基于PBL的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“《高中數(shù)學(xué)課標(biāo)》\"在“實(shí)施建議\"部分指出，教師應(yīng)“探索通過什么樣的途徑能夠引發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟知識的本質(zhì)”，并能“創(chuàng)設(shè)合適的情境、提出合適的問題”。可見，數(shù)學(xué)教學(xué)活動中的問題不是一時興起的發(fā)問，而是深思熟慮的引導(dǎo)，是學(xué)生學(xué)習(xí)活動的基礎(chǔ)和導(dǎo)向。PBL（Problem-BasedLearning）即“基于問題的學(xué)習(xí)”，非常重視問題在教學(xué)過程中的作用，強(qiáng)調(diào)問題要源于現(xiàn)實(shí)生活；數(shù)學(xué)建模則要求將現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)的語言建立模型，再用數(shù)學(xué)方法求解模型，最終解決現(xiàn)實(shí)問題。可見，二者的出發(fā)點(diǎn)是相吻合的。此外，二者都強(qiáng)調(diào)問題應(yīng)具有研究的意義和價值。但在實(shí)際的教學(xué)中，教師雖然經(jīng)常會組織學(xué)生自學(xué)、討論，但總是跳不出“我講你聽，我問你答，我出題你做題”的怪圈，其原因在于將“死\"的教育模式生搬硬套于“活\"的教學(xué)過程。下面，筆者以“易拉罐的設(shè)計(jì)\"為例，嘗試將PBL與高中數(shù)學(xué)建模過程相融合，在活動中探索如何提出合適的問題，引導(dǎo)學(xué)生在模型的建構(gòu)、優(yōu)化等過程中積累解決問題的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和元認(rèn)知水平

一、PBL的內(nèi)涵分析

PBL以建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、實(shí)用主義理論和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)理論為基礎(chǔ)，既是一種教學(xué)方法，又是一種學(xué)習(xí)方法，有時還是一種學(xué)習(xí)環(huán)境或?qū)W習(xí)策略，但其核心內(nèi)容都指向以學(xué)生為中心、以問題為導(dǎo)向、以自主學(xué)習(xí)和小組合作學(xué)習(xí)為形式，從而提高學(xué)生的高層次思維及處理和解決問題的能力[1]。PBL不僅能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)問題解決能力，還能增強(qiáng)他們的元認(rèn)知能力，包括策略使用、有意識使用、隱形使用和反思使用。

在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中，對“易拉罐的設(shè)計(jì)\"這一主題下的問題，學(xué)生需要運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行建模、分析和優(yōu)化，這就要求學(xué)生不斷地增強(qiáng)批判性思維2，提高自身的元認(rèn)知水平。這也是筆者進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的起點(diǎn)和基礎(chǔ)

二、根據(jù)PBL的基本教學(xué)流程搭建高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)框架

要想有效地將PBL實(shí)施在教學(xué)活動中，就必須清楚其基本教學(xué)流程。張?zhí)m霞等人將其與我國高等教育的實(shí)際情況相結(jié)合，指出PBL教學(xué)基本流程至少應(yīng)包括以下幾個環(huán)節(jié)：明確教學(xué)目標(biāo)、創(chuàng)設(shè)問題情境、找尋知識缺口、進(jìn)行自主學(xué)習(xí)、形成解題方案、展示學(xué)習(xí)成果[3]通過這些環(huán)節(jié)，學(xué)生可以建構(gòu)更為廣闊的知識體系，提升靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。

PBL中所圍繞的問題通常是源于生活、較為復(fù)雜且結(jié)構(gòu)不良的[4]。“易拉罐的設(shè)計(jì)”這一主題從研究對象上來看，是源于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活。同時，在問題的解決過程中，學(xué)生至少需要建立兩個模型才能完成，最終的答案也并非唯一答案，而是在學(xué)生掌握方法后去找尋一個最優(yōu)的方案。有專家指出，PBL是一種有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的方式[5]。因此，在\"易拉罐的設(shè)計(jì)\"教學(xué)中，將其與數(shù)學(xué)建模相融合是較為合理的。這樣，學(xué)生的學(xué)習(xí)將不再是單純地掌握知識，更重要的是他們能解決自己所面對的實(shí)際問題，從而完成學(xué)習(xí)的任務(wù)。因此，筆者基于高中階段的學(xué)情，根據(jù)PBL的基本教學(xué)流程搭建了建模教學(xué)的框架，具體如圖1所示

