高重合度直齒圓柱齒輪傳動系統耦合動態特性研究

中圖分類號：TH132.41 DOI： 10.16578/j.issn.1004.2539.2025.07.001

0 引言

隨著齒輪傳動系統朝著高速重載、低振動、低噪聲方向的發展，對齒輪的承載能力和動力學性能提出了更高的要求。因此，提升齒輪傳動系統承載能力、減小系統振動噪聲的問題亟待解決。高重合度（HighContactRatio，HCR）齒輪一般是指重合度大于2的直齒圓柱齒輪[]。相較于普通重合度齒輪，HCR齒輪重合度更高，傳動過程中的載荷由更多輪齒共同承擔，能有效地提升齒輪系統承載能力及傳動平穩性。

HUANG等考慮時變嚙合剛度、傳遞誤差、齒側間隙、軸承間隙對HCR齒輪系統的影響，采用集中質量法，建立了多間隙的HCR齒輪非線性動力學模型，得到了齒側間隙、傳遞誤差等因素對HCR齒輪系統動態特性的影響規律。LIN等3建立了4自由度齒輪系統動力學模型，在考慮轉速的情況下，分析了齒輪重合度對齒輪系統動載荷系數的影響規律。KARPAT等從HCR齒輪時變嚙合剛度入手，通過有限元計算得到HCR嚙合剛度，建立了2自由度齒輪系統的動力學模型，研究了HCR齒輪系統的動載特性。CHENG等建立了考慮齒面缺陷的HCR齒輪-軸承系統動力學模型，研究了HCR齒輪-軸承系統的動態特性及齒面脫落故障特征。CORNELL等將HCR齒輪作為剛性慣量，考慮輪齒剛度、齒面誤差和齒輪修形的影響，分析了HCR齒輪系統的動態響應。渠珍珍同時考慮齒輪副時變嚙合剛度和綜合嚙合誤差的影響，通過集中質量法，建立了HCR行星輪系動力學模型，對比分析了HCR行星輪系與普通重合度行星輪系的動態特性。李發家等考慮軸承間隙、齒側間隙，建立了6自由度HCR齒輪系統動力學模型，開展了對HCR齒輪系統分岔、跳躍等動力學特性的研究。李同杰等建立了HCR齒輪轉子-滾動軸承的非線性動力學模型，得到了HCR齒輪系統振動穩定性與系統參數的變化規律。章翔峰等采用有限元法計算了HCR齒輪時變嚙合剛度，并通過Newmark- -β 時間積分法計算了系統動態特性。

綜上，目前關于HCR齒輪系統的研究主要關注齒側間隙、嚙合剛度、嚙合誤差等內部激勵對其動態特性的影響，綜合考慮軸系等構件柔性與系統轉速等多重激勵耦合作用下HCR齒輪系統動態特性的變化規律尚不明晰。因此，探明不同轉速條件下HCR齒輪系統耦合動態特性的演變規律，對HCR齒輪系統的正向設計，以及確保其安全、可靠運行具有重要意義。本文基于勢能法，建立HCR齒輪時變嚙合剛度模型，對比分析了HCR齒輪與普通重合度齒輪時變嚙合剛度及其波動；在此基礎上，考慮軸段等構件的柔性，建立包括軸段、齒輪副、軸承等在內的HCR齒輪系統耦合動力學模型，對比了不同轉速條件下HCR齒輪系統與普通重合度齒輪系統的動態特性。

1HCR直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度計算模型

1.1HCR直齒圓柱齒輪單齒剛度計算模型

基于勢能法原理，將直齒圓柱齒輪輪齒等效為懸臂梁，如圖1所示。圖1中， R_int 為齒輪軸孔半徑。齒輪傳動過程中，受法向載荷 F 的影響，輪齒沿載荷線方向發生變形，將此變形等效為沿嚙合線方向的彈簧變形。根據彈性勢能推導，可得到齒輪輪齒局部赫茲接觸剛度 K_h 、彎曲剛度 K_b 、剪切剛度 K_s 壓縮剛度 K_a^[11] 。

