弧齒錐齒輪彎曲強度ISO計算標準與有限元分析

中圖分類號：TH132.4 DOI：10.16579/j.issn.1001.9669.2025.07.015

0 引言

弧齒錐齒輪因其承載能力強、傳動平穩等優點，廣泛應用于航空航天、車輛和各種工業傳動系統中。輪齒折斷是其最主要的失效形式之一。為提高齒輪強度設計的可靠性，針對齒輪齒根彎曲疲勞強度評估，多個國家都制定了相關評價標準，如我國當前使用的GB/T10062系列標準錐齒輪承載能力計算方法[1-3]，國際上普遍采用的ISO10300系列標準[46和ANSI/AGMA2003-D19標準等。GB/T10062系列標準是在ISO10300系列標準基礎上修訂而成的。由于在推行標準上投入不足且缺少基礎數據的支持，當前的標準已很難適用于日益復雜多樣的齒輪產品開發要求。因此，對ISO現行標準進行研究，實時對接國際標準化工作，修訂GB/T標準，對我國齒輪行業健康發展至關重要。

一直以來，國內學者與相關企業都十分關注ISO齒輪標準及計算結果的適應性，并投人了相應的研究工作。徐躍進[8]將Ansys軟件計算結果與Hertz公式計算結果進行比較，驗證了有限元分析法的精確性、有效性和可靠性；陶振榮等提出一種新的齒輪強度計算判據，并列出相應的判據計算式，得出了一種更加合理精確的齒輪強度計算方法;魏冰陽等[10-11利用

MonteCarlo法數值模擬了弧齒錐齒輪的接觸強度及彎曲強度幾何系數的分布規律，探討了錐齒輪疲勞強度的可靠性分析和計算方法；吳昌林等采用分類比較和實例對比的方法對比了ISO標準與AGMA標準關于漸開線圓柱齒輪強度計算方法的差異，認為產生差異的主要原因是參數和修正系數的取值差異，并且AGMA標準對齒輪參數的改變更敏感；鄧效忠等[13]采用加載齒面接觸分析與有限元應力影響矩陣法計算出齒根彎曲應力，并通過試驗驗證了結論的正確性。滕文爽等[14比較了行業標準（HB）與ISO標準的差異，認為兩者引入系數不同，導致ISO標準計算齒根彎曲應力基本值更小；但不同修正系數的選用，導致計算齒根彎曲應力和許用齒根彎曲應力更大。周長江等[15]設置多組樣本，通過有限元接觸分析對ISO和AGMA這2種標準計算結果進行了對比驗證，認為結合接觸和彎曲強度的安全系數來評估錐齒輪承載能力更加合理；黎向宇等通過對HB和AGMA這2種標準的原理、修正系數等方面進行比較，得出前者強度評估更為保守的結論。上述研究對錐齒輪幾何設計及承載能力計算具有重要的指導意義。目前，國內對ISO齒輪標準的研究工作投人不足，導致行業標準化工作明顯滯后，尚未涉及對錐齒輪ISO標準2種評價方法計算結果的比較與適用性研究。鑒于此，本文擬從ISO標準2種計算方法的原理出發，對比分析2種方法關于齒根彎曲應力及許用彎曲應力計算涉及的各參數選取方法以及數值的選用原則，總結2種計算方法中各參數取值對齒根彎曲應力計算的影響規律；設計計算樣本，對2種計算方法得到的結果進行比較；最后，通過有限元分析對計算結果進行驗證，探討2種計算方法的數值裕量與適應性。

1錐齒輪彎曲強度計算原理與公式

1.1彎曲強度計算原理

B1方法以弧齒錐齒輪齒寬中點處對應的當量圓柱齒輪參數作為基準參數，B2方法則以弧齒錐齒輪大端對應的當量圓柱齒輪相關參數作為基準參數。在進行彎曲應力計算時，B1方法以當量圓柱齒輪齒根危險截面（與齒根圓角相切 30^° 受到的彎曲應力作為齒根彎曲應力基本值，引入相應修正系數后計算得到齒根彎曲應力；而B2方法則在當量齒輪上應用Lewis公式，假設齒輪為板型梁，利用懸臂梁模型以及“ 30^° 切線法”確定的齒根危險截面來推導出無誤差齒輪齒根受到的最大拉伸應力，并引入相關修正系數計算得到齒根的彎曲應力。

