音程中共同倍音和共同倍音拍頻值與失諧變量的關系 (上）

所有鋼琴調律工作者都知道，鋼琴全音域各鍵音的取準有兩種方式。方式一：憑視覺借助計算機軟件提供的標準頻率數據，逐一獲得各鍵的律音精確，從而引證音程準確。方式二：憑聽覺對構成音程根冠兩音的頻率比值進行調整，以達到音程精確，從而引證律音準確。無論何種方式的調律工作者在工作過程中都需要具備三個基本工作要素：A.視覺方法B.聽覺功能C.手控技能。

被認為是視覺調律工作者們當然利用視覺方法在計算機軟件中取得標準頻率值以指導，但同時又是利用聽覺功能去完成所有同度音程的，并且憑聽覺功能完成所有八度音程者不在少數，當然手控技能是重中之重了。而被認為是現代聽覺調律工作者們，如果不借助視覺方法在軟件中獲取標準音 440Hz （或遇上樂團要求的 442Hz 、 443Hz 等）數據，是否不夠明智呢？更何妨有軟件去輔助檢驗、指導提高其對音程更精確之聽覺功能，相得益彰又何樂而不為呢。少部分長期習慣“B”方式且又水平較高不愿意兼用“A”方式者顯然十分不明智。時至當今，鋼琴調律工作要素中若三缺其一，無疑不是一個優秀的調律師。業界不必爭拗高低，無需人為分成視覺、聽覺兩類調律工作者。無論何種方式，調律師們都是將二百多根琴弦，按物理聲學頻率值、按樂理聲學音程值，統一完成具有既定的、規律的88個鍵音之精準結構鏈。呈現于樂曲演奏者前是否引起心脈相通，呈現于聆聽欣賞者前是否引起聽覺共鳴，這便是本文拋磚引玉誠邀調律師們對音程中共同倍音和共同倍音拍頻值與失諧變量的關系之探討。

一、音程中的共同倍音分析

鋼琴十二平均律中，分屬協和類音程的有三大類：完全協和音程同度、八度；協和音程四五度；不完全協和音程大小三六度。

十二平均律中只有完全協和音程構成共同倍音。

（一）同度音程共同倍音

1.理想弦振動理論值：以計算機軟件或音叉的 440Hz 調準A4鍵中弦，以A4中弦調準左弦，此時中弦第一諧音440Hz與左弦第一諧音440Hz頻率比值是1：1，440Hz是此同度音程的最強第一共同倍音。根據弦分段振動定律，其諧音整倍數疊加呈復合泛音列狀態，此同度音程的兩音之第二諧音是 880Hz ，頻率比值是 2：2 ， 880Hz 是第二共同倍音，其次第三諧音 1320Hz 、第四諧音 1760Hz ……，頻率比值 3：3 ， 4：4 、 5：5 …，是同時疊加存在的第三、四、五共同倍音。

2.實用弦泛音失諧變量客觀值：實際應用的鋼琴弦并非理想弦，振動受弦長、張力、材質、勁度諸因素影響，其柔順度不足，令泛音頻率與基頻之間產生“非諧性”的客觀現象，即泛音頻率略高于基頻的整倍數。業界給出一個慣常稱之為泛音失諧系數修正應用公式（而于琴型號大小不一，品牌不一，則并非唯一）：

公式如下：

可寫成：某次諧音的頻率 .= 諧音序數 × 該音基頻 × （1+諧音序數平方 × E之和開平方）。按此公式得出上述 440Hz 同度音程的兩音之第二諧音是 881.01Hz ，頻率比值是 2：2 ， 881.01Hz 是第二共同倍音，其次第三諧音1323. 43Hz F第四諧音1768. ，頻率比值為 3：3 、 4：4 、 5：5… ，是第三、四、五共同倍音。（可通過計算機軟件“A”方法視讀實測，倍值漸次增大）

小結：構成同度音程共同倍音的要素是兩音的基頻（第一倍音）相同，“B”工作方式中聞辨極其清楚，同時第二、三、四等上方共同倍音雖可通過“A”工作方式視讀清晰，但對于聽覺功能的調律工作者及音樂聆聽者而言，音程中構成最強第一共同倍音組合是最重要的。

（二）八度音程共同倍音（實用琴弦泛音失諧變量客觀值）

1．下行八度

以A4調準下行A3八度至完全協和吻合無拍（“B”聽覺調律方式：過程是憑借A4的第一諧音為準繩調準A3的第二諧音），此時是冠音的第一諧音 440Hz 與根音的第二諧音 440Hz （已是諧音失諧變量值，基音實為219.75Hz）同頻構成頻率比值 2：1 ，根二冠一相同頻率 440Hz 是此八度音程的最強第一共同倍音。同時此八度音程根冠兩音上方諧音列的頻率比值為 4：2 ， 6：3 ， ，也構成第二、三、四共同倍音且呈復合。