赫茲接觸剛度 K_h 為

式中， σ_v 為泊松比； E 為彈性模量； b 為齒寬。

彎曲剛度 K_b 為

式中， α₁ 為輪齒所受法向載荷與齒厚方向的夾角； I_x 為截面積慣性矩； h 為法向載荷作用點齒厚的一半；s 為法向載荷作用點沿齒高方向到齒根圓的距離；dx為沿齒高方向上的截面微元長度； x 為法向載荷作用點到截面微元的距離。

剪切剛度 K_s 為

式中， G 為剪切模量； A_x 為積分截面積。

壓縮剛度 K_a 為

另外，在法向載荷 F 的作用下，齒輪輪體同樣會發生相應的形變，其等效剛度 K_f 可表示為

式中， δ_f 為齒輪輪體受載產生的變形量[12]。

由各等效剛度，可求得直齒圓柱齒輪單齒嚙合剛度為

式中，下標1、2分別代表主動輪、從動輪。

1.2HCR直齒圓柱齒輪綜合嚙合剛度計算模型

齒輪傳動是通過輪齒交替嚙合來實現的。對于普通重合度齒輪，在整個齒輪嚙合過程中，至少有一對齒、至多有兩對齒在嚙合線上進行嚙合傳動，如圖2所示。對于HCR齒輪，由于重合度在2＼～3，整個嚙合過程是在兩對齒嚙合和3對齒嚙合之間交替進行的，所以，至少有兩對齒、最多有3對齒在嚙合線上進行嚙合傳動，如圖3所示。

假設將單對輪齒間的嚙合剛度等效為串聯彈簧的剛度，將多對輪齒間嚙合剛度等效為并聯彈簧的剛度，最后通過疊加計算，便可得到齒輪副綜合嚙合剛度。普通重合度齒輪和HCR齒輪的時變嚙合剛度疊加過程分別如圖4和圖5所示。圖中， ε 為齒輪副重合度； p_b 為齒輪副基圓齒距。

基于HCR齒輪時變嚙合剛度計算模型，分別計算表1所示兩組齒輪時變嚙合剛度，計算結果如表2所示。對比分析了兩組齒輪時變嚙合剛度及其波動的變化規律，結果分別如圖6和圖7所示。

結果表明，HCR齒輪的單齒嚙合剛度均明顯低于普通重合度齒輪。與普通重合度齒輪相比，HCR齒輪綜合嚙合剛度最大值、最小值及平均值分別提升了約 24.0% 、 59.08% 和 23.56% ；此外，與普通重合度齒輪相比，HCR齒輪綜合嚙合剛度峰峰值和剛度波動分別下降了約21. 44% 和 13.6% 。

2直齒圓柱齒輪系統動力學模型

圖8所示為直齒圓柱齒輪系統三維模型。直齒圓柱齒輪系統主要包含主動輪、從動輪、輸入軸、輸出軸及軸承等部分。

圖9所示為直齒圓柱齒輪系統有限單元模型，其主要包含以下3類基本單元：

1.軸段單元。該單元包含的實際軸段有輸入軸、輸出軸。

2.直齒圓柱齒輪嚙合單元。該單元指齒輪副嚙合關系的等效單元。

3.軸承單元。該單元指所有軸段、軸承之間具有耦合關系的等效單元。

2.1軸段單元動力學模型

考慮直齒圓柱齒輪系統中軸段剪切變形的影響，采用Timoshenko梁單元構建軸段單元動力學模型（圖10）。軸段單元沿軸線方向，在兩軸端離散為j和j + 1兩個節點，每個節點均具有 x 軸、 y 軸、z軸的平移位移以及繞 x 軸、 y 軸、 z 軸的旋轉角位移等6個自由度。

兩節點軸段單元在空間直角坐標系 x-y-z 下的位移為

Timoshenko梁單元的一致質量矩陣為

M_s=ρAa[m_s1m_s2]