由于2種計算方法在進行強度分析時定義的基準不同，計算式中相關修正系數取值也存在差異，即使針對相同的齒輪產品設計，2種計算方法得到的強度計算結果也會存在一定的差異。

1. 2 彎曲應力計算公式對比

錐齒輪齒根彎曲應力的計算，B1方法的計算式為

由式（1）＼～式（3）可知

B2方法的計算式為

由式（4）式（5）可得

式中， F_vmt 為當量圓柱齒輪名義切向力； b_v 為當量圓柱齒輪齒寬； m_mn 為中點法向模數； F_mt 為齒寬中點分錐上的名義切向力； β_v 為當量螺旋角 ;β_ml 為錐齒輪1中點螺旋角； T 為錐齒輪名義轉矩； d_m 為中點節圓直徑； m_mt 為中點端面模數； m_et 為錐齒輪大端端面模數； b 為錐齒輪齒寬。

齒根彎曲應力計算中的參數含義及取值如表1所示，其中數值為一般工況參考數據。

2種計算式相同點： ① 均采用使用系數 K_a 、動載系數 K_v 來描述具體使用環境對齒根彎曲應力的影響； ② 采用齒向載荷分配系數 K_Fβ 和端面載荷分配系數 K_Fα 來評價載荷在齒向和齒間分配不均的問題。

其不同點是采用的計算基準參數不同：B1方法彎曲應力計算式[式（4）]中，使用的 等參數均為錐齒輪齒寬中點對應的當量圓柱齒輪參數；而在B2方法彎曲應力計算式[式（6]中 b，m_et 等為弧齒錐齒輪大端相關參數。

1.3許用彎曲應力計算方法比較

B1方法許用應力的計算式為

安全系數為

B2方法的計算式為

安全系數為

式中， σ_FP-B1 為B1法錐齒輪許用彎曲應力值; σ_F，lim 為測試齒輪的名義彎曲應力值； σ_F-B1 為B1法錐齒輪計算彎曲應力值; S_F，min 為錐齒輪最小安全系數； σ_FP-B2 為B2法錐齒輪許用彎曲應力值； σ_F?B2 為B2法錐齒輪計算彎曲應力值。

B1方法、B2方法許用彎曲應力計算雖然采用了相同類型的修正系數，如相對圓角敏感系數 Y_d，relt ；標準試驗齒輪應力修正系數 Y_sr ；相對表面狀況系數 Y_R，relt 等，但其中相對表面狀況系數 Y_R，relt， 相對圓角敏感系數 Y_8，relt 的取值不同，具體如表2所示。顯然，B1方法取值更全面地考慮了材料的類型。

B1和B2方法對齒輪強度評價上，兩者均通過比較計算安全系數與最小安全系數來評價錐齒輪的彎曲強度。計算安全系數由計算許用應力值和計算彎曲應力值的比值確定。ISO標準關于彎曲強度的最小安全系數，對于弧齒錐齒輪包括準雙曲面齒輪， S_F，min? 1.3；對于直錐齒輪或螺旋角 β_?m?5^° 的弧齒錐齒輪，S_F，min?1.5_c 。

2 修正系數比較

2.1 載荷系數對比

在B1和B2方法中，關于載荷系數，均采用相同的修正系數，如使用系數 K_a 動載系數 K_v 彎曲應力的齒面載荷分配系數 K_Fβ 、彎曲應力的端面載荷分配系數 K_Fα 。

