直齒錐齒輪齒面建模及強度對比研究

中圖分類號：TH132 DOI：10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.005

0 引言

直齒錐齒輪被廣泛應用于相交軸之間的動力傳遞，如航空、航天、汽車等精密傳動中。現有的直齒錐齒輪齒面主要有球面漸開線和8字嚙合漸開線，均可由冠狀產形輪展成，區別在于產形輪的齒面，前者是球面漸開線，后者是平面。因此，平面冠狀產形輪所展成的8字嚙合錐齒輪具有加工刀具廓形簡單、刃磨容易、精度高等優點，有利于提高加工效率、降低加工成本。FIGLIOLINI等[1-2提出了一種適用于球面漸開線和8字嚙合漸開線的公式及實現算法，并將Camus定理應用于空間相交軸的8字嚙合錐齒輪上。FUENTES-AZNAR等研究了由冠狀產形輪展成的球面漸開線和8字嚙合漸開線錐齒輪的數學模型和計算機建模。PARK等4闡述了球面漸開線齒輪的幾何特征和運動特性，推導了一種球面漸開線函數來有效表示齒廓，并利用嚙合方程開發了一種通用的基本齒條來生成球面漸開線齒輪。LIGATA等[5]給出了鍛造球面漸開線直齒錐齒輪中的實際應用，并對修形齒面的齒面印痕進行了預測和驗證。GARCIA-GARCIA等提出了一種漸開線錐齒輪的幾何設計和快速制造方法。FIGLIOLINI等提出了Ca-mus定理在直齒和斜齒輪齒接觸輪廓綜合中的應用，采用平面或相應的球面對數螺線作為輔助中心線，可獲得漸開線直齒和錐齒輪的輪廓。丁撼等8利用球面漸開線齒面形成理論，快速精確地求解邊界曲線和齒廓曲線族，并結合3次NURBS曲線曲面造型技術在CAD/CAM中的優勢，完成球面漸開線齒面的精確擬合。CHANG等9-通過分析雙刨刀的創成加工原理，建立了8字嚙合齒廓的直齒錐齒輪數學模型。程會民等推導了圓錐齒輪的漸開線齒面方程，解決了齒面方程計算過程煩瑣的問題。張展[2詳細闡述了8字嚙合錐齒輪傳動的齒面創成原理，并進行了詳細的計算推導。林菁[13通過計算直齒錐齒輪的法線長度及曲面法矢的方向角，得到了齒面的曲線等式，提出了一種直齒錐齒輪齒面設計的新方法。

綜上所述，現有的研究多集中在齒面方程和齒面建模上，對齒根過渡曲面及強度進行對比分析的較少。本文推導了球面漸開線和8字嚙合錐齒輪的工作齒面模型，借助Hermite插值法獲得兩者的齒根過渡曲面；通過齒面接觸分析、Ease-off法和有限元分析，對比了兩種錐齒輪的齒面印痕、齒面偏差、齒根彎曲應力和齒面接觸應力，為直齒錐齒輪設計提供指導。

1球面漸開線數學模型

1. 1 球面漸開線

將平面漸開線在三維空間中進行延伸拓展就得到球面漸開線。圖1為球面漸開線輪廓的形成示意圖。圖1中，坐標系 S₀ 位于圓平面 π 中，圓心 O₀ 與圓C 圓心及球心重合，在圓 C 上取一點 P ， z₀ 過點 P ， y₀ 垂直于圓平面 π ， x₀ 垂直于平面 坐標系 S₃ 定義在基錐上， z₃ 與基錐軸線重合， y₃ 是 在垂直于 z₃ 并經過 O₃ 平面上的投影， x₃ 垂直于平面 y₃O₃z₃ 。坐標系 S_ν 用于定義圓平面 π 的滾動角 φ ，坐標系 S₂ 定義了基錐角 γ_b ，兩者均為輔助坐標系。當圓平面 π 繞基錐做純滾動時， P 點的運動軌跡即為球面漸開線，則有φ=sinγ_bψ 。式中， ψ 為漸開線的滾動角。

在 S₀ 坐標系中， P 點的位置矢量表示為 r₀^（P）=[0 0 r₀ 1J^r ，經過從 S₀ 到 S₃ 的坐標變換后，得到的球面漸開線的位置矢量為

r₃^（P）（ψ，φ）=M₃₂（ψ）M₂₁M₁₀（φ）r₀^（P）

式中，矩陣 M₃₂ 、 M₂₁ 和 M₁₀ 分別為從 S_ν2 到 S₃， S_ν 到 S₂ 和 S₀ 到 S₁ 的齊次變換矩陣。同理，可求得另一側齒面的表達式。在坐標系 S₀ 中，點 P 的單位法向量和單位切向量分別為 n₀=[1 0OJT和 t₀=[0 1 0]^r ，其在基錐坐標系 S₃ 中的表示分別為

n₃^（P）（ψ，φ）=L₃₂（ψ）L₂₁L₁₀（φ）n₀^（P）

t₃^?（P）（ψ，φ）=L₃₂（ψ）L₂₁L₁₀（φ）t₀^?（P）

式中，矩陣 L 為矩陣 M 消除最后一行和最后一列的3×3 的子矩陣。

1. 2 齒根過渡曲面

完整的齒面包括工作齒面和過渡曲面，球面漸開線錐齒輪的過渡曲面無法用上述方法求得。本文采用Hermite插值法近似構建齒根過渡曲面。Hermite曲線由工作齒面 P₀ 和齒根面 P₁ 以及對應的切向矢量T₀ 和 T₁ 定義，如圖2所示。

