基于和聲搜索-凸優化混合算法對新型四維圓陣的優化設計與綜合

中圖分類號： TN820.1⁺5 文獻標志碼：A

Abstract：Four-dimensional （4-D） circular array with elements uniformly excited is designed and synthesized. First， by utilizing rotationally symmetric structure， the array geometry and the time modulation of the time-modulated sparse circular array is proposed. Radiation patterns in time domain and frequency domain are formulated and analyzed. Then，in order to obtain the desired radiation pattern at the operating frequency and suppress the sideband radiation，the synthesis problem is established and solved by the proposed harmony searchconvex programming algorithm. Finally， two experimental examples are presented and optimized. The numerical results indicate that the time-modulated sparse circular array with rotationally symmetric structure has the advantages of superior performance，such as low peak sidelobe level， suppressed sideband level，two-dimensional 1 in specified direction，and improved directivity.

Key words：4-D circular array; harmony search-convex programming algorithm; peak sidelobe level;1 depth；sideband level

0 引言

近年來，基于高速射頻（RadioFrequency，RF）開關的快速發展與使用，四維天線陣也稱時間調制陣列（TimeModulation Arrays，TMAs）的設計與應用引起了天線陣列研究領域學者的關注.一方面，TMA通過引入高速射頻開關，可以提高傳統天線陣的設計自由度，利用優化算法可獲得性能優越的輻射方向圖.另一方面，TMA引入的高速射頻開關可以在一定程度上替換相控陣系統中昂貴的T/R組件，快速、方便地控制各天線單元，降低陣列的成本與復雜度.基于其多諧波特性，四維天線陣在多輸人多輸出（Multiple-InputMultipleOutput，MIMO）通信[1]、到達方向（DirectionofArrival，DOA）估計[2]、多波束合成[3]（MultiBeamSynthesis，MBS）等領域獲得廣泛應用.

基于不同的孔徑和陣列幾何形狀，研究學者們分析、設計了幾類TMAs，如時間調制直線陣列（Time Modulated Linear Arrays，TMLAs）[4-8]時間調制共形陣列（TimeModulatedConformalAr-rays，TMCAs）[9，10]、時間調制同心圓陣列（TimeModulated Concentric Circular Arrays，TMC-CAs）[1l-13].在天線陣列設計與方向圖綜合中，普遍關注TMAs的峰值旁瓣電平（PeakSidelobeLev-el，PSLL）、邊帶電平（SidebandLevel，SBL）、指定方向零陷（NullDepth，ND）、零點波束寬度（FirstNullBandwidth，FNBW）以及方向性系數.

與此同時，學者們提出了各種優化方法并用于TMAs的方向圖綜合問題.Chakraborty等6研究了改進和聲搜索算法并用于TMLA方向圖綜合問題，實現了旁瓣電平和邊帶電平的優化.Zhang等[9針對TMCA提出了一種指向性最大化的凸優化方法，可用于解決陣列的筆形波束、寬波束方向圖綜合問題.Yang等[1o在人工蜂群（ArtificialBeeColony，ABC）算法和差分進化（DifferentialEvo-lution，DE）算法的基礎上，提出了人工蜂群-差分進化（ABC-DE）混合算法，這種算法可以應用于經典數學測試函數和時間調制陣列模型的方向圖綜合問題.Jiang等[12]通過優化時間調制脈沖和幅度加權，DE算法可用于圓孔徑時間調制陣列綜合.Ram等[13]提出了貓群優化（Cat SwarmOptimiza-tion，CSO）算法，利用CSO算法設計了具有均勻激勵的9環TMCCA，并降低了副瓣電平，提高了方向性系數.

和聲搜索（HarmonySearch，HS）算法作為一種有效且強大的智能算法，已成功應用于解決各種復雜的非線性優化問題[14-17].但是，天線陣的設計往往涉及眾多約束條件，如天線單元總數、陣列孔徑、相鄰兩個單元之間的最小或最大距離等，使得天線陣綜合問題成為復雜的非線性優化問題.在使用傳統HS算法進行非線性優化時，增加開關調制序列會大幅增加問題的求解復雜度，較難在限定的優化次數內找到全局最優解，完成陣列的設計與綜合.