三、基于PBL的高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)設(shè)計(jì)

以滬教版普通高中教科書《數(shù)學(xué)》選擇性必修第三冊中“易拉罐的設(shè)計(jì)\"為例，教師可通過建立并優(yōu)化數(shù)學(xué)模型以尋求模型最優(yōu)方案的方式，來深人探究PBL在數(shù)學(xué)建模教學(xué)中的可行性和具體應(yīng)用。在此過程中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過建模活動積累解決問題的有效方法和經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和元認(rèn)知水平

在整個教學(xué)的宏觀把控上，筆者將整個過程分為課前布置、課中執(zhí)行、課后達(dá)成三個部分。

課前布置：學(xué)生收集數(shù)據(jù)，測量五個容量為 355mL 的易拉罐各部分的尺寸，完成表格（取平均值，保留一位小數(shù)，示例見表1）。

課中執(zhí)行：“易拉罐的設(shè)計(jì)\"的教學(xué)實(shí)施過程如圖2所示。

課后達(dá)成：3＼～4人為一組，找一個相似的情境進(jìn)行模型的探究應(yīng)用。

在教學(xué)的微觀設(shè)計(jì)上，筆者將數(shù)學(xué)建模過程與PBL的基本教學(xué)流程相融合，努力實(shí)現(xiàn)：

第一階段，與模型準(zhǔn)備融合；第二階段，與基礎(chǔ)模型準(zhǔn)備、建立和求解融合；第三階段，與模型優(yōu)化、提高思維融合。

（一）介紹情境，明確目標(biāo)

創(chuàng)設(shè)真實(shí)的情境可以激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)，目標(biāo)導(dǎo)向可以聚焦核心問題。對PBL來說，情境和目標(biāo)既是教學(xué)活動的出發(fā)點(diǎn)和歸宿，也是靈魂和核心[。明確了情境和目標(biāo)，就能通過問題引導(dǎo)，幫助學(xué)生逐步從感性認(rèn)識進(jìn)階到理性探索。

1.創(chuàng)設(shè)問題情境

《PBL理論與實(shí)務(wù)》一書中介紹了“3R3C”模型，它由核心要素和過程要素兩部分構(gòu)成，其中核心要素包含內(nèi)容（content）、情境（context）和聯(lián)系（connection），用來支撐內(nèi)容的學(xué)習(xí)，過程要素包含研究（researching）推理（reasoning）和反思（reflecting），用來關(guān)注學(xué)生解決問題過程中的認(rèn)知過程[7]。基于此，筆者將生活中常見的易拉罐商品作為情境素材設(shè)計(jì)相關(guān)情境。

[創(chuàng)設(shè)情境]“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學(xué)。”而在我們身邊就有這么一個神奇的物件，充滿著奧秘的數(shù)學(xué)知識，并且在超市和自動售賣機(jī)里它是常客。相信大家已經(jīng)猜到了，它就是“易拉罐”。20世紀(jì)30年代發(fā)明了易拉罐，由罐體、罐蓋和罐底三部分組成。經(jīng)過很長一段時間的發(fā)展，到目前為止，用易拉罐包裝的飲料仍然是我們身邊的常客。

2.確認(rèn)學(xué)習(xí)問題

面對創(chuàng)設(shè)的問題情境，學(xué)生會十分好奇易拉罐中到底隱藏了怎樣的數(shù)學(xué)奧秘，由此便成功激活了學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。于是，筆者順勢將其確定為這節(jié)課要解決的問題，即高層次目標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上再設(shè)置底層目標(biāo)，即子問題1～4，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)最終目標(biāo)。

