示了向量之間幾何關(guān)系的數(shù)量表達(dá)，而且學(xué)生在運(yùn)用這一性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，能夠加深對(duì)向量空間概念的理解，提高空間想象力和數(shù)學(xué)建模能力.這種將幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算相結(jié)合的能力，是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要組成部分.

6 結(jié)語(yǔ)

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)量積的定義、運(yùn)算方法和幾何意義的過(guò)程中，逐步建立了對(duì)向量運(yùn)算的直觀認(rèn)識(shí)和符號(hào)意識(shí).學(xué)生學(xué)會(huì)了如何將抽象的向量概念轉(zhuǎn)化為具體的計(jì)算步驟，這是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的基礎(chǔ).其次，通過(guò)探究數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，學(xué)生不僅掌握了運(yùn)算規(guī)律，還培養(yǎng)了邏輯推理和數(shù)學(xué)論證的能力，這些都是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的核心內(nèi)容.此外，學(xué)生在解決具體問(wèn)題時(shí)，學(xué)會(huì)了如何將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算，這體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和問(wèn)題解決能力.在運(yùn)用數(shù)量積的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算、優(yōu)化解題過(guò)程的同時(shí)，學(xué)生的策略選擇和創(chuàng)新能力也得到了鍛煉，這些都是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要組成部分.在課后小結(jié)中，學(xué)生還應(yīng)當(dāng)反思自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的不足之處，如對(duì)某些性質(zhì)的理解不夠深入、運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤等[6].這種自我反思和批判性思維是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)提升的重要途徑.同時(shí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)意識(shí)到，數(shù)學(xué)運(yùn)算不僅僅是技能的訓(xùn)練，更是一種思維方式的培養(yǎng)，要求學(xué)生在面對(duì)問(wèn)題時(shí)能夠有條不紊地分析、計(jì)算和驗(yàn)證.

【課題基金：基于數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐研究；項(xiàng)目編號(hào)：KT一［十四五］一002—2023—GH—0003】

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