Hermite曲線的函數為

r（t）=（2t³-3t²+1）P₀+（-2t³+3t²）P₁+

式中， χ_t 為Hermite曲線參數； s 為節錐頂點到齒根的距離； A₀ 為外錐距離； 分別為 T₀ 和 T_?1 的設計值，該值越大表示該點對曲線拉得越緊，越小表示拉得越松。

2平面冠狀產形輪創成8字嚙合錐齒輪齒面

2.1冠狀產形輪參數

冠狀產形輪是一種節錐角為 90^° 的特殊錐齒輪。將冠狀產形輪作為假想刀具創成直齒錐齒輪齒面時，其原理類似于齒條和圓柱齒輪的嚙合。圖3為冠狀產形輪創成直齒錐齒輪的示意圖。其中，冠狀產形輪和直齒錐齒輪之間的軸交角 Σ=90^°+γ₁ ， γ_?1 為被加工齒輪的節錐角。冠狀產形輪齒數 N_eg=N₁/sinγ₁ ， N_?1 為小輪齒數。

冠狀產形輪基錐角 γ_b=90^°-α 。其中， α 為齒輪副的壓力角。如圖4所示，圓錐或平面上的輪齒齒厚t_p=180^°/N_eg^°

冠狀產形輪的方位角和節錐極角分別為

式中， γ_p 為齒輪副的節錐角。

2.2 齒面創成

在圓 c 附近，球面漸開線齒廓和平面輪廓非常接近。用球面漸開線冠狀產形輪展成球面漸開線直齒錐齒輪，而用平面冠狀產形輪展成8字嚙合錐齒輪。圖5所示為生成8字嚙合錐齒輪的冠狀產形輪坐標系。在球面外圓上過坐標軸 z₀ 取一點 P ，坐標軸 x₀ 垂直于創成面，在 S₀ 中 P 點的位矢已知，將 P 點的位矢從坐標系 S₀ 變換到坐標系 S₃ 中，求得的8字嚙合錐齒輪的冠狀產形輪齒面為

r₃^（P）（ρ，φ）=M₃₂^′M₂₁^′M₁₀^′（φ）r₀^（P）（ρ）

冠狀產形輪的齒面表示為

r_eg（ρ，φ）=M₄₃^（rs）M₃₂M₂₁M₁₀（φ）r₀^（P）（ρ）

化簡后，創成8字嚙合錐齒輪的冠狀產形輪齒面的表達式為

式中，正、負號分別對應冠狀產形輪的左、右齒面；φ 為冠狀產形輪的角度參數。

圖6所示為用冠狀產形輪創成直齒錐齒輪的坐標系。坐標系 S_cg 和 S_i 分別為冠狀產形輪的動坐標系和被加工的錐齒輪的動坐標系，坐標系 S_j?j S_k 和 S_ι 均為輔助坐標系， γ_i 為被加工齒輪的節錐角。

在坐標系 S_i 中，直齒錐齒輪齒面為冠狀產形輪齒面族的包絡線，則小輪 （i=1） 和大輪 （i=2 的工作齒面方程為

r_i（ρ，φ，ψ_i）=M_il（ψ_i）M_lkM_kjM_jcg[ψ_cg（ψ_i）]r_cg（ρ，φ） （9）式中， ψ_cg 和 ψ_i 分別為冠狀產形輪和被加工錐齒輪的旋轉角，并且 ψ_cg（ψ_i）=N_i/N_cg ， N_i 為被加工齒輪齒數。嚙合方程為

同理，可用Hermite插值方法生成8字嚙合直齒錐齒輪的過渡曲面模型。

3算例

表1所示為直齒錐齒輪副的基本參數。根據球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪齒面的位矢差向球面漸開線錐齒輪的法矢投影，獲得齒面偏差圖，如圖7所示。在齒頂處，齒面偏差在 -3.5μm 到-1. 3μm 的范圍內；在齒根處，齒面偏差在 +2.8μm 到 +7.6μm 的范圍內；正（負）號表示8字嚙合錐齒輪位于球面漸開線錐齒輪的內（外）部。由圖7可知，8字嚙合錐齒輪的齒根處齒厚更大，能夠提高輪齒的彎曲強度。兩種錐齒輪其他部位的齒廓形狀非常接近。因此，用8字嚙合錐齒輪替代球面漸開線錐齒輪是可行的。

圖8為兩種錐齒輪最大齒面偏差隨模數和壓力角變化的曲線圖。由圖8可知，球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪間的最大齒面偏差隨著模數和壓力角的增大而增大，并且成線性關系。