問題：易拉罐中蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)奧秘？

子間題1：你對易拉罐的設(shè)計(jì)了解多少？

子間題2：如果你是生產(chǎn)商，你會怎樣設(shè)計(jì)你的易拉罐？

子間題3：廠家所設(shè)計(jì)的易拉罐是用料最省情況下的最優(yōu)設(shè)計(jì)嗎？

子間題4：如何用數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證廠家的設(shè)計(jì)是最優(yōu)的設(shè)計(jì)？

設(shè)計(jì)意圖：導(dǎo)入環(huán)節(jié)引用華羅庚的名言，讓學(xué)生從不同角度感受數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用范圍及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要性。這里還介紹了這節(jié)課要研究的內(nèi)容（易拉罐中隱含的數(shù)學(xué)知識）情境（我們?nèi)粘Ｉ钪须S處可見的易拉罐）聯(lián)系（易拉罐的設(shè)計(jì)、構(gòu)成），讓學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立與數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)模型建構(gòu)的準(zhǔn)備工作。此外，從學(xué)生的興趣出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生從真實(shí)的情境中發(fā)現(xiàn)、提出問題，利于激發(fā)學(xué)生的探究欲，使學(xué)生得到被尊重與重視的快樂，在明確這節(jié)課主要任務(wù)的基礎(chǔ)上，積極主動地投人學(xué)習(xí)。

（二）建立模型，協(xié)作學(xué)習(xí)

建立模型可以將抽象的問題、知識可視化，通過協(xié)作學(xué)習(xí)則可以實(shí)現(xiàn)師生、生生之間的深層對話。在明確學(xué)習(xí)目標(biāo)之后，學(xué)生需要審視已有的知識，以產(chǎn)生學(xué)習(xí)新知識的動機(jī)，然后通過自主的協(xié)作學(xué)習(xí)，獲得對新知識的深度理解。

1.找尋知識缺口

知識缺口是學(xué)生解決問題時所需要的知識與其實(shí)際擁有的知識之間的差距。在問題分析的過程中，學(xué)生需要去探尋自己的知識缺口在哪兒，此時有“找到”與“找不到\"兩種結(jié)果。倘若學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決這個問題需要學(xué)習(xí)新的知識，就會激發(fā)學(xué)習(xí)的主動性；倘若學(xué)生沒有找到自己的知識缺口，認(rèn)為靠自己已有的知識能夠解決問題，就會直接進(jìn)入下一個環(huán)節(jié)一自主學(xué)習(xí)。在此過程中，前者在知識面上會有所拓展，而后者在學(xué)習(xí)的思維上會有所提升（學(xué)生可能在學(xué)習(xí)任務(wù)完成之后才有所覺察）。這兩種探究，學(xué)生最終都會有所收獲

筆者從“易拉罐由哪些基本形狀構(gòu)成\"“易拉罐的形狀與數(shù)學(xué)中的哪個幾何體相似”“能否利用這些基本形狀建立數(shù)學(xué)模型”“該如何建立我們需要的數(shù)學(xué)模型\"等方面對問題進(jìn)行拆解，引導(dǎo)學(xué)生猜想“有哪些因素會影響易拉罐的質(zhì)量”“如何對影響條件進(jìn)行限定”等，并嘗試用數(shù)學(xué)語言描述問題、用數(shù)學(xué)符號表示問題，進(jìn)而提出數(shù)學(xué)模型的假設(shè)。然后，筆者分配任務(wù)，使學(xué)生明確目標(biāo)，根據(jù)所提出的假設(shè)，利用公式法建立基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，形成模型假設(shè)，舉例如下。

假設(shè)1：易拉罐容積相同，設(shè)為V。

假設(shè)2：易拉罐是一個上下封閉的空心圓柱體，其底部半徑設(shè)為 r ，凈高度設(shè)為h

假設(shè)3：易拉罐罐頂、罐體和罐底的厚度和材質(zhì)都相同，其厚度設(shè)為 d ，密度設(shè)為 ρ ，當(dāng)材質(zhì)確定后， d_?ρ 均可認(rèn)為是常量。