因此，本文針對四維稀布圓陣的結構特點與設計難點，利用旋轉對稱結構，設計了單元均勻激勵的新型四維圓陣，并完成陣列的輻射方向圖綜合.首先，將射頻開關的時間序列和陣列的幾何結構進行聯合優化設計，并充分考慮、簡化優化問題中的復雜多約束條件.然后，將和聲搜索算法與凸優化方法有效結合，提出和聲搜索-凸優化（HarmonySearch-Convex Optimization，HS-CO）混合算法，具體分析四維稀布圓陣的峰值旁瓣電平、邊帶電平、指定方向零陷、零點波束寬度和方向性系數等性能參數.最后，通過兩組實驗算例，驗證本文提出的新型四維稀布圓陣的優越性.

1天線陣列模型

1.1新型稀布圓陣模型

圖1給出了新型稀布圓陣的基本結構.首先，將半徑為 R 的圓形口徑劃分為 P 個旋轉對稱的扇形區域，扇形圓心角為 Δφ=2π/P .其次，引入 Q 個圓環，將每個扇形劃分為 Q 個扇環區域，分布在每個扇環內的單元組成一個子陣.假設陣列單元總數為 N ，每個扇形區域內的單元個數為 Ns ，第 i 個扇環內的單元個數為 NS_i ， i=1，2，…，Q ，則 Ns=N/ P 且

在圖1所示的第一個扇形區域中，單元 （i，j） 表示分布在第 i 個扇環內的第 j 個單元， j=1，2 …，Ns_i，i=1，2，…，Q. 在以 O 為極點、 +x 軸為極軸的極坐標系下， r_i，j 和 ω_i，j 分別為單元 （i，j） 的極徑和極角， a_i，j=（r_i，j，ω_i，j） 為位置矢量.在其余的P-1 個扇形區域中， P-1 個旋轉對稱單元可由單元 （i，j） 旋轉得到，對應的位置矢量可表示為 Φ=（r_i，j，ω_i，j+pΔφ），p=1，2，…，P-1. 假設天線單元為各向同性點源且均勻激勵，在陣列設計中，保證每個天線單元之間的最小間距為半波長，并忽略互耦效應，得到該陣列的遠場方向圖如式（1）所示：

式（1）中： k 為自由空間波數， θ 和 φ 分別為俯仰角和方位角， 0?θ?π/2，0?θ?2π，k=2π/λ 是真空中的波數，λ為工作波長.由文獻[18]可知，當均勻激勵的天線單元旋轉對稱排布時，其對應的遠場方圖也具有旋轉對稱特性.當 P 為偶數時，僅需計算區域 {（θ，φ） |0?θ?π/2 ， 0≤φ≤Δφ} 內的 F （θ，φ） ；當 P 為奇數時，僅需計算區域 {（θ，φ） 10?θ ?π/2 ， 0?θ?Δφ/2} 內的 F（θ，φ） ：

1.2基于時間調制的四維稀布圓陣模型

如圖2所示，時間調制四維稀布圓陣是在新型稀布圓陣的基礎上，增加 Q 個高速射頻開關，各個開關獨立控制各個扇環內的天線單元，即第 i 個開關控制第 i 個扇環內的 NS_i 個天線單元（ （i=1，2 .…，Q） .高速射頻開關可通過可編程邏輯器件控制，式（2）為特定的時間序列， U_i（t） 表示 （i=1，2 .…，Q） ，其中時間調制周期為 ，時間調制頻率為f_?P（f_?P=1/T_?P） ：

假設四維稀布圓陣的工作頻率為 f₀ ，則輻射方向圖可表示為：

F（θ，φ，t）=

時間序列 U_i（t） 可以分解為頻域的傅里葉級數：

其中：

由式 （2）～（4） 可知， N 個天線單元及 Q 個高速射頻開關組成的四維稀布圓陣輻射方向圖可以展開為傅里葉級數，表示為：

式（6）即為基于時間調制的四維稀布圓陣的遠場方向圖函數.