式中， ρ 為軸段材料密度； A 為軸段橫截面積； α_a 為軸段長度； m_sl 、 m_s2 、 m_s3 和 m_s4 的具體表現形式見文獻[13]。

式中， x_j，y_j，z_j 和 x_j+1，y_j+1，z_j+ z_j+1 分別為節點 j 和節點j+1 在空間直角坐標系 x-y-z 3 個方向的平移位移；θ_xj 、 θ_yj 、 θ_zj 和 （204號 θ_zj+1 分別為節點 j 和節點 j+1 在空間直角坐標系 x-y-z3 個方向的旋轉角位移。

軸段單元的剛度矩陣為

式中， k_s1 、 k_s2 、 k_s3 和 k_s4 的具體表現形式見文獻[14]。軸段單元的阻尼矩陣可通過瑞利阻尼計算得到，其計算式為

C_s=pM_s+qK_s

式中， 分別為瑞利阻尼中的質量比例系數和剛度比例系數，其計算式分別為

式中， ζ₁ 和 S₂ 均為阻尼系數； ω₁ 和 ω₂ 為系統前兩階固有頻率。

結合式（7）＼～式（11），可得到任意軸段單元動力學模型，即

2.2嚙合單元動力學模型

直齒輪嚙合單元動力學模型如圖11所示。其中，α 為齒輪壓力角； γ 為主動輪與從動輪中心連線矢量與空間直角坐標系 x 軸正方向的夾角； φ 為安裝相位角； r₁ 和 r₂ 分別為主動輪和從動輪的基圓半徑。

在空間直角坐標系 x-y-z 中，齒輪嚙合單元的位移列向量 X_G^[15] 為

X_G=[x₁，y₁，z₁，θ_x1，θ_y1，θ_z1，x₂，y₂，z₂，θ_x2，θ_y2，θ_z2]

將每個齒輪的平移位移沿嚙合線方向投影，可得到直齒輪副相對總變形量δ，即

δ=V_cX_c

式中， V_G 為直齒輪副的嚙合矩陣，即

式中，“ + ”表示主動輪逆時針旋轉，安裝相位角 φ= （204 α-γ ；“-”表示主動輪順時針旋轉，安裝相位角φ=α+γ

根據牛頓第二定律，嚙合單元的運動微分方程為

式中， 分別為主、從動輪的質量； I_x1 、 I_y1 、 I_z1 分別為主動輪繞空間直角坐標系 x 、 y 、 z 三個軸的轉動慣量； I_x2 、 I_y2 、 I_z2 分別為從動輪繞空間直角坐標系 1 z 三個軸的轉動慣量； 1 分別為主、從動輪旋轉的角速度； f_s 為齒輪副法向力； k_m 為齒輪副嚙合剛度； c_m 為齒輪副嚙合阻尼。

結合式（13）＼～式（16），直齒輪嚙合單元動力學模型的矩陣形式為

式中， K_G 、 C_G 和 M_G 分別為齒輪嚙合單元的剛度矩陣、阻尼矩陣和質量矩陣，具體表現形式見文獻[17]。其中，HCR齒輪系統剛度可由第1.2節中HCR直齒圓柱齒輪時變嚙合剛度計算模型計算得到。 F_G 為齒輪嚙合單元外部激勵力列向量，即

F_c=[0，0，0，T₁，0，0，0，T₂]^T

式中， T_?1 為齒輪轉子系統輸入轉矩； T₂ 為齒輪轉子系統輸出轉矩。

2.3軸承單元動力學模型

齒輪傳動系統中，齒輪轉子系統與箱體通過軸承耦合在一起。將軸承等效為具有剛度-阻尼的彈簧單元，其等效動力學模型如圖12所示。

圖12中， K_B 和 C_B 分別為軸承支撐節點 k 的剛度矩陣和阻尼矩陣。阻尼矩陣與剛度矩陣具有相同的結構形式。 K_B 的表達式為

式中， k_xx 、 k_yy 分別為空間直角坐標系 x 方向和 y 方向的徑向剛度； k_zz 為空間直角坐標系 z 方向的軸向剛度； k_θxθx，k_θyθy 分別為空間直角坐標系 x 方向和 y 方向的扭轉剛度。

