伴隨矩陣若干性質的探究

摘" 要：伴隨矩陣[2] [3] 是由原矩陣的每個元素的代數余子式所構成，并且是其轉置后的結果。伴隨矩陣在數學理論和應用中發揮著重要作用。伴隨矩陣也稱伴隨陣或余子式，它不僅幫助理解矩陣的基本概念和性質，而且在矩陣的計算中扮演著重要角色。基于伴隨矩陣的相關公式，通過證明給出了相關公式的推導，并且通過公式推導結果；討論了伴隨矩陣在對稱性、反對稱性、正定性、正交性、相似性、對合性等方面的性質。

關鍵詞：伴隨矩陣" 可逆矩陣" 秩" 對稱性

Exploration of SeveralResearch on Some Properties of AccompanyingAdjoint Matrix

SUN Ya'e

（Shaanxi Baoji Education Institute，" Baoji ， Shaanxi" Province， 721001 China）

Aabstract： The adjoint matrix is composed of algebraic residues of each element of the original matrix and is the result of its transpose， also known as the adjunct or cofactor matrix， holds a significant position in matrix theory. This matrix is formed by the algebraic cofactors of each element of the original matrix and is the result after its transpose. The adjoint matrix plays an important role in both mathematical theory and applications. The adjoint matrix， also known as the adjoint matrix or cofactor，It not only aids in understanding the basic concepts and properties of matrices， but also plays a crucial role in matrix computations. Based on the relevant formulas for the adjoint matrix， the derivation of the relevant formulas is provided through proof， and the results are derived through the formulasand proves their derivations. It Furthermore， through these derivations， we discusses the properties of the adjoint matrix in terms ofconcerning symmetry， antisymmetry， positivitydefiniteness， orthogonality， similarity， and symmetryinvolution.

Key Wwords： Adjoint matrix; Invertible matrix; Rank; ；Symmetry

伴隨矩陣在數學與以及實際工程中具有及極其重要的作用。伴隨矩陣是線性代數課程矩陣理論教學中的一個關鍵點[1]，在關于的教學中，會涉及線性代數的很多其他知識點，例如行列式的計算，、逆矩陣的求解，、矩陣秩之間關系的刻畫，、向量組線性相關性的判定，、奇次線性方程組基礎解系的判定與求解，以及、與矩陣特征向量之間的關系的對應等[2]。聞道君，曾 靜，王鵬富等人[3]基于大類招生的視角，以線上、線下混合課程的形式進一步完善伴隨矩陣的知識體系，探索基于創新能力培養的“大學數學”課程教學設計和教學改革的新路徑．。伴隨矩陣主要被應用于計算可逆矩陣的逆，這對于求解線性方程組、處理復雜矩陣運算至關重要[4-5]。伴隨矩陣還被廣泛應用于研究矩陣的性質，如對稱性、正定性等，并且有助于深入理解矩陣結構[6-7]。此外，，伴隨矩陣在特征值分析中也有較為廣泛的應用，其揭示了矩陣特征值與行列式的關系[7-10]。伴隨矩陣的這些作用使其成為數學理論和實際應用中不可或缺的工具。

目前，隨著人工智能算法與以及深度學習技術的迅猛發展，伴隨矩陣在機器學習和數據科學領域的應用也日益廣泛[11-12]。伴隨矩陣不僅用于傳統的線性代數問題求解，還被集成到各種復雜的神經網絡架構中，以優化模型訓練過程、提高計算效率和增強模型的泛化能力[13]。

1" 伴隨矩陣

伴隨矩陣在對稱性、反對稱性、正定性和、正交性等方面表現出獨特的性質。對于對稱矩陣，其的伴隨矩陣也是對稱的。然而，反對稱矩陣的伴隨矩陣并不保持反對稱性，原因是，因為伴隨矩陣的定義基于余子式，而這些余子式不直接依賴于原矩陣是否反對稱。當原矩陣是正定矩陣時，其伴隨矩陣也是正定的。當原矩陣是正交矩陣時，其伴隨矩陣也是正交的。

用表示階方陣，為的行列式，為的秩，為的伴隨矩陣，為的逆矩陣。相關研究[14-16].文獻已給出了伴隨矩陣的一些性質，如

（1a）；

（2b）如果，那么[4] 。

2" 關于伴隨矩陣的若干公式

對于可逆矩陣，其逆矩陣可以通過伴隨矩陣求得。具體來說，一個可逆矩陣的逆矩陣等于該矩陣的行列式倒數乘以其伴隨矩陣。這個性質不僅簡潔而且實用，因為它直接將逆矩陣與伴隨矩陣聯系起來，使得在計算矩陣的逆時更加方便。此外，伴隨矩陣的每個元素是原矩陣對應位置元素的代數余子式，并且位置關系為轉置。這種結構使得伴隨矩陣在矩陣理論和應用中扮演著重要的角色。例如，：在求解線性方程組、進行矩陣分解以及、研究矩陣的特征值和特征向量等方面，伴隨矩陣都發揮著關鍵作用。

公式1：" "[5] 。.

證明：證明：若，則，所以 是可逆矩陣，即.。

若，則 ，并而且中有階子式非零。.那么的代數余子式不全為0，故，

，

已知 ，，又由由，，，，把代入得，

故得 。

若，則中每一個階子式全為0，那么，故。[6]

推論" 若可逆，則可逆；若不可逆，則也不可逆。

公式2：" " 。.

