二次函數中的等腰三角形存在性問題

1定點在二次函數圖像上，動點在坐標軸上的等腰三角形存在性問題

這類問題通常已知三角形的一個或兩個頂點在二次函數圖像上，需要在坐標軸上尋找動點，使得這三個點構成等腰三角形.解題時，一般先設出動點的坐標，然后根據距離公式分別表示出三角形三邊的長度，再根據等腰三角形的定義分情況建立方程求出動點的坐標.

故拋物線的解析式為

當 x=0 時， y=-2 ，

所以點 c 的坐標為 （0，-2） ，

所以 OC=2

解方程

得 x₁=-1，x₂=3 ，

所以點 A 的坐標為（3，0），

所以 OA=3 ，

例1 如圖1，拋物線y=ax2- x+c與x軸交于 A，B 兩點，與 軸交于 c 點，連接 AC ，已知B（-1，0） ，且拋物線經過點 D（2，-2） .若點 P 是 y 軸上一點，以 P，A，C 三點為頂點的三角形是等腰三角形，求 P 點的坐標.

解析 將點 B（-1，0），D（2，-2） 代人 y=ax 2 解得

如圖2，設 P（0，m） ，

則 PC=|m+2| ， ① 當 PA=CA 時，

則 ，

所以 m²+9=13 ，

解得 m=2 或 m=-2 （舍去），所以點 P 的坐標為（0，2）.

② 當 PC=CA 時，則 ，所以 ，或 ，解得 ，或 ，所以點 P 的坐標為 或 （0，-2- ：③ 當 PC=PA 時，則 ，所以 （m+2）²=m²+9 解得 ，所以點 P 的坐標為 綜上所述， P 點的坐標為（0，2）或 （0，-2+ √13）或（0，-2-√13）或（0，5）.

2定點在坐標軸上，動點在二次函數圖象上的等腰三角形存在性問題

在這種題型中，動點在二次函數圖像上運動，而定點在坐標軸上.解題思路同樣是設出動點坐標，利用二次函數表達式表示出動點的縱坐標，再根據等腰三角形的定義，分情況討論三邊關系，通過建立方程求解.

例2如圖3，已知二次函數 y=ax²+bx+c 的圖象與 x 軸相交于 A（-1，0），B（3，0） 兩點，與 軸相交于點 C（0，-3） ，點 P 是二次函數的圖象上一個動點，且在第四象限.設點 P 的橫坐標為 ψ_m ，過點P 作 PH⊥x 軸于點 H ，與 BC 交于點 M 如果ΔPMC 是等腰三角形，直接寫出點 P 的橫坐標 λ_m 的值.

解析 設拋物線的解析式為 y=a（x+1）（x-

3），把 C（0，-3） 代人，解得 a=1 ，所以拋物線解析

式為 y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3. 易知 P（m，m²-2m-3） ，直線 BC 的解析式為 y=x-3 ，所以 M（m，m-3） ：又因為 C（0，-3） ，所以 PM=m-3-（m²-2m-3）=-m² （

+3m ： ① 當 PM=CM 時，則 解得 （舍）， m=0 （舍）， ② 當 PM=CP 時，則 解得 m=0 （舍）， m=2 ③ 當 CM=CP 時，則 （204號解得 m=0 （舍）， m=3 （舍），（204號 m=1 ：綜上所述， m 的值為 或2或1.

3結語

二次函數中的等腰三角形存在性問題是初中數學的重要題型，它綜合了函數與幾何知識，對學生的綜合能力要求較高.通過對常見題型和解題思路的分析，以及典型例題的研究，我們可以看到解決這類問題的關鍵在于合理設點、準確表示出三角形三邊的長度，并根據等腰三角形的定義進行分類討論和列方程求解.

參考文獻：

[1]劉玉文.歸類探析提升素養—以二次函數背景下特殊三角形存在性問題為例[J].初中數學教與學，2023（13）：31-34.