2四維天線陣列優化算法

2.1和聲搜索算法

和聲搜索算法是2001年由韓國學者Geem等[19]提出的一種啟發式全局搜索算法.該算法通過類比在音樂演奏的過程中，音樂家憑借個人記憶反復調整樂隊中各個樂器的音調，最終演奏出優美的和聲這一過程，既能用于求解離散優化問題，也能用于求解連續優化問題.

該算法在具有較大自由度的陣列天線結構優化問題中具有突出的優勢.通過調節和聲音樂存儲器大小、和聲存儲器保留概率、音調調節率、調節寬度等參數，可以改變算法在模型優化過程中搜索的多樣性、收斂速度以及局部搜索的概率.通過該算法，可以在具有多個局部最優解的非凸優化問題中，通過隨機搜索和策略更新解，具備較大機會跳出局部最優，從而實現對陣列最優結構的優化.

2.2 凸優化方法

凸優化方法是一類用于求解凸優化問題的數學方法，而凸優化問題則是指目標函數為凸函數且約束條件所構成的可行域也是凸集的最優化問題.鑒于凸優化問題的局部最優解也是全局最優解的特性，凸優化方法可以大大簡化優化問題的求解過程，同時可以避免優化陷入局部最優的情況.因此凸優化方法在信號處理、陣列結構優化、控制理論等領域發揮重大作用.

在天線陣的綜合問題中，通常需要考慮陣列單元個數、各單元的空間位置、各單元的激勵幅度和激勵相位等多個參量的約束問題，通過尋找合適的單元位置和激勵系數，以獲得期望的輻射參數.從數學角度來看，此類綜合問題可表征為約束優化問題，它由目標函數和約束條件構成.通過凸優化方法可以將約束條件中眾多等式約束全部映射到一個函數上來，實現對應函數值的一一映射從而簡化等式約束條件.

2.3和聲搜索-凸優化混合算法

針對和聲搜索算法，搜索過程主要依靠隨機搜索和一定概率的音調調整來尋找最優解，在復雜的解空間進行搜索具有很大的盲目性，很難實現在最優解所在的邊緣進行搜索.而利用和聲搜索-凸優化混合算法，可以充分利用凸優化方法的優勢，利用函數的凸性通過梯度等信息快速地向最優解所在的方向收斂，從而提高算法的收斂速度，并找到優化模型的全局最優解.

本文通過對陣元數目、位置以及開關時間序列進行聯合優化，最終實現在工作頻率 f₀ 下獲得所需的輻射方向圖并抑制邊帶輻射的目標.

定義時間序列向量 T=（τ₁，τ₂，…，τ_Q） ，單元個數向量 NS ，位置向量 r，ω.PSLL（NS，r，ω，T） 和ND（NS，r，ω，T） 表示工作頻率為 f₀ 時的峰值副瓣電平和在特定方向上的零陷. SBL（NS，r，ω，T） 表示一階邊帶頻率 f₀+f_p 處的峰值邊帶電平.因此，將 NS，r，ω，T 作為優化變量，以獲得最低峰值副瓣電平 ∠sPSLL（NS，r，ω，T） 作為目標，同時約束第一邊帶電平 SBL（NS，r，ω，T） 和零陷電平 ND（NS r，ω，T） ，數學問題可表示如式（7）所示：

subject to SBL（NS，r，ω，T）?SBL_d

ND（NS，r，ω，T）?ND_d

0?ω_q，n?Δφ，0?τ_q?T_TM

式（7）中： ?q=1，2，…，Q，n=1，2，…，NSq，k =1 ，2，…， Q，l=1 ，2，…， NS_k ，并且 （q-k）²+ （n-1）²≠0.SBL_d 表示期望的邊帶電平， ND_d 表示期望的零陷電平.同時考慮了多個約束條件，如每個扇形中的天線總數 （NP ）、孔徑大小 （R） 和各單元間最小間距 （d_min ），在進行陣列參數優化過程中，根據 d_min 確定出各個扇形圓環上對應陣元個數的最大值向量 （M_max ）和最小值向量 （M_min ）.以向量

M_max 和 M_min 的大小作為隨機生成的上界和下界，通過隨機生成和向量映射的方式完成各圓環陣元數目 （M） 的生成.同時根據陣列單元間距的約束條件，確定出圓環半徑 （d） 、陣元距圓環的距離 （Δ） 、旋轉角度（δ）的生成范圍.

