基于推理意識培養的計算教學

“20以內的進位加法\"是一年級的教學內容，蘇教版教材把這部分內容分成“9加幾”“8、7加幾”以及“6、5、4、3、2加幾\"三個部分.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標\"對其學業要求是\"能熟練口算\"].學情測查表明，在正式學習之前，僅就獲得計算結果而言，大部分學生已經達到較熟練的技能水平.但學生僅僅是數數心算或機械運用書寫符號計算，沒有建立與“十進制計數法”之間的關聯，并沒有真正理解20以內進位加法計算的概念本質.3數與代數知識具有“二重性”：既可以培養學生的運算能力，也可以培養學生的推理意識.4計算教學可以有意識地培養推理意識，幫助學生理解十進制計數法的本質，進而逐漸達到熟練口算的水平.5推理意識主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟.[學生數學推理能力的發展是從小學階段的推理意識過渡到初中階段的推理能力.小學階段的意識是一種含有感覺、知覺、思維等在內的綜合認識活動，是一個由感性逐漸向理性發展的過程.意識層學生的思維發展主要表現為感性具體、感性一般和理性具體三級.[8學生經由對具體、直觀數學活動經驗的感悟向理性認識活動進階，

在\"20以內的進位加法”教學中，推理意識要達到“理性具體”層級，具體做法如下：首先，在情境中理解“一個例子”，這是數學歸納推理的邏輯起點；其次，經由多個例子歸納、推理、概括出“9加幾\"的計算方法是“湊十法\"“得數是十幾，得數個位上的數比加的數少1\"等規律；再次，在“8、7加幾\"中類比推理，掌握十進制位置制思想等知識；最后，運用演繹推理靈活思考，拓展學生對所學知識的理解，進一步提高認知水平.

1在情境中理解“一個例子”

“一個例子\"是數學歸納推理的邏輯起點.一個例子雖有特殊性，但與其他類似例子相比，相似性蘊含其中，是實現從“一個\"到“一類\"跨越的認知基礎.在學習本課之前，學生已經認識10以內的數，知道新的計數單位“十”，掌握了“10加幾\"的口算.“9加幾\"作為起始課，要為學生感悟十進制計數法打好基礎.十進制計數法有兩個關鍵，一是十進制，二是位置值.在例題“ 9+4^′ 的教學中要突出這兩個要點，具體過程如下.

教師出示圖1所示的情境

師：觀察這些蘋果，你知道什么？生：盒子里有9個蘋果，盒子外有4個蘋果.師：能提出一個用加法計算的數學問題嗎？生：一共有多少個蘋果.師：怎么列式？生：要把盒子里的9個蘋果跟盒子外的4個蘋果合起來，算式是 ₉₊₄

師：“9十4”你會算嗎？自己試一試.

學生嘗試后匯報.

生1：我是數數的.先數4，接著往后數9個數，5、6、7、8、9、10、11、12、13.

生2：我也是數數的.盒子里有9個蘋果，先數9，接著往后數4個數，10、11、12、13.

生3：我是用小棒擺的.左邊擺9根，右邊擺4 根；從右邊拿1根給左邊，左邊有10根，合成一捆；右 邊還有3根，合起來是13根.

教師同步課件演示（如圖2）.

生4：我是算的，把4分成1和 ^{3，9+1=10，10+} ₃₌₁₃

師：觀察這幾種方法，你有什么想說的？

生5：前面兩種方法是“數”，后面兩種方法是“算”

師：這兩種“數\"的方法，你們覺得哪種好？

生6：從9開始數比較好.從4開始數，還要接著數9個數；從9開始數，只要接著數4個數，能少數幾次.

師：你們真會觀察，說得很有道理！后兩種“算”的方法有什么相同點？

生7：都是先把4分成1和3，然后 9+1=10 010+3=13

教師同步演示（如圖3）.

師： 9+1=10 ，這個“10”在“ 9+4=13 ”中藏在什么地方？

生8：藏在13的“1”里面，這里的“1\"表示“1個十”，就是10.

師：擺小棒的時候明明看到的是10個一啊，哪 來的1個十？

生9：9根加上1根是10根，把它捆成1捆，也就是13中的“1”，表示1個十，代表10個一.

師： 9+1=10 ，“滿十進一”，要把“1\"寫在十位上，表示1個十； 10+3=13，3 寫在個位上，表示3個一.數字寫在不同的位置表示的數值不同，

總結：數的時候，先數9，9加上1是10，在第10個蘋果后面畫一條隔離線，“滿十進一”，就在十位寫1，個位寫0，這是1個十；數到10以后，十位上的數字不變，個位上的數字依次加1，分別是11、12、13.“算\"是先從4里面拿出1，與9湊成1個十，這種方法叫“湊十法”“數”和“算”這兩種方法相同之處都是“滿十進一”.