為了簡化計算，假定直齒圓柱齒輪系統中軸承支承剛度為定剛度。根據牛頓-歐拉法，軸承單元的動力學模型為

式中， M_B ！ X_B 分別為節點 n 的質量矩陣和位移矩陣。

2.4齒輪系統耦合動力學模型

圖13為直齒圓柱齒輪系統動力學模型和節點分布圖。依據直齒圓柱齒輪系統各構件間裝配關系及裝配順序，按圖14所示規則將軸段單元、齒輪嚙合單元及軸承單元等基本單元進行組裝，得到的系統整體的動力學方程18]為

式中， F（t） 為系統外部激振力； M 、 X（t） 、 c 和 K 分別為齒輪系統整體的質量矩陣、位移矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

3HCR齒輪系統動態特性分析

3.1不同轉速條件下系統的動態嚙合力

在轉速從 1000～15000r/min 變化的過程中，HCR齒輪系統與普通重合度齒輪系統的動態嚙合力有效值（RootMeanSquare，RMS）及峰峰值如圖15所示。

由圖15可知，在不同轉速下，HCR齒輪系統嚙合力RMS值及峰峰值均較普通重合度齒輪有顯著下降。在 3000r/min 時，HCR齒輪系統嚙合力RMS值及峰峰值下降幅度最大，分別為 20.39% 和75. 61% 。

3.2不同轉速條件下系統的振動加速度

在箱體上設置4個測點，均位于其對應軸承位置的箱體正上方（沿 X 方向的箱體表面），具體位置如圖16所示。

在轉速從 1000～15000r/min 變化的過程中，HCR齒輪系統與普通重合度齒輪系統4個測點處的振動加速度RMS值及峰峰值分別如圖17＼～圖24所示。

由圖17和圖18可知，對于測點1，HCR齒輪系統振動加速度較普通重合度齒輪系統振動加速度顯著下降。在 3000r/min 時，HCR齒輪系統振動加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 75.56% 和 67.14% ；在Y方向上分別下降了76. 97% 和 75.12% 。

由圖19和圖20可知，對于測點2，HCR齒輪系統振動加速度較普通重合度齒輪系統振動加速度顯著下降。在 3000r/min 時，HCR齒輪系統振動加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 76.66% 和 69.08% ；在Y方向上分別下降了78.75% 和77. 43% ○

由圖21和圖22可知，對于測點3，HCR齒輪系統振動加速度較普通重合度齒輪系統振動加速度顯著下降。在 3000r/min 時，HCR齒輪系統振動加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 80.98% 和 69.81% ；在Y方向上分別下降了76.97% 和75. 12% 。

由圖23和圖24可知，對于測點4，HCR齒輪系統振動加速度較普通重合度齒輪系統振動加速度顯著下降。在 3000r/min 時，HCR齒輪系統振動加速度RMS值及峰峰值下降幅度最大，在 X 方向上分別下降了 82.09% 和 76.45% ；在Y方向上分別下降了78.75% 和77. 43% 。

4結論

1）與普通重合度齒輪副相比，HCR齒輪副具有更高的重合度，工作過程中有更多輪齒參與嚙合傳動并共同分擔載荷。因此，HCR齒輪副擁有更小的單齒嚙合剛度和更高的綜合嚙合剛度，且嚙合剛度的波動程度更小，降低了由嚙合剛度激勵引起的系統振動。

2）與普通重合度齒輪系統相比，在不同轉速條件下，HCR齒輪系統的動態嚙合力的RMS值和峰峰值以及各測點處振動加速度的RMS值和峰峰值均顯著下降。

3）當轉速為 3000r/min 時，HCR齒輪副動態嚙合力的RMS值及其峰峰值的降幅最大，分別為20.39% 和 75.61% ；當轉速為 1000r/min 時，HCR齒輪副動態嚙合力的RMS值降幅達到最小，即 9.10% 當轉速為 5000r/min 時，HCR齒輪副動態嚙合力的峰峰值降幅達到最小，即 3.97% ○