基于定義的復雜映射關系[20]，向量 NS，r 和 ω 可以通過定義的向量 M，d，Δ 和 δ 來計算，具體映射關系記做：

NS=g₁（M）

ω=g₃[g₁（M），δ]

在式（8）中，任意一組 $（ M ， ＼ d ， ＼ ＼pmb { ＼mathscr { ＼Delta } } ， ＼ ＼pmb { ＼delta } ）$ 都可以投影為可行解 .復雜的約束問題（7）可以轉化為只有上下界約束的簡單約束問題，如式（9）所示：

PSLL（NS，r，ω，T）

SBL（NS，r，ω，T）?SBL_d

ND（NS，r，ω，T）?ND_d

0?M_q?2πq/p，d_min?d_??2d_min

0?Δ_n?d_min，0?δ_n?Δφ

0?τ_q?T_TM

式（9）是一個關于 （M，d，Δ，δ，T） 變量集的非凸問題，其中 q=1，2，…，Q，n=1，2，…，Nq. 通過分別優化 （M，d，Δ，δ） 和 T ，可將式（9）分解為一個關于 （M，d，Δ，δ） 的非凸子問題和關于 T 的凸子問題.對于一組任意確定的 （M₀，d₀，Δ₀，δ₀） ，非凸問題（9）轉換為關于 T 的凸子問題，即式（10）：

minimize PSLL（NS₀，r₀，ω₀，T） T

subject to SBL（NS₀，r₀，ω₀，T）?SBL_d ND（NS₀，r₀，ω₀，T）?ND_d 0?τ_q?T_TM

在式（10）中， NS₀=g₁（M₀），r₀=g₂[M₀，d₀， Δ_Δ]，ω₀=g₃[M₀，δ₀]. （204號

最后，可以通過采用和聲搜索-凸優化混合算法在兩種相關優化中求解綜合問題（9）.首先，利用和聲搜索算法求解關于 （M，d，Δ，δ） 的非凸子問題，基于得到的最優集合 （M^?，d^?，Δ^?，δ^?） ，將問題（9）轉換為子問題（10）.然后，利用凸優化工具箱有效地求解關于 T 的凸子問題，最終綜合出目標方向圖.

3實驗設計與結果分析

3.1 實驗設計

本文設計了兩組實驗算例，陣元數目分別為

256和600，輻射單元為各向同性單元，不考慮單元間的互耦效應.和聲搜索-凸優化混合算法的控制參數如下：和聲音樂存儲器大小為50，和聲存儲器保留概率為0.9，音調調節率為0.3，調節寬度為0.1，最大迭代次數為500，分別進行10次獨立運算.使用MATLAB中自帶的工具箱 CVX^[21] 和MOSEK22]求解器.所有仿真計算均使用R9-7940HX，2.4GHz 處理器、32GBRAM的計算機通過MATLABR2023b實現.

3.2 實驗結果分析

3.2.1 低副瓣及邊帶抑制方向圖綜合

實驗算例A為 N=256 的四維稀布圓陣，其中圓心位置放置一個天線單元，設置 P=5，Q=9 ，最小單元間距 d_min 為 0.5λ ，孔徑半徑 R 為 6.5λ 將本算例與文獻[13]中最優的兩組TMCCAs（案例1和案例2）進行對比.

通過和聲搜索-凸優化混合算法對稀布圓陣的結構和10個高速射頻開關（圓心處天線和9個圓環子陣）的時間序列進行優化.期望實現在工作頻率下獲得最低旁瓣電平并抑制第一邊帶電平，將目標邊帶電平 SBL_d 設置為—30dB.