加法的本質是數數.學生自主思考“ 9+4 ”的得數，自然想到“數”與“算”兩種方法.通過交流比較，發現兩種方法都是“滿十進一”.數數的過程自然體現十進制計數法，由此理解“湊十法”.對于 9+1= 10，多數學生仍是當作“10個一”，并沒有轉化為“1個十”，也沒有與計算過程中的“滿十進一\"相關聯.教師通過問題（10藏在什么地方）、操作和課件演示（捆成1捆）、講解（1寫在十位上表示1個十），幫助學生感知并形成對“位置制\"的認識.

2在歸納推理中概括規律

歸納推理是指由特殊推出一般，包括完全歸納推理和不完全歸納推理.完全歸納推理是依據所有對象具有相同性質推出結論，不完全歸納推理是依據部分對象的相同性質推出該類所有對象都具有這種性質.[9完全歸納推理得出的結論是必然的.不完全歸納推理得出的結論可能為真也可能為假，屬于合情推理.運用不完全歸納推理需要一定數量的例子，且例子要有典型性.因為在一個例子中，十進制、位置值與情境、實物等混雜在一起，學生通常難以自知與表達.如果嘗試計算諸如 ^9+8，9+6 等算式，學生將會熟悉計算的過程，逐漸脫離計算步驟的束縛，不再關注先算什么再算什么.這時，例子中相同或相似的部分會和情境、實物分離，成為學生感知的內容.隨著“湊十”“位置值\"這些相同特征不斷重復出現，學生內心深處希望自己是一個發現者、研究者和探索者的愿望被激發，這些共同特征成為學生概括的對象.通過“9加幾\"計算的不完全歸納推理抽象概括出“湊十法\"“位置值\"以及“得數個位上的數比加的數少1\"等規律，實現認識的飛躍.下面呈現不完全歸納推理的教學片段.

師：比較 9+4=13，9+8=17，9+6=15 ，有什么相同的地方？

生1：計算9加一個數時，把這個數分成1和幾，先算 9+1=10 ，再算 ¹⁰⁺ 幾.

生2：我有補充. 9+1=10 ，這個10代表10個一，等于1個十，要把\"1\"寫在十位上.

師：像這樣把加的數分成1和幾，先算 9+1= 10，再算 ¹⁰⁺ 幾，這種方法叫作“湊十法”（如圖4）.

生3：9加一個數，得數是十幾，得數個位上的數比加的數少1（如圖5）.

9+ 1幾 1

10

師：為什么得數個位上的數比加的數少1？

生4：因為要從加的數里拿出1跟9湊成10，所以得數個位上的數比加的數少1.

歸納推理有求同法、存異法、同異并用法、剩余法等.[10]求同法是比較研究對象有哪些相同之處.上述片段，學生對幾個算式的不同“視而不見”，抽象概括出“計算方法是湊十法，個位滿十進一，把1寫在十位上\"“得數是十幾，得數個位上的數比加的數少1\"等規律.數學概括能力是數學能力的核心[11]，學生透過具體的算式能概括其背后的方法，深度學習才會真正發生.

不完全歸納推理作為一種認識事物及其本質的科學方法，要結合教學內容有機滲透.教師可以提出問題“本節課通過三個例子，發現‘9加幾'的規律，這樣的發現對嗎”，引導學生寫出“9加幾\"的所有例子，并算出得數，驗證自己的發現正確與否，從中感受歸納推理的魅力.

3在類比推理中形成結構

類比推理是根據兩個不同對象之間在某些方面的相似或相同，進而判斷它們在其他方面也有相似或相同的屬性.它是由特殊向特殊的推斷，具有假設、猜想成分，屬于合情推理.單元整體教學背景下，經常會把“8、7加幾”與“9加幾\"安排在一個課時進行教學.學生直接運用\"9加幾\"中習得的\"湊十法\"解決\"8、7加幾\"的問題，提高學習效率.結合具體的實例，理解“湊十法\"并不困難，困難的是能在不同的情境中主動運用“湊十法\"解決類似的問題.算法只是知識，選擇才是智慧.分課時學習“8、7加幾”，通過類比推理，學生能進一步感受“湊十法”及其背后的十進制位置制思想，并在與“9加幾\"的比較中形成知識結構.

教師出示圖6所示的問題情境進行教學.教學片段如下.

師：求一共有多少把，你會列式嗎？

生1：求一共有多少把要把8把和7把合并，算式是 8+7

師： 8+7 你會算嗎？用小棒擺一擺、算一算.

學生嘗試后匯報，教師同步演示.

生2：我把7拆成2和 5，8+2=10 - 10+5= 15（如圖7）.

