問題式探究在高中數學概念教學中的應用

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2025）18-0056-03

在實際數學教學過程中，教學目標的完成以及教學過程的驅動都是需要建立在問題設計上的，只有通過問題的合理設計，才能激發學生對知識的有效思考，進而從本質上提高教學質量1.因此以問題為中心展開教學，能夠使整個教學過程更加生動、多元且內容豐富.

1 問題驅動教學與數學核心素養

數學教學中的問題設計是教學方向和教學動力生成的核心要素，而教學過程本質上也是在解決數學問題，為了進一步培養學生的數學核心素養，讓學生了解數學學科的意義，教師應該結合教學內容，在實際教學中以問題驅動教學，通過問題的設計讓學生主動思考數學知識、探索知識的形成，從而獲得更加完整的認識.同時，問題驅動教學模式也能培養學生自我思考、自主探索的學習習慣，讓學生在以后的數學學習乃至其他學科學習中，能夠自主尋找知識中的問題，并以解決問題的方式獲取知識，從而掌握有效的學習技能.

2 三角函數周期性現象的內容與意義

三角函數貫穿整個高中數學學習過程，同時應用于代數計算和幾何領域，是對三角知識與函數概念的深化和拓展.周期性質作為三角函數的主要性質之一，可以用來描述和計算給定自變量區間的三角函數在無限區間內的現象以及性質，從有限的角度去看待無限的事物，幫助學生建立一個關于三角函數更加完整的認識.同時學生在學習三角函數的現象及其性質時，能夠體會到轉化和化歸的思想，進而擁有更加全面的數學分析思維.三角函數作為一種特殊的函數，最明顯的特征就是在原有函數性質比如奇偶性、單調性、值域以及定義域的基礎上，加入了周期性這一性質，因此了解三角函數的周期現象，掌握三角函數的周期性質對學習函數知識也是大有裨益的[2].

3 三角函數周期性現象教學思路

3.1 設計理念

對于周期性這個概念，學生能夠觀察到現實生活中的一些往復現象，卻很難將其抽象為具體的數學知識與數學概念.因此，對于這類學生已有直觀感受和體驗的概念性知識，教師應采用問題驅動模式，以學生的主動思考為主，讓學生在有效問題的引導下建立對三角函數周期性現象的理性認識，培養學生學習概念性知識的思維習慣，同時也有利于學生數學核心素養的形成和發展[3].

3.2 教學目標

（1）學生能理解什么是周期函數，能夠掌握基本三角函數（如正弦函數、余弦函數或者等函數）周期性；（2）學生明白最小正周期的概念，從函數的角度出發去理解周期性，并能用自己的語言來描述周期函數；（3）學生能夠將三角函數周期性知識應用到實際問題中，掌握數學知識的應用方法，提升自身的數學技能.

3.3 教學重難點

教學重點是讓學生體會周期性函數的周期現象以及特征，能夠掌握求解三角函數周期的方法；教學難點是讓學生將三角函數周期性的性質用數學語言和數學符號表示出來.

4三角函數周期性現象教學實錄

4.1 問題情境，引出概念

在引出三角函數的周期性概念和現象前，教師要善于結合生活中的周期性現象，引導學生思考這些現象的共同特征，從而幫助其更快地理解相關數學知識.

問題1 今年是2023年，在農歷中是兔年，那再過多少年又能迎接兔年的到來呢？請同學們思考一下農歷生肖年有什么特征？

學生1：再過十二年就是下一個兔年，農歷生肖年每十二年循環一次，具有周而復始的特征.

問題2在物理學關于物體的運動知識學習中，教師常常會借用單擺來進行物體運動知識的教學，那么單擺運動有什么特征呢？

學生2：單擺運動是重復循環的，以最低點為例，單擺的小球每隔一段時間就會經過最低點且該時間固定不變，也是具有周而復始的特征.

問題3通過以上這些現象，請同學們思考實際生活中還有哪些現象會呈現出這樣的性質？

學生3：海水潮漲潮落、四季更迭以及鐘表上的時針分針運動都具有這樣周而復始的性質.

教師總結：這些周而復始、重復出現的現象實際上就是周期性，而今天我們就要基于三角函數的周期性進行學習，掌握三角函數周期性的概念，用數學的語言和符號表示這種性質和現象，并將其運用到具體的數學問題中.

設計意圖教師通過提問引導學生思考實際生活現象的本質，一方面可以充分激發學生的課堂思考，另一方面也可以加強學生結合數學知識與實際生活的能力，提高學生的數學學科素養.