4）當轉速為 3000r/min 和 11000r/min 時，測點4的 X 方向上振動加速度的RMS值降幅分別達到最大和最小，分別為 82.09% 和 8.91% ；當轉速為 3000r/min 時，測點2在 Y 方向上振動加速度的峰峰值降幅達到最大，即 77.43% ；當轉速為15000r/min 時，測點2在 X 方向上振動加速度的峰峰值降幅達到最小，即 5.77% 。

參考文獻

[1]潘昱，楊曼，鮑和云，等．高重合度直齒圓柱齒輪溫度場分析及試驗驗證[J].機械傳動，2024，48（7）：101-113.PANYu，YANGMan，BAO Heyun，etal.Temperature fieldanaly-sisand experimental test of spur gears with high contact degree[J].Journal ofMechanical Transmission，2024，48（7）：101-113.

[2]HUANG K，YIY，XIONGYS，etal.Nonlinear dynamics analysis of high contact ratio gears system with multiple clearances[J]. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering，2020，42（2）：98.

[3]LIN HH，WANGJF，OSWALDFB，et al.Effect of extended tooth contact on the modeling of spur gear transmissions[C]//29th Joint Propulsion Conference and Exhibit，1993：2148.

[4]KARPATF，EKWARO-OSIRE S，CAVDAR K，et al.Dynamic analysis of involute spur gears with asymmetric teeth[J].International Journalof Mechanical Sciences，2008，50（12）：1598-1610.

[5]CHENG ZB，HUANG K，XIONGY S，et al. Dynamic analysis of a high-contact-ratio spur gear system with localized spalling and experimental validation[J].Machines，2022，10（2）：154.

[6]CORNELLRW，WESTERVELTWW.Dynamic tooth loadsand stressing for highcontactratio spur gears[J]. Journal of Mechanical Design，1978，100（1）：69-76.

[7］渠珍珍．高重合度行星齒輪傳動系統設計及動力學分析[D]. 南京：南京航空航天大學，2011：38-81. QU Zhenzhen.Design and dynamics analysis of high contact ratio planetary gear transmission[D].Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2011：38-81.

[8］李發家，朱如鵬，鮑和云，等．高重合度與低重合度齒輪系統動 力學分岔特性對比分析[J].中南大學學報（自然科學版），2015， 46（2）：465-471. LI Fajia，ZHURupeng，BAO Heyun，etal.Contrastive analysisof dynamic bifurcationcharacteristics between high contact ratio and low contact ratio gearssystem[J]. Journal of Central South University（Science and Technology），2015，46（2）：465-471.

[9]李同杰，靳廣虎，朱如鵬，等．高重合度齒輪傳動系統的振動參 數穩定性[J].航空動力學報，2017，32（10）：2456-2466. LITongjie，JINGuanghu，ZHURupeng，etal.Vibrationparaeter stability of high contact ratio gear transimission system[J].Journal ofAerospace Power，2017，32（10）：2456-2466.

[10］章翔峰，尚俊，周建星，等．細高齒齒輪嚙合剛度及動態特性研 究[J].機械傳動，2023，47（8）：30-35. ZHANG Xiangfeng，SHANGJun，ZHOU Jianxing，etal.Studyon meshing stiffnessand dynamic characteristics of fine high tooth gears[J].JournalofMechanicalTransmission，2023，47（8）：30-35.

[11]CHENZG，NING JY，WANG KY，et al.An improved dynamic model of spur gear transmision considering coupling effect between gear neighboring teeth[J].Nonlinear Dynamics，2021，106 （1）：339-357.

[12］陳思宇，譚儒龍，郭曉東，等．直齒圓柱齒輪嚙合剛度計算方法 研究[J].重慶理工大學學報（自然科學），2021（1）：97-103. CHEN Siyu，TAN Rulong，GUO Xiaodong，etal.Research on calculation method of meshing stiffness of spur gears[J].Journal of Chongqing UniversityofTechnology（Natural Science），01（1）： 97-103.