生3：我把8拆成5和 3，3+7=10，10+5= 15（如圖8）.

8+7=15人251

10（湊十法）8+7=15

入

5310（湊十法）

師：為什么要把7拆成2和5？

生2：因為 8+2=10 ，所以要把7拆成2和5師：為什么要把8拆成5和3？

生3：因為 7+3=10 ，所以要把8拆成5和3師：你們是怎么想到用“湊十法\"來算的？

生2、生3：算\"9加幾\"用“湊十法”，算 ⁸⁺⁷ 想到 了用“湊十法”

師：對！ ⁸⁺⁷ 怎么算呢，可以試試“9加幾\"時用的“湊十法”.在學習中，遇到新的問題，可以想類似的問題是怎樣解決的，用它試一試，這是一種重要的學習方法.“8、7加幾\"與“9加幾\"有什么相同點？有什么不同點？

生4：都是用\"湊十法”，滿十進一，把“1\"寫在十位上，表示1個十，得數就是十幾.

生5：不同點是拆的數不同.因為 9+1=10 =所以“9加幾\"要從幾里拆出 1;8+2=10 ，“8加幾”要從幾里拆出 2;7+3=10，^?7 加幾\"要從幾里拆出3.

生6：和的規律不同. ⁶⁶9 加幾”的進位加法，得數個位上的數比幾少1；“8加幾”的進位加法，得數個位上的數比幾少2；“7加幾”的進位加法，得

數個位上的數比幾少3.

教師同步演示（如圖9、圖10、圖11）.

鄭毓信教授認為，數學基礎知識的教學不應求全，而應求變、求聯.求變、求聯的主體應是學生本人.這需要教師給予時間和空間.面對新的問題，學生自主解決并交流方法后提出問題，如怎樣想到湊十法的，計算“8、7加幾\"與“9加幾\"有什么相同與不同之處等.學生在反思中進一步明確計算“8、7加幾”要把“9加幾\"的方法悄悄用上，由此獲得啟示，即解決新的問題可以借鑒類似問題的解決方法.這既指導學法，滲透合情推理，又促進學生元認知的發展.至于比較相同，則能凸顯計算的原理“十進制計數法”20以內的進位加法中，9加幾、8加幾、7加幾的得數都是十幾，但得數個位上的數規律不同，由于9+1=10，8+2=10，7+3=10 ，加的時候要分別從加的數里拆出1、2、3，所以得數個位上的數比加的數分別少1、2、3.這樣，離散的知識點建立了聯系，形成了結構，便于學生記憶和運用.

4在演繹推理中靈活思考

演繹推理是指從已有規則出發，對特殊情境中同樣的事情，推出新的結論.它是由一般向特殊的推理.演繹推理在前提真實、過程合乎規則的情況下，得到的結論一定真實，是必然性推理.本單元的學業要求是“能熟練口算”.學生運用在例題教學中形成的\"湊十\"思路，能比較容易口算出得數.如果后續只是簡單地重復練習，雖然能達到熟練，但會形成思維定式.思維定式長處突出，缺點鮮明.它一旦形成，學生即使能熟練口算，也會因缺乏思維參與而導致思維封閉、僵化.口算不僅僅是技能，也是解決問題的工具.口算過程要注重拓展學生對所學知識的理解，在提高學生認知水平上下功夫.因此，要加強口算的靈活性.口算靈活性的首要條件是運用演繹推理，即合理運用運算規則；其次是發現數與數之間的關系，將數靈活分解、組合.例如，口算 8+5 ，看大數拆小數， 8+5=8+2+3. 還可以 8+5=10+5-2 ，這樣算的依據是加法結合律.因為 8=10-2 ，根據負數的意義轉化為 10+（-2），8+5=10+（-2）+5=10+ 5+（-2）=10+5-2. 或者 8+5=5+5+3 ，因為 ⁸⁺ 5比 5+5 多3，所以 5+5 要加3.仍是根據加法結合律，把8分成 5+3，8+5=5+3+5=5+5+3. 或者8+5=10+3 ，第一個數增加2，第二個數減少2，和不變，依據是 a+b=a+b+c-c=（a+c）+（b-c） 業這些方法以運算的定義、運算律等為前提，對數進行拆分、重組、轉化，自然是演繹推理，只不過有些步驟被壓縮或省略.接下來，在對多種方法的分析和比較中，學生發現這些算法的本質依然是“湊十”，把僅用于解決某一個問題的特殊算法拓展為基本方法.口算過程的思考性以及思路的靈活性有助于學生突破思維定式，發展思維品質.

已有研究指出，知識的積累不必然帶來推理能力的發展.如果講授、訓練不當，知識的積累會阻礙推理素養的形成.[12]因此，需要特別重視結合數學教學內容培養推理意識.

參考文獻

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