本文根據SHEVELEVA等4的方法分析兩種齒輪副的齒面印痕。圖9所示為兩種錐齒輪副的齒面接觸分析結果。由圖9可知，兩種齒輪副均為線接觸且幾乎覆蓋整個工作齒面。另外，兩者的幾何傳動誤差都接近于0，未在文中列出。

圖10所示為借助有限元分析軟件Abaqus建立的直齒錐齒輪副分析模型。定義大、小輪彈性模量 E=2.06×10⁵MPa ；泊松比 μ=0.3 ；密度為 7.8× 10^-6kg/mm³ 。將大、小輪5對連續工作面分別設置為接觸對，小輪（主動輪）的凹面為主面，大輪（從動輪）的凸面為從面。采用罰函數接觸，計算方法采用Kinematic接觸。取大、小錐齒輪軸線上任一點為參考點，在輪齒內圈和兩端剖面建立耦合約束。采用靜力學分析算法，設置多個分析步，設置嚙合力、接觸應力、位移等場變量為輸出量。編寫.inp文件并進行計算，提取數據文件，獲得齒根彎曲應力曲線和齒面接觸應力曲線。

圖11為8字嚙合錐齒輪齒根最大彎曲應力隨切向量參數值 t₀ 和 t₁ 變化圖。由圖11可知，齒根最大彎曲應力隨著切向量參數 t₀ 和 t₁ 的增大而增大。

圖12和圖13分別為小輪輸入轉矩為800、1000、1200、 1400N?m 時，球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪的齒面接觸應力和齒根彎曲應力的比較圖。由于兩種直齒錐齒輪的過渡曲面插值時采用了相同的設計參數 t₀ 和 t₁ ，因此，具有可比性。隨著輸入轉矩的增大，8字嚙合錐齒輪的小輪齒面接觸應力和齒根彎曲應力的值始終低于球面漸開線錐齒輪。小輪輸入轉矩為 1200N?m 時，球面漸開線錐齒輪發生了明顯的邊緣接觸，齒面接觸應力的最大值急劇突變，而8字嚙合錐齒輪由于齒頂處的齒厚減薄，起到修形的作用，未發生邊緣接觸。當小輪輸入轉矩為 1400N?m 時，8字嚙合錐齒輪也發生了邊緣接觸。

圖14為小輪輸入轉矩為 1400N?m 時，球面漸開線錐齒輪和8字嚙合錐齒輪的應力云圖。可以明顯地看到，兩種錐齒輪都發生邊緣接觸。綜上所述，當齒輪副參數和輸入轉矩相同時，8字嚙合錐齒輪具有更好的輪齒強度性能。

4結論

1）根據漸開線展成原理，推導球面漸開線方程，建立工作齒面的數學模型；采用Hermite插值法建立了齒根過渡曲面的數學模型，其權值越大，齒根過渡曲面越彎曲。2）利用坐標變換和嚙合方程建立了冠狀產形輪的齒面模型，用平面冠狀產形輪代替空間冠狀產形輪，所獲得的8字嚙合錐齒輪與球面漸開線錐齒輪存在偏差，偏差值隨著壓力角和模數的增大而增大。3）8字嚙合直齒錐齒輪的齒根齒厚比球面漸開線錐齒輪有所增加，齒根彎曲強度提高了 6.24% 齒頂處有減薄效果，能夠有效地避免齒輪副齒頂邊緣接觸的過早發生。

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Comparative study on tooth surface model and strength of straight bevel gears

SU Jinzhan CAO Xinlong LIU Bin SUN Linlin GUO Fang （Key Laboratory of Road Construction Technology and Equipmentof MOE，Chang'an University， Xi'an 710064，China）

Abstract：Objective]Inordertoverifytheadvantagesoftheoctoidalbevelgear inprocessingandmeshing performance， it wascompared withthespherical involute bevel gear.[Methods]Firstly，withthehelpofthespatial involutegenerationtheory andcoordinatetransformation，thetooth surfaceequationofthespherical involute bevelgearwasestablished，andthetooth surfacemodeloftheoctoidalbevelgearwasdevelopedbythecrown-gear.Secondlyacordingtotheconditionofcontinous tangencybetween thefiletsurfaceandboth theworkingtoothsurfaceandthetoothootsurface，the Hermite interpolation was usedto interpolate thetooth filetsurface.Finallythetooth surface deviation，toothsurface patterns andtoth strengthof two kindsofbevelgears wereanalyzedbyEase-offmethod，toothsurfacecontactanalysisandfiniteelementmethod.Results]The results oftheexample showthatthe working toth surface oftheoctoidalbevel gear processd bythe crown-gearis basically closetothe working toothsurfaceofte sphericalinvolutegear，butitbecomes thickernear thetooth filetandthinnernearthe tooth toe，the variationisapproximatelylinear withthemodulusand pressre angle，andbothofthemare linecontactforms.The finite element calculation results show that the bending strength of the tooth fillet is increased by 6.24% .Under light load，the edge contact of tooth toe is avoided.

KeyWords：Straight bevel gear; Octoidal meshing;Spherical involute; Bending stress; Contact stres：