4.2 學生活動，數形結合

教師：在此之前我們已經學習了三角函數的相關知識，明白三角函數是刻畫圓周運動的一種數學模型，而圓周運動本身就是一種周而復始的現象，因此這種特征必定也會包含在三角函數的數學性質之中.

圖1為一單位圓，圓點為o ，點 P 為圓上一動點，線段 MP 為正弦線，線段OM為余弦線.接下來請大家在紙上繪制出點 P 運動時對應的正弦線，并思考如何利用正弦線刻畫三角函數這種“周而復始”的現象.

學生活動：如圖1所示作出若干條正弦線，當動點 P 旋轉不超過一周時，正弦線的位置以及旋轉方向不會重復；當動點 P 每旋轉一周時，其位置和旋轉方向就會重復出現一次，也就是說對于任意的 x ?∈R ，存在 sin（x+2π）=sinx. 結合余弦線的運動也可得：對于任意的 x∈R ，存在 cos（x+2π）=cosx.

教師歸納：正弦線和余弦線的這種運動規律sin（x+2π）=sinx，cos（x+2π）=cosx ，即為正弦函數與余弦函數具有的周期性性質，記為 f（x）=sinx ，則對于任意的 x∈R ，都有 f（x+2π）=f（x）

設計意圖 教師通過學生的自主思考活動引導學生從熟悉的直觀圖形出發，感知周期性的圖象表現形式；然后用數學化的符號來刻畫這種現象，幫助學生更好地理解三角函數周期性的性質.

4.3 問題探究，明確定義

為了讓學生從數學角度來認識周期性，教師應設置問題探究活動，引導學生思考如何用數學語言及數學符號來詮釋三角函數的周期性.

問題1在之前的三角函數奇偶性學習中，我們是如何用數學語言來刻畫函數的奇偶性的？類比其刻畫方式，并試著用數學語言刻畫三角函數的周期性.

學生討論：如果對于函數定義域內的任意 x ，都有 f（δ-x）=f（x） ，那么函數叫做偶函數；如果對于函數定義域內的任意 x ，都有 f（?-x）=-f（x） ，那么函數叫做奇函數.則可類比得出函數周期性的定義：一般地，對于函數 f（x） ，如果存在一個非零的常數，得定義域內的每一個值，都滿足 f（x+T）=f（x） ，那么函數叫做周期函數， T 叫做這個函數的周期.

問題2 如何從“數”與“形”的角度去理解函數的周期性T？

學生討論：從代數角度來看， T 必須滿足（ x +T）=f（x） ，及 T 是屬于函數中自變量的該變量；從形的角度來看，函數圖象在經過周期 T 之后會重復一次，即圖象中 T 是指一次循環的長度.

教師總結：從以上的周期性性質及現象中我們可以得知，周期函數 f（x） 滿足 ，函數圖象在經過周期之后會重復一次，那么經歷 2T，3T， 4T…之后也會重復，在它們所有的周期中存在著一個最小的正數，那這個最小的正數就叫做 f（x） 的最小正周期.

設計意圖教師以問題探究的形式讓學生用數學語言和數學符號描述數學現象，訓練學生數學概括的能力，同時結合教師總結的規范概念定義，在循序漸進的過程中促進學生對知識的掌握.

4.4 例題設置，活學活用

例1 求解下列函數的周期：

例2解答下列關于函數最小正周期的簡答題：

（1）正弦函數、余弦函數的最小正周期為多少？（2）正切函數 f（x）=tanx 的最小正周期為多少？（3）是不是所有的周期函數都有最小正周期？函數 f（x）=c 為周期函數嗎？

設計意圖真正的課堂教學不僅要傳授學生知識與方法，還要提高學生相應的數學技能.該環節通過設置例題考查學生對三角函數周期性知識的掌握程度，促進學生內化知識并提升解題能力，從而有效提升其數學學科素養.

5 結束語

問題驅動教學模式以學生的自主問題探究為主、教師的進一步概括總結為輔，讓學生經歷知識的形成過程，在問題中感受數學學習的意義，有利于學生培養自主意識，養成更好的數學學習習慣，進而發展數學核心素養.

參考文獻：

[1］羅進才.基于核心素養的高中數學問題驅動式教學實踐研究[J].試題與研究（教學論壇），2021（03） ：75.

［2］倪科技.從“三角函數的周期性”教學談高中數學概念的引入［J]．中學數學教學參考，2015（31） ：2.

[3]安學靜.問題驅動下的高中數學教學模式之應用[J].電腦樂園，2021，6（05）：264.

[責任編輯：李慧嬌]