設(shè)計(jì)意圖：基于對易拉罐基本形狀“圓柱體”的考慮，對其他條件進(jìn)行限定，引導(dǎo)學(xué)生將已有的知識調(diào)動起來，從而找尋自己的知識缺□，同時體會將現(xiàn)實(shí)情境簡單化、抽象問題具象化的方法，從而完成模型的假設(shè)工作，為順利建構(gòu)數(shù)學(xué)模型作準(zhǔn)備。此外，通過引入物理學(xué)科中的質(zhì)量公式（ M=Vρ ），建立數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，為學(xué)生建立基礎(chǔ)模型作鋪墊，提高學(xué)生對知識的遷移能力。

2.進(jìn)行自主學(xué)習(xí)

追間1：如何計(jì)算用料質(zhì)量？

[學(xué)生活動]根據(jù)假設(shè)，利用公式法得到有關(guān)等式，并展示結(jié)果： M_☉=2M_?rosun+M_?rosun= 2πρd（r²+rh） 。

追間2：如何處理含有兩個自變量的函數(shù)？

[學(xué)生活動]聯(lián)想到消元法，自行聯(lián)立方程，完成對公式的消元整理。由于消 r 與消 h 所得的結(jié)果不一樣，因此呈現(xiàn)不同的整理結(jié)果。

M_☉=2πρd（r²+rh） V=πr²h 結(jié)果一：消 h 得 $M _ { ☉ } = 2 ＼pi ＼rho d （ r ^ { 2 } + ＼frac { V } { ＼pi r } ）$ 結(jié)果二：消 r 得

設(shè)計(jì)意圖：通過追問引導(dǎo)學(xué)生步步深入，將未學(xué)過的多元函數(shù)求極值問題與已學(xué)過的消元法結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識、方法的遷移。此處既可以是學(xué)生的知識缺口，也可以不是，而教師要注意的是如果此處為學(xué)生的知識缺口，就要為學(xué)生留下足夠的探索時間。利用公式法和學(xué)生已有的知識，引導(dǎo)學(xué)生建立基礎(chǔ)模型，可幫助學(xué)生積累建模方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)化歸思想，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

追間3：令 取最小值時 r 為何值？

[學(xué)生活動]通過采用不同的方法（代數(shù)法、幾何法）探求出結(jié)果。采用代數(shù)法的學(xué)生借助導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求得 算出用料最省時 r 值為 。采用幾何法的學(xué)生借助GGB繪制出了函數(shù) s 的圖象，發(fā)現(xiàn)了 r 的精確值。

設(shè)計(jì)意圖：允許學(xué)生采用不同的方法進(jìn)行求解，使學(xué)生親身體驗(yàn)探究的過程，促使其由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動學(xué)習(xí)。通過代數(shù)法和幾何法幫助學(xué)生積累求解數(shù)學(xué)模型的方法，掌握解決現(xiàn)實(shí)問題的工具，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高解決問題的能力。

（三）問題解決，總結(jié)反思

當(dāng)知識缺口得以彌補(bǔ)，新知識得以內(nèi)化與整合后，學(xué)生就能產(chǎn)生解決問題的方案。成果展示可用來檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，而總結(jié)反思則可促進(jìn)元認(rèn)知的發(fā)展，并使學(xué)生通過結(jié)構(gòu)化的復(fù)盤實(shí)現(xiàn)能力的提升。

1.形成解題方案

筆者將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值的問題，激勵學(xué)生自主執(zhí)行模型求解的過程，利用求最值的知識，將任務(wù)的執(zhí)行簡單化。

追間4：用料最省時的最優(yōu)比例設(shè)計(jì)是什么？

[師生活動]推演公式（如圖3所示）。

[教師活動]展示學(xué)生課前測量的數(shù)據(jù)表格，讓學(xué)生自行驗(yàn)證模型結(jié)果，促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)結(jié)果與實(shí)際不符。

[學(xué)生活動]通過對表格的觀察，發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)模型的假設(shè)存在問題，需要對模型假設(shè)進(jìn)行修改優(yōu)化，使模型更貼近實(shí)際情況。對模型修改優(yōu)化之后，仍以小組合作的形式，協(xié)作執(zhí)行重新建立數(shù)學(xué)模型、求解數(shù)學(xué)模型、驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型的任務(wù)。

