例談函數對稱性問題的題型和求解策略

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1008-0333（2025）16-0073-03

函數是高中數學的主線，是數學抽象思維的重要體現和教學載體，也是連接高中數學和高等數學的重要橋梁，多年來函數都是高考的熱門考點[1].自2021年全國卷實施以來，函數的對稱性作為考點頻繁出現，其重要性不言而喻.筆者基于多年高中一線教學實踐，整理了六種函數對稱性問題的常考題型，并給出了解題思路和策略.

1 函數對稱性問題的題型歸納

1.1 利用對稱性識別函數解析式和圖象

例1函數 f（x）=-x²+（e^x-e^-x）sinx 在區間[-2.8，2.8]的圖象大致為（ ）.

解析找出解析式對應的函數圖象或是根據函數圖象找到匹配的函數解析式，體現了函數兼具“數”和“形”的特點.因為 f（?-x）=-?x²+（?e^-x -e^x）sin（-x）=-x²+（e^x-e^-x）sinx=f（x） ，所以函數是偶函數，排除A，C，再通過驗證特殊值 f（1） 排除D，故選B

1. 2 已知某函數對稱性求參數

例2若 是奇函數，則a=-，b=-?

解法1 （利用奇函數定義域的對稱性）已知函數的對稱性求參數，要先考慮函數的定義域也應當具有對稱性，而根據解析式可以得出 x≠1 ，則必有x≠-1

若 a=0 ，則函數 f（x） 的定義域為 {x∣x≠1} ，不關于原點對稱，故 a≠0

要使奇函數 的解析式收稿日期：2025-03-05

作者簡介：殷寧，碩士，一級教師，從事中學數學教學研究.

基金項目：江蘇省南京市玄武區教育科學“十四五”規劃 2022年度課題“‘三教’理念指導下的高中數學學生‘說題’教學的實踐研究\"（項目編號：XL/2022/013）.

有意義，則 _x≠1 且 即 _x≠1 且 則 ，解得 由 f（0）=0 ，得 故

解法2 （利用奇函數定義構造代數恒等式） 由函數 f（x） 為奇函數可得 +2b=0 恒成立.

評析對初等函數的復合函數，已知對稱性求參數時，我們可以抓住對稱性的定義：如果一個函數的定義域關于 對稱，則若對定義域內的任意 x ，有 f（a+x）=f（b-x） ，則稱 f（x） 關于直線 x 對稱;若有 f（a+x）+f（b-x）=c ，則稱 f（x） 關于點 對稱，來構造一個與 x 無關的恒等式.

1.3 利用對稱性求值或函數解析式

例3 已知函數 ，則

A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025

解析 由題可得

所以

1. 4 判斷或證明某函數具有對稱性

例4設函數 f（x）=a^x+ka^-x（k∈R，agt;0，a≠ 1）.討論函數 f（x） 的圖象是否有對稱中心.若有，請求出;若無，請說明理由；

解析設點 P（m，n） 為函數 f（x） 的對稱中心， 則 f（x）+f（2m-x）=2n ，代人得 （204 a^x+ka^-x+a^2m-x+ka^-2m+x=2n. （20 即 （2 整理，得 a^2x（1+ka^-2m）-2na^x+（k+a^2m）=0. 于是 1+ka^-2m=0 ，且 k+a^2m=0 ，且 2n=0 ，即 （204 a^2m=-k，n=0. （204

所以當 k?0 時， m 無解，此時函數 f（x） 的圖象沒有對稱中心；當 klt;0 時， ，此時函數 f（x） 圖象的對稱中心為

1.5 對稱性與單調性、周期性結合的綜合問題

例5已知函數 f（x） 的定義域為 R，f（x+1） 為奇函數 f（x+2） 為偶函數，且對任意的 x₁，x₂∈（1 2）， x₁≠x₂ ，有 （x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]gt;0 ，則下列結論正確的是（ ）.

A. f（x） 是偶函數

8.f（2 025）=0

C.f（x） 的圖象關于（-1，0）對稱

解法1（代數變換）由函數 f（x+1） 為奇函數知 f（?-x+1）=-f（x+1）

所以 f（1）=-f（1） ，可得 f（1）=0 由函數 f（x+2） 為偶函數，則 f（2-x）=f（2+x）

則 f（2+x）=f（2-x）=f（1+1-x）=-f[1 -（1-x）]=-f（x）

用 x+2 替換 x 可得 f（x+4）=-f（x+2）=f（x）

所以 f（x） 是周期函數，4是它的一個周期

f（-x）=-f（2+x）=-f（2-x）=f[2-（2 -x）]=f（x） ，A正確;

f（α-1）=f（3）=f（2+1）=f（2-1）=f（1）=0， （20號故 f（2025）=f（4×506+1）=f（1）=0，B 正確;

f（2-x）=-f（x） ，即 f（x-2）=-f（-x） ，函數f（x） 的圖象關于點（-1，0）對稱，C正確;

易得函數 f（x） 在（1，2）單調遞增，而 ，則 .所以 ，D錯誤

解法2（圖象變換 ）f（x+1），f（x+2） 分別由f（x） 向左平移一個和兩個單位而來，故 f（x） 關于點（1，0）對稱，也關于直線 x=2 對稱，因此具有周期性，4是它的一個周期.

對任意的 x₁，x₂∈（1，2） ， x₁≠x₂ ，有 （x₁-x₂） ： [f（x₁）-f（x₂）]gt;0 ，說明函數 f（x） 在（1，2）單調遞增，可以畫出函數 f（x） 在（1，2）的草圖，再根據對稱性補全圖象，則問題迎刃而解.

對稱性與周期性之間的常用結論有：（1）若函數 f（x） 的圖象關于直線 x=a 和 x=b 對稱，則函數 f（x） 的周期為 T=2∣a-b∣ ;（2）若函數 f（x） 的圖象關于點 （a，0） 和點 （b，0） 對稱，則函數 f（x） 的周期為 T=2∣a-b∣ ；（3）若函數 f（x） 的圖象關于直線 x=a 和點 （b，0） 對稱，則函數 f（x） 的周期為T=4∣a-b∣.

1. 6 兩函數之間的對稱關系

例6已知定義在區間[0，2]上的函數 y=f（x） （2的圖象如圖1所示，則 y=-f（2-x） 的圖象為（填序號）

解法1 （特殊點驗證法）由圖象可知 f（0） =0，f（1）=1，f（2）=1. （204號

則當 x=0 時， y=-f（2）=-1 5

當 x=1 時， ：

當 x=2 時， y=-f（0）=0

故選 ②

解法2 （代數式判斷法） y=f（x） 和 y=-f（2 -x） 的圖象關于點（1，0）對稱，故選 ②

2 結束語

本文通過教學實踐歸納出以上六種函數對稱性題型及其解題方法.在教學過程中，教師應強化基礎訓練，引導學生掌握基本方法；同時建議持續關注并強調函數數形結合的特點，從多個角度開拓學生思維，進而實現能力提升.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.