2．上行八度

以A4調準上行A5八度至完全協和吻合無拍（“B”聽覺調律方式：過程是憑借A4的第二諧音為準繩調準A5的第一諧音），此時是根音440Hz的第二諧音（失諧變量值881.01Hz）與被調“純”冠音的第一諧音881.01Hz構成頻率比值 2：1 ，根二冠一相同頻率881.01Hz是此八度音程的最強第一共同倍音。同時此八度音程根冠兩音上方諧音列的頻率比值 4：2 ， 6：3 ， ，也構成第二、三、四等共同倍音且呈復合。

小結：以 八度音程為例。頻率比值 .4：2 構成第二共同倍音之A4根音的第四諧音，其失諧變量值后是1768.12Hz而A5冠音的第二諧音，其失諧變量值后是 1764.07Hz ，兩頻率有差值，顯然不同頻，因為這里八度音程根冠音的諧音序數不同，令失諧變量不一致（每一各自泛音越高次，其失諧變量倍值呈線性向上增大），就會造成所有上方復合的“共同倍音”呈現頻率差值現象，并不構成真正的完全共同倍音，本文暫擬出“共同倍音拍頻值”之稱。凡上方第二及以上的共同倍音拍頻值現象，在調律師工作要素“A”視覺方法中可視讀，“B”聽覺功能中可聞但極難辨，“C”手控技能下很難把控。重要的是，這些第二及以上所出現的共同倍音拍頻值，不影響也不會改變根二冠一同頻所構成的八度音程“最強第一共同倍音”。

二、音程中的共同倍音拍頻值分析

音程共同倍音是因為構成音程兩音的頻率比值呈純整數比，如同度1：1、八度2：1。如果兩音頻率出現輕微偏差，即令比值不是純整數比，不是呈完全協和狀態，比如原本是純一度和純八度的音程出現偏差，就會出現拍頻現象；又另平均率中的協和音程四五度、不完全協和音程大小三六度的非純整數比值，便會出現（成為）共同倍音拍頻值。

（一）同度音程偏差出現拍頻值

如果A4中弦 440Hz 、左弦出現 ±1 偏差成441Hz或 439Hz ，兩音構成的最強第一共同倍音便出現拍頻現象，拍頻值分別為1，同時第二、三、四共同倍音拍頻值翻倍為（結合同序數失諧變量一致，只出現輕微偏差）2、3、4拍值。

（二）八度音程偏差出現拍頻值

如果以根音A4第二諧音881. 01Hz ，取上行八度冠音A5第一諧音出現±1偏差成882.01或880.01Hz，根冠兩音構成的最強第一共同倍音便出現拍頻現象、拍頻值為1，同時第二、三、四共同倍音拍頻值（結合不同序數失諧變量值的不同），翻倍為差異較大的拍值。以 4：2 的第二共同倍音拍頻值為例。A4根音第四諧音失諧變量值后是1768. 12Hz ，當A5冠音出現正偏差頻率值成882.01Hz時，冠二諧音失諧變量值后是1766. 08Hz ，當負偏差頻率值成880.01Hz時，冠二諧音失諧變量值后是 1762.05Hz 。

正偏差時的 4：2 為1768.12：1766.06，拍值差為 ⁶⁶2.06³ 拍負偏差時的 4：2 為1768.12：1762.05，拍值差為“6.07”拍通過以上（一）（二）現象所出現的數據說明：

1.完全協和音程同度、八度若存在偏差，出現拍頻現象，即令原本是最強第一共同倍音被轉化成最強第一共同信音拍頻值。2.依然是第二及上方各諧音值只能通過軟件從“A”視讀清晰，而“B”很難聞辨清楚。3.八度音程偏差的最強第一共同倍音拍頻現象之拍值，不是由第二及上方共同倍音拍頻值的拍值差所決定。

（三）平均律四五度、大小三六度音程中的固有共同倍音拍頻值

由于平均律的構成是在一個八度內均分出音程相等的十二個半音，除了完全協和音程同度八度的最強第一共同倍音呈完全協和吻合無拍外，其余的協和音程四五度、不完全協和音程大小三六度的共同倍音均存在拍頻現象，因此構成共同倍音拍頻值。

業界長期以來按上世紀初美國人懷特先生依理想弦諧音振動計算，認可使用兩組理論指導值：一組是“A”工作狀態下常用基準組標準頻率，以A3為220Hz生出F3的174.614Hz～F4的349.228HZ之間各基音標準頻率值（表1）；另一組是“B”工作狀態下的基準組各音程拍頻值（表2）。重要的是，實用弦一旦融入泛音失諧變量客觀因素，兩組理論指導值即發生變化：例如大三度，A3 （220Hz） ）與F3（174.614Hz）的諧音5：4組合就不是6.93拍值，反之以A3寬出6.93拍值F3的結果也不是 174.614Hz 。

表1理想弦常用基準組各基音標準頻率值