設(shè)計(jì)意圖：公式的計(jì)算處理是學(xué)生這節(jié)課學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，因此采用師生協(xié)作、同桌互助等方式，共同完成結(jié)果的推導(dǎo)過程，并進(jìn)行板演，幫助學(xué)生克服對公式計(jì)算的恐懼心理，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的信心。觀察表格可鍛煉學(xué)生的思辨能力，經(jīng)驗(yàn)證，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)基礎(chǔ)模型的結(jié)果與實(shí)際情況并不相符，從而提升自身的元認(rèn)知水平，并產(chǎn)生優(yōu)化模型的需要和想法。

2.展示學(xué)習(xí)成果

[優(yōu)化模型]上述假設(shè)1和假設(shè)2不變，將假設(shè)3改為：易拉罐罐體和罐底的厚度為 d ，罐頂厚度是前兩者的 k 倍，但三者材質(zhì)相同（密度均為 ρ ）。

[學(xué)生活動]依次利用公式法、消元法、求導(dǎo)法等，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，并求解模型公式法： ξ?M=πρd（kr²+r²+2rh） 。消元法：S=（k+1）r2+2V。求導(dǎo)法： 所求結(jié)果：在用料最省的情況下求得 r= √（k+1）π，h= V（k+1）2，并發(fā)現(xiàn)此時 （k+1）r=h 。

然后，根據(jù)課前測量的表格再次驗(yàn)證模型結(jié)果，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后的結(jié)果更加接近實(shí)際情況。

[師生活動]教師將基礎(chǔ)模型與優(yōu)化模型進(jìn)行對比，解釋優(yōu)化模型的現(xiàn)實(shí)意義，指出其中蘊(yùn)涵的“運(yùn)籌模型”，就是將抽象或復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為客觀的數(shù)學(xué)模型，來解決現(xiàn)實(shí)問題，同時回答課堂最初的問題“易拉罐中蘊(yùn)含了怎樣的數(shù)學(xué)奧秘”，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)高層次目標(biāo)。學(xué)生體會優(yōu)化后的模型更貼近現(xiàn)實(shí)，從而獲得優(yōu)化模型的經(jīng)驗(yàn)方法。

設(shè)計(jì)意圖：通過對基礎(chǔ)模型的探究，學(xué)生已經(jīng)積累了建立模型和求解模型的經(jīng)驗(yàn)，可以很容易模仿之前的流程進(jìn)行操作。采用小組合作的方式可以延續(xù)學(xué)生課堂的參與度，培養(yǎng)合作精神。將基礎(chǔ)模型與優(yōu)化模型放在一起對比，以更直觀地向?qū)W生呈現(xiàn)優(yōu)化模型更好、更貼近真實(shí)的實(shí)際情況，不僅能將建模過程抽象出來，并通過通俗易懂的語言描述讓學(xué)生明白如何運(yùn)用這節(jié)課所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，而且可使學(xué)生在提升問題解決能力的同時，提高自身的元認(rèn)知水平。

四、結(jié)語

《高中數(shù)學(xué)課標(biāo)》指出在數(shù)學(xué)建模活動中“課題研究的過程包括選題、開題、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié)”，這與PBL中確定目標(biāo)、明確方式、制訂計(jì)劃、解決問題的過程不謀而合。隨著教育改革的深入，越來越多的學(xué)者認(rèn)識到PBL的優(yōu)勢，它通過提供真實(shí)的問題情境和鼓勵學(xué)生自主探索，幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，同時培養(yǎng)他們的批判性思維和創(chuàng)造力，這能顯著提高學(xué)生解決問題的能力和元認(rèn)知水平[8]。因此，將PBL與高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)相融合，不僅能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，還能優(yōu)化傳統(tǒng)的教學(xué)模式，使學(xué)生由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動學(xué)習(xí)，從而為培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維的復(fù)合型人才提供有力支持。可見，PBL與數(shù)學(xué)建模教學(xué)的融合具有較為廣闊的研究與應(yīng)用前景。

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