2.2 幾何參數對比

通過對比2種方法使用的幾何參數可知，B1方法在幾何系數方面考慮得更加全面，采用了更多的幾何系數來計算齒輪的幾何形狀對齒根彎曲應力的影響，如載荷分配系數 Y_LS 、齒形系數 Y_Fα 、重合度系數 Y_ε 斜面螺旋角系數 Y_BS 、應力修正系數 Y_sα 等，且均為齒根彎曲應力線性因子；而B2方法僅采用了幾何系數 Y_J 作為除數因子，同時利用齒根彎曲應力調整系數 Y_A 來計算齒輪幾何形狀對齒根彎曲應力的影響。

幾何系數 Y_J 綜合考慮了齒形、最大破壞載荷作用的位置、在齒長方向修形之后的有效齒寬以及相鄰齒之間的載荷分配等因素對齒根彎曲應力的影響。

3彎曲強度計算結果對比

以表3所示的弧齒錐齒輪為例，選取200、300、400N?m3 種負載進行計算。

各組齒輪在3種負載下的齒根彎曲應力計算值如表4所示，對應負載下的安全系數如表5所示（以試驗齒輪材料為例）。計算結果統一保留兩位小數。

由表4、表5可知：

1）B1方法中使用了齒形系數 Y_Fα 應力修正系數Y_Sα 等系數，而B2方法計算結果僅受齒形系數 Y_J 影響較大，且二者成負相關；導致由B1方法計算得到的齒根彎曲應力略小于B2方法，約為B2方法計算結果的95.5% 。

2）ISO標準齒根彎曲應力忽略了載荷作用的非線性因素，導致計算結果與轉矩成線性關系，因此對非額定工況評價合理性存在疑問。

3）小輪齒根彎曲應力大于大輪。一方面是由于弧齒錐齒輪副大輪和小輪工作面不同，大輪工作面為輪齒凸面，而小輪工作面為輪齒凹面，小輪工作面齒根圓角相對于大輪要小一些，小輪齒根更易出現應力集中；另一方面隨著齒數減少，齒根危險截面厚度減小，齒根彎曲應力趨于增大。這在強度平衡設計中必須注意。

4）在相同工況下，由B1方法計算得到的安全系數大于B2方法；2種方法計算得到的小輪安全系數均小于對應的大輪安全系數。

4有限元齒根彎曲應力分析

4.1靜力學仿真計算流程

4.1.1 生成三維模型

由樣本弧齒錐齒輪副的幾何與加工參數計算得到的齒面數據生成全齒三維模型[]，并進行裝配，如圖1所示。通過模擬滾檢，觀察齒面瞬時接觸區是否規范。

4.1.2設置齒輪材料并建立接觸

將三維模型導入AnsysWorkBench軟件中，并按照實際齒輪材料20CrNiMo相關屬性[18]為齒輪副定義材料；將兩齒輪間的接觸設置為有摩擦，將小輪全部齒面設置為接觸面，大輪全部齒面設置為目標面，摩擦因數設置為0.03；并為兩齒輪分別添加旋轉副。

4.1.3 網格劃分

為更好地劃分網格，將齒輪模型進行切齒，網格類型設置為以六面體網格為主，整體網格尺寸設置為1mm ；并在相應齒根處進行加密，加密處網格尺寸設置為 0.1mm ，切齒及網格劃分結果如圖2所示[19-20]。

4.1.4 工況設置

工況按照表4中的參數設置，分別在主動輪和從動輪上建立旋轉副，將小輪旋轉副位移情況設置為轉角 180^° ;在大輪上分別施加負載 200，300，400N?m， 0

4.1.5 靜力學仿真

在“分析設置”中分別打開弱彈簧和大變形開關，并將“分析步”的定義依據設置為子步，初始子步數設置為1000步，最大子步數設置為2000步；分析時間為 60s 。設置完成后進行靜力學仿真。

4.2靜力學仿真結果

將齒輪副有限元應力分析結果導出，并將應力數據導入Matlab軟件中進行處理，分別得到大輪和小輪在3種工況下1、3、4號齒的齒根彎曲應力變化歷程，如圖3、圖4所示。3個齒的應力曲線呈現出類似的變化過程，但峰值略有差異。