「13］張春差畸亦下齒輪傳動系統動力學相似理論及預測方法

研究[D].重慶：重慶大學，2022：13-18. ZHANG Chunpeng. Research on dynamic similarity theory and perdiction method of gear transmission systemundererror distortion[D]. Chongqing：Chongqing University，2022：13-18.

[14］侯少帥．人字齒行星齒輪傳動內源激勵精細化模型與錯齒相位 調諧減振方法研究[D].重慶：重慶大學，2022：67-70. HOU Shaoshuai. Research on refined model of internal excitation ofherringbone planetary gear transmission system and the method of staggered phase tuning to reduce vibration[D]. Chongqing： ChongqingUniversity，2022：67-70.

[15]WEI J，ZHANG AQ，QIND T，et al. Acoupling dynamics analysismethod fora multistage planetary gear system[J].Mechanism andMachineTheory，2017，110：27-49.

[16］張素燕.考慮齒頂修緣的直齒輪-轉子系統非線性動力學特性 研究[D].沈陽：東北大學，2013：31-36. ZHANG Suyan.Researchonnonlineardynamiccharacteristicsof a spur gear rotor system considering tip relief[D].Shenyang： NortheasternUniversity，2013：31-36.

[17］張愛強.TBM主減速器耦合動力學特性分析的軸系單元法及其 實驗研究[D].大連：大連理工大學，2016：26-31. ZHANG Aiqiang. Shafting element method for the coupling dynamic characteristics analysis of main reducer of TBM and experimental study[D].Dalian：Dalian Universityof Technology， 2016：26-31.

[18]GONG H，SHU RZ，XIONGY，et al.Dynamic response analysis ofa motor-gear transmission system considering the rheological characteristics ofmagnetorheological fluid coupling[J].NonlinearDynamics，2023，111（15）：13781-13806.

Analysis of coupling dynamic characteristics of the high contact ratio spur gearsystem

HAN Peng1，2 CHEN Songlin3LI Fang4ZHANG Chongyang12SHU Ruizhi3WEI Jing5 （1.State Key Laboratoryof Intelligent Mining Equipment Technology，Taiyuan O3oooo，China） （2.Shanxi Taizhong Intelligent Mining Equipment Technology Co.，Ltd.，Taiyuan O3oooo，China） （3.College of Mechanical Engineering，Chongqing University ofTechnology， Chongqing 40o054， China） （4.AECC Shenyang Engine Research Institute，Shenyang 11oo15，China） e KeyLaboratoryof Mechanical Transmission forAdvanced Equipment， Chongqing University，Chongqing 4004，China

Abstract：[Objective]Thehighcontactratio（HCR）gearpairbasicalldoes notneed toincreasetheweightofthegeardevicetoachieveanincreaseincarryingcapacityandasmoothertransmisson.Therefore，theuseofHCRgears insteadofordinarygears inthetransmisionsystemwas proposedtoimprovetheloadcarryingcapacityofthegearsystemandreducethevibrationofthesystem.[Methods]Basedonthepotentialenergymethod，thetime-varying meshingstiffesscalculationmodelof HCR gear wasestablishd，andthetime-varyngmeshingstiffnessandstfessfluctuationbetweenHCRgearandordinaryontactratio gearwerecompared.Thedynamic modelofHCRgearsystem，includingshaftsegment，spurgearpairandbearing， was establishedbythefinite element method.ThedynamiccharacteristicsoftheHCRgearsystemandordinarycontactratio gearsystem werecomparedindiferent spedconditions.[Results]Theresultsshowthatcompared with theordinarycontactratiogear，teomreesiemingssofCRgeariigiantlcrasdndtsfuctatioisialy decreased.Theroot meansquareandpeak-to-peak valuesofdynamicmeshingforceand vibrationaccelerationofHCR gearsystemdecrease significantlyunder different speed conditions.

Keywords：High contact ratio;Time-varying meshing stiffness;Dynamic characteristic：