證明：證明：" 由兩邊取行列式，

如果可逆，則.。如果不可逆，當時，，則；

當時，，則.。故。

公式3：" 。

證明：：" 。

公式4 ：文本框：" " "。.

證明：證明：" 。

公式5：" "，（當可逆時）。.

證明：證明：" ，，所以有

。.

公式6： 。.

證明：" 當，均可逆時，。.當或者不可逆時，令、，。.當充分大時， 、，就都可逆，故

式（1）中：的所有元素都俱是的多項式，取充分大時，得對應元素相等，即對應元素是相等的多項式，也就是說，上式（1）對任意的都成立；。取，得。.

公式7：" 。.

證明： 當時，；

;

當時，，故。.

3" "關于伴隨矩陣的若干性質

可逆矩陣的逆矩陣可以通過伴隨矩陣求得。伴隨矩陣的行列式值等于原矩陣行列式值的次方（其中，為矩陣階數）。伴隨矩陣的每個元素是原矩陣對應位置元素的代數余子式，并且位置關系為轉置。轉置、伴隨和求逆三者任意排列組合復合運算結果相等。兩矩陣之積的伴隨矩陣等于矩陣伴隨的反向之積。矩陣乘以常數倍后求伴隨，相當于該矩陣的伴隨乘以常數的次方。矩陣伴隨的伴隨等于它其行列式的次方乘以它其本身。如果兩個矩陣相似，則它們的伴隨矩陣也相似。

定理1" 若 ，則。.

證明： 。

定理2" 若是對稱矩陣，則也是對稱矩陣。

證明： 由，知，，所以是對稱矩陣。

定理3" 為反對稱矩陣，。當為奇數時，，是對稱矩陣；當為偶數時，是反對稱矩陣。

證明：" 由，知" .。

若為奇數，則，即是對稱矩陣；

若為偶數，則，即是反對稱矩陣。

定理4" 若是正定矩陣，則也是正定矩陣。

證明：" 當是正定矩陣時，根據定理2，知為對稱矩陣，并且，。還存在可逆矩陣，，使，，于是，，，由公式[7] [8] （2）得，，則，說明是正定矩陣。

定理5" 若為正交矩陣，則也為正交矩陣。

證明：" 因為，，所以，，于是=，，從而。.

定理6" 若為階方陣（非零），如果正交，則當且僅當。.

證明：（1）" "充分性。" 設正交，，那么=，，且，，于是=。.

（2）必要性 。 設=，并且，，分兩2種情況。：

①（1）如果，，那么的代數余子式=，，把按第行展開，，又由公式2知，于是，所以，即正交。

②（2）如果，那么的代數余子式，，把按第行展開，，由公式2可得，所以，，即正交 。

定理7" 若階方陣與相似，則也與相似。

證明：" 因為與相似，，所以存在可逆矩陣，使得，則

。.

由為可逆矩陣，知為可逆矩陣，取，，則為可逆矩陣，并，且，，即與相似。

定理8" 若是對合矩陣，即，，則也是對合矩陣。

證明：" 由知，于是；又由知，，

即為對合矩陣，從而。.

4" 結語

本文通過對伴隨矩陣的基本性質進行了的深入研究，不僅豐富了伴隨矩陣的理論體系，也為實際應用提供了一定的參考和借鑒。未來可以進一步探索伴隨矩陣在控制理論、量子力學和計算機科學等方面的應用，以期發現更多有價值的結論。

參考文獻：

[1] 張會平.淺析教學實踐中引入伴隨矩陣的原因[J].科技風，2021（35）：59-61.

[2] 施勁松，林輝球.伴隨矩陣的知識串聯及在圖論中的應用[J] .大學數學，2023， 39（1）： 79-84.

[3] 聞道君，曾 靜，王鵬富.關于伴隨矩陣的混合式教學設計[J].西南師范大學學報（自然科學版），2021， 46（4）： 172-177

[4] 王蓮花， 田立平. 伴隨矩陣的性質及其應用[J]. 河南教育學院學報： （自然科學版）， 2006（3）：： 4-6.

[5] 李宗成， 張建航， 宋曉峰.伴隨矩陣的性質探討[J].西安通信學院學報， 2004，3（2）： 50-51，3.

[6] 楊聞起. 伴隨矩陣的性質[J]. 寶雞文理學院學報： 自然科學版， 2003， 23（1）： 20-21，253.

[7] 韓成茂. 伴隨矩陣性質研究[D]. 濟南：山東大學， 2008.

[8] 莊科俊. 伴隨矩陣的性質在行列式計算中的應用[J]. 榆林學院學報， 2017， 27（6）： 367-69.

[9] 董改芳. 關于伴隨矩陣的性質及應用的研究[J]. 太原大學教育學院學報（自然科學版）， 2018， 036（003）： 17-19.

[10] 吳丹堯. 伴隨矩陣及其特征值和特征向量[J]. 大學數學， 2024，40[9] （3）： 95-101.

[11] 徐秋云. 分塊低秩矩陣回歸的線性化乘子交替方向算法[D].北京：北京交通大學， 20198.

[12] 王皓晨.基于SVM的TRIZ矛盾矩陣的仿真研究[D]. 長春：東北師范大學，20124.

[13] 賀翔宇. 深度卷積神經網絡量化表示研究[D]. 北京：中國科學院大學，2022.

[14] 北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，1988.

[15] 李永樂，周耀耀.線性代數輔導講義[M]. 北京：國家行政學院出版社，20021.

[16]" 樊惲，鄭延履，劉合國.線性代數學習指導[M]. 北京：科學出版社，2003.