4.2.1 大輪計算結果

提取大輪齒根彎曲應力，利用Matlab軟件對數據進行處理，并繪制如圖3所示3種負載下大輪齒根彎曲應力圖。

由圖3可知，1、3、4號齒齒根彎曲應力呈現出雙峰特征，主峰在前、小峰在后。其中，第1個峰值是輪齒進入嚙合時齒根受到拉應力的作用，第2個峰值是由于后齒逐漸進人嚙合，前齒齒根受到壓應力所致，這兩個應力峰值是\"拉-壓\"應力綜合作用的結果。由于AnsysWorkBench軟件中導出的等效應力只考慮大小，不考慮方向，所以圖像呈現雙正應力峰值。由于大輪承載面為凸面，所以提取第1個峰值應力數值。

大輪的齒根彎曲應力具體數據如表6所示。大輪齒根彎曲應力隨負載增大而增大，但兩者之間不存在固定的數量關系。

4.2.2小輪計算結果

對小輪所受應力進行提取，在Matlab軟件中處理后得到3種負載下小輪齒根彎曲應力曲線，如圖4所示。

由圖4可知，小輪齒根彎曲應力小峰在前、主峰在后，雙峰特征與大輪相比更加明顯。小輪應提取第2個峰值應力數值。

結合圖4可得小輪齒根彎曲應力如表7所示。與大輪齒根彎曲應力的變化趨勢類似，小輪的齒根彎曲應力隨負載增大而增大，但與負載無明顯的對應關系。且在相同負載情況下，小輪的齒根彎曲應力大于大輪的齒根彎曲應力。

5結論

解析了ISO弧齒錐齒輪彎曲強度評價標準，利用有限元分析進行了驗證，得到主要結論如下：

1）B1方法和B2方法引入了不同的修正系數，各修正系數取值原則與數值不同，導致計算結果存在一些差異。B1方法相對表面狀況系數，更全面地考慮了齒輪材料性能的影響。

2）B1方法計算得到的齒根工作彎曲應力數值略小于B2方法的計算結果，平均為B2方法的 95.56% OB1方法計算結果與有限元計算結果更接近，幾種負載情況下差值均在 6% 以內。

3）在計算原理上，有限元分析充分考慮了前后齒對當前齒載荷分擔的綜合作用，齒根彎曲應力計算結果與工作載荷成非線性關系；而ISO標準忽略前后齒對當前齒應力的綜合作用，僅考慮了滿載時的載荷分擔，齒根彎曲應力與工作載荷成線性關系。因此，ISO標準僅適用于額定的滿載工況。

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Abstract：The calculationofbending strength for spiral bevel gears is complex，making accurate evaluation extremely chalenging.Focusingonthetwodistinctcalculationmethods，BlandB2，asoutlined intheISOO30standard，thisstudy begins with the computational principlesof both appoaches.Itcompares theselection methodsandnumerical aplication principles for parameters involved incalculatingroot bending stressandallowable bendingstressunder both methods.The influenceofparameter valuesonrootbending stress calculations isanalyzed for each method.Throughcomputations on multipledesignsamples，therootbending stressvaluesderived fromboth methodsarecompared.Finite elementanalysis is employedtovalidatethecomputationalresults.The findings indicate thatduetodiferences inthetypesandvaluesof correctioncoeffcientsused，therearecertaindiscrepanciesinthebending strength evaluationresultsobtainedbythetwo methods.Method B1yields a more conservative evaluationof root bending strength，withroot bending stressapproximately 5% lower than thatcalculated by MethodB2.Although the ISOcalculation standard acounts for load sharing among multiple teeth，itoverlooksthecombinedeffectsonrootbendingstres，leadingtodeviationsfromfiniteelementanalysisresults. Method B1 shows closer agreement with finite element results，with an error margin of about 6%

Keywords：Spiral bevel gear; ISO calculation standard;Root bending stress; Finite element analysis Corresponding author：FENG Shaokun，E-mail： shaokun_feng@163.com Fund：National Natural Science Foundation of China （51875174）;Henan Provincial Graduate Education Reform and Quality Improvement Project （YJS2022JD12） Received： 2023-11-15 Revised：2023-12-04