案例1、案例2和算例A的優化開關時間序列（τ_q/T_ρ ）如表1所示，表2列出了案例1、案例2和算例A的相關結構參數和輻射性能.案例1和案例2在文獻[13]中采用CSO算法進行綜合，案例1通過優化圓環半徑和開關時序，獲得具有9個圓環的279單元稀布圓陣，其PSLL和SBL分別為-28.02dB 和一4.56dB.案例1通過優化圓環半徑、單元間距和開關時序，其9個圓環上的天線單元數量分別為8、15、18、23、28、35、41、41、47，所得PSLL為 -36.02dB，SBL 為 -8.06dB

基于本文提出的新型圓陣結構與優化算法，算例A優化所得的陣列布局和歸一化導通時間序列分別如圖3（a）和圖3（b）所示.9個圓環上的天線單元數量分別為5、10、15、25、30、35、40、45、50.圖4和圖5為優化后在工作頻率下和第一邊帶頻率下的三維輻射方向圖.優化后的算例A比案例1和案例2具有更少的天線單元總數，并獲得更低的PSLL、SBL、FNBW.其中，PSLL為一37.79dB，SBL為-28.52dB ，比案例1和案例2的SBL低23.96dB和 20.46dB. 案例1、案例2和算例A在工作頻率下的方向性系數分別為 27.11dB，29.72dB，29.14dB; 案例1、案例2和算例A的FNBW在工作頻率下分別為 18^°?17.6^° 和17.4°.

3.2.2 低副瓣及零陷方向圖綜合

實驗算例B為 N=600 的四維稀布圓陣，設置 P =15，Q=15 ，最小單元間距 d_min 為 0.5λ ，孔徑半徑 R 為 6.5λ. 設置算例Bl：零陷方位區域為 0^°?φ_ND? 360° 35^°?θ_ND?50^° ;算例B2：零陷方位區域為 φ_ND?360^°，45^°?θ_ND?50^° 和 65^°?θ_ND?75^° ：

通過和聲搜索-凸優化混合算法對稀布圓陣的結構和15個高速射頻開關的時間序列進行優化.期望實現在工作頻率下獲得最低旁瓣電平并抑制第一邊帶電平，將目標邊帶電平 SBL_d 設置為—20dB，目標零陷 ND_d 設置為—40dB.

算例B1和算例B2的最優開關時間序列（ ?τ_q/ T_ρ ）如表3所示，表4列出了算例B1和算例B2的結構特性和輻射特性.算例B1的最優陣列布局和歸一化導通時間序列分別如圖6（a）和圖6（b）所示，優化后各圓環上的天線單元數量分別為0、0、15、15、30、30、30、45、45、45、60、60、75、60、90，經優化后PSLL和SBL分別為—26.94dB和—21.42dB.算例B2的最優陣列布局和歸一化導通時間序列分別如圖6（c）和圖6（d）所示，優化后各圓環上的天線單元數量分別為0、0、15、15、30、30、30、45、45、45、60、75、75、60、75，經優化后PSLL和SBL分別為一20.59dB和—21.52 dB.

優化后算例 B1的三維輻射方向圖和二維 φ 切面方向圖如圖7（a）和圖7（b）所示.算例B1在工作頻率下的指定零陷方向區域 （0^°?φ_ND?360^° 35^°?θ_ND?50^°） 均小于一4OdB，滿足預先設定的要求.算例B1的方向性系數和FNBW分別為31.46dB和9.4°.優化后算例B2的三維輻射圖和輻射切面圖如圖7（c）和圖7（d）所示.算例B2在工作頻率下的指定零陷方向區域 （0^°?φ_ND?360^° 45^°?θ_ND?50^° 和 65^°?θ_ND?75^°） 均小于一 40dB 滿足預先設定的要求.算例B1的方向性系數FNBW分別為 32.75dB 和 7^°

4結論

本文通過設計新型四維稀布圓陣的幾何結構與時間調制序列，分析、推導了陣列的時域、頻域方向圖函數，提出了和聲搜索-凸優化混合算法并完成新型圓陣的方向圖綜合.通過轉換、分解多約束條件（單元個數、孔徑大小、最小單元間距等），將問題分解為兩部分優化，即對陣列的幾何結構和對射頻開關時序分步進行優化求解，可有效提高問題的求解效率.兩組實驗算例的優化結果表明，本文提出的新型四維稀布圓陣具有更低副瓣電平、抑制的邊帶電平、指定二維方向上的零陷以及高方向性系數.

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【責任編輯：陳 佳】