解一元不等式問題綜述

不等式是高中數學核心模塊之一，是求函數定義域、值域，判斷函數的單調性、零點分布等問題的重要工具.求解這些問題需根據題目條件列出相應的不等式，進而求不等式的解集.所列的不等式不同，求解集的方法也不同，下面舉例分析.

1一元二次不等式

一元二次不等式問題常與一元二次方程、一元二次函數相結合，通常利用判別式、求根公式、因式分解等知識求解.當二次項系數含有參數時，要討論開口方向、零點個數、零點與定義域的關系、零點之間的大小關系等.

例1 解不等式 ax²+x-（a+1）gt;0（a≠0） 令 ax²+x-（a+1）=0 ，即 （x-1）（ax+ a+1）=0 ，解得 當 alt; 0，且 即 時，不等式 ax²+ x-（a+1）gt;0 的解集為 .當 1=-1- 時，不等式 ax²+x-（a+1）gt;0 的解集為空集.當 alt;0 ，且 即 時，不等式 ax²+x-（a+1）gt;0 的解集為 .當agt;0 時， ，不等式 ax²+x-（a+1）gt;0 的解集為

2 分式不等式

解分式不等式通常要通過移項通分，使不等式的一邊為0，將其轉化為一元二次不等式或一元一次不等式，另外要注意分母不為0的情況.

例2求不等式 的解集.

由已知得 _x≠1 ，且

即

（x-1）（a+1-x）?0.

當 a+1gt;1 ，即 agt;0 時，不等式 ① 的解集為（-∞，1）∪[a+1，+∞）. （20

當 a+1lt;1 ，即 alt;0 時，不等式 ① 的解集為（-∞，a+1]∪（1，+∞）. （

當 a+1=1 ，即 a=0 時，不等式 ① 的解集為（-∞，1）?（1，+∞）

綜上，當 agt;0 時，不等式 的解集為（-∞，1）∪[a+1，+∞） ；當 alt;0 時，不等式 1的解集為 （-∞，a+1]∪（1，+∞） ；當 a=0 時，不等式 的解集為 （-∞，1）?（1，+∞）

3絕對值不等式

解含有絕對值不等式的基本思想是去絕對值，去絕對值的方法有多種，如定義法、利用絕對值的幾何意義、平方法、零點分區間討論法、等價轉化法等.去絕對值時要注意轉化過程的等價性.

例3 不等式 ∣x-1∣+∣x+2∣?5 的解集為

方法1 （零點分區間討論法）由 ∣x-1∣=0 和 ∣x+2∣=0 ，可得 x=1 和 x=-2 ，則不等

式 |?_x-?₁|+|?_x+?₂|?5 可轉化為

綜上，不等式 ∣x-1∣+∣x+2∣?5 的解集為

（-∞，-3]∪[2，+∞）

方法2（利用絕對值的幾何意義） ∣x-1∣ 和∣x+2∣ 分別表示數軸上的點 x 到1和一2的距離，而1和一2在數軸上的距離為3.當 x=-3 時， |x-1|+ |x+2|=5 ，則當 x?-3 時， |x-1|+|x+2|?5. 當x=2 時， ∣x-1∣+∣x+2∣=5 ，則當 x?2 時，|x-1|+|x+2|?5.

綜上，不等式 ∣x-1∣+∣x+2∣?5 的解集為（-∞，-3]∪[2，+∞）

4對數不等式

解對數不等式主要是利用對數函數的單調性，將不等式的兩端化為同底的對數函數，再比較其真數的大小即可.當底數不確定時，要注意分類討論.另外要注意對數的真數大于0的限制條件.

例4已知函數 f（x）=log_a（2+x）-log_a（2- x ） ∣agt;0 ，且 a≠1 ），求關于 x 的不等式 f（x）? log_a（3x） 的解集.

易知函數 f（x） 的定義域為（一2，2）.因為f（x）=log （2+x）-l0g（2-x）=l0g， 2-x，所以

當 0 ，解得 1；當 agt;1 時，由 ，解得 或 1? xlt;2

綜上，當 0a（3x） 的解集為 ；當 agt;1 時，不等式 f（x）?log_a（3x） 的解集為

5 指數不等式

對于指數不等式，常規的解法是將不等式的兩端化為同底數的指數式，利用指數函數的單調性確定指數的大小關系，從而將其轉化為一元一次不等式或一元二次不等式來處理.若底數 Δ_a 不確定時，要分 agt;1 和 0

例5某企業生產甲、乙兩種型號的手機，年產量分別為10萬臺和40萬臺，隨著市場需求的增大，現對兩種型號手機的生產線進行升級，預計升級后甲、乙兩種型號手機的年產量增長率分別是 50% 和20% ，那么至少經過 年，甲型號手機的年產量會超過乙型號手機的年產量（參考數據： lg2≈ 0.301）.

設至少經過 n 年后，甲型號手機的年產量會超過乙型號手機的年產量，則

10（1+50%）ⁿgt;40（1+20%）ⁿ，

可得 ，兩邊取常用對數得 ，即

故至少經過7年，甲型號手機的年產量會超過乙型號手機的年產量.

6 三角函數不等式

與三角函數有關的不等式問題通常要結合特殊角的三角函數值、三角函數的周期性以及整體代換法處理.

例6 已知函數 ，則不等式 f（x）gt;1 的解集為

由于 f（x）gt;1 ，則 ，即解析 易知不等式 的解集為 ，即

故不等式 f（x）gt;1 的解集為 ：

綜上，在解不等式內容的學習與備考中，只有明確待解不等式的類型，熟練相應的處理策略，才有可能順利解決問題.另外，學生在學習中要積累一些重要不等式，如si 及其相應的變形等，利用這些不等式可使解題事半功倍.

（完）