基于等效電路模型的SOC估算方法研究

摘 要：等效電路模型通過電阻、電容、電壓源等元件的有機組合，系統(tǒng)考量電池極化效應、自放電等動態(tài)特性表征電池荷電狀態(tài)。文章系統(tǒng)探討 Rint 模型、Thevenin 模型、PNGV 模型、GNL 模型及二階 RC 模型等典型等效電路模型在電池荷電狀態(tài)估算中的應用，結合參數(shù)辨識方法深入對比各模型的優(yōu)勢與局限性，明確其在不同工況、場景下的適用性。

關鍵詞：電池 SOC估算 等效電路模型 電池管理系統(tǒng)

電池荷電狀態(tài)（State of Charge，簡稱SOC）指的是電池在某一時刻的剩余電量占其額定容量的百分比，用來反映電池的剩余能量狀態(tài)。準確估算SOC助于電池管理系統(tǒng)為用戶提供電池剩余電量的準確信息，并實現(xiàn)合理的充放電控制，實現(xiàn)防止過充過放、優(yōu)化電池的使用壽命的控制目標。

目前工程上普遍使用的SOC估算方法是安時積分法，其計算復雜度較低便于工程實現(xiàn)，但是存在初始SOC不準確導致誤差累積的局限性。此外，開路電壓法通過電池靜置后的開路電壓查表或擬合公式得到SOC，雖然能夠避免累積誤差問題，但是對靜置時間要求嚴苛，無法進行準確動態(tài)估算，通常作為安時積分法的定期校準參考使用。相比于安時積分法和開路電壓法的局限性，基于等效電路的SOC估算方法通過電阻、電容等電路元器件模擬電池的動態(tài)特性，能夠較好地反映電池在充放電過程中的動態(tài)響應，從而在多種工況下都能保持較高的計算精度。集合參數(shù)辨識和優(yōu)化手段，可以進一步地提高SOC估算的精度和魯棒性，使其逐漸成為一種更為可靠高效的SOC估算選擇。

1 等效電路模型

1.1 Rint模型

Rint模型（也稱內阻模型）由一個理想電源和一個串聯(lián)電阻組成。當電池有電流通過時會在串聯(lián)電阻上產生與電流成正比的壓降，模擬電池內部等效內阻對端電壓的影響。模型結構如圖1所示：

狀態(tài)方程如公式1所示：

（1）

式中表示電池開路電壓；表示流過電池的電流，表示串聯(lián)電阻。

Rint模型憑借極簡結構與少量參數(shù)，具備計算復雜度低、易于工程實現(xiàn)的優(yōu)勢，可大幅節(jié)省模型搭建與參數(shù)辨識時間和計算資源。但該模型未考慮電池的極化現(xiàn)象，無法精準反映電池充放電時電化學反應與離子擴散的動態(tài)變化。因此難以滿足大電流充放電或高精度SOC估算場景需求，適合用于工況平穩(wěn)且對估算精度要求不高的系統(tǒng)。

1.2 Thevenin模型

Thevenin模型在Rint模型的基礎上增加了一個由一個極化電阻和一個極化電容并聯(lián)組成的RC支路，用于描述電池的極化現(xiàn)象。模型結構如圖2所示。

模型的狀態(tài)方程如公式2所示：

（2）

Thevenin模型中，RC電路通過極化電阻體現(xiàn)電化學反應中電荷轉移阻力，極化電容表征電極表面電荷存儲與釋放能力，其時間常數(shù)則決定極化電壓變化速率，展現(xiàn)極化動態(tài)特性，能較好描述電池動態(tài)響應。然而單一極化時間常數(shù)難以覆蓋電池內部多種極化現(xiàn)象，適用于滿足中等精度估算需求的系統(tǒng)。

1.3 PNGV模型

PNGV模型在Thevenin模型的基礎上增加了一個恒流源模擬電池在不對外放電時由于內部副反應等原因導致的電量損失。模型結構如圖3所示。

模型狀態(tài)方程如公式3所示：

（3）

PNGV模型因引入自放電機理，能夠在電池長時間靜置或持續(xù)低功耗工況下追蹤動態(tài)演變[1]，在電池處于長期靜置的工況中具有獨特優(yōu)勢。但是自放電恒流源參數(shù)的引入加劇參數(shù)辨識難度，導致對計算資源的需求顯著提升。

1.4 二階RC模型

二階RC模型在Thevenin模型的基礎上增加了1個RC支路，二階RC模型中的2個RC支路分別用于描述電池電化學極化過程和濃差極化過程。模型結構如圖4所示。

模型狀態(tài)方程如公式4所示：

（4）

二階RC模型通過兩組極化電阻、與極化電容、，分別刻畫不同極化過程中電荷轉移、離子擴散的阻力，以及電極表面存儲和釋放電荷的能力。相比Thevenin模型能更細致地描述極化反應。但因模型參數(shù)增多，需依賴大量實驗數(shù)據(jù)與復雜算法，更適用于使用工況復雜、精度要求高且具備較強硬件計算能力的系統(tǒng)。

1.5 GNL模型

GNL模型在二階RC模型的基礎上增加了一個恒流源描述自放電現(xiàn)象，模型結構如圖5所示：

模型狀態(tài)方程如公式5所示：

（5）

GNL模型綜合了多種模型的優(yōu)點，同時考慮歐姆極化、電化學極化、濃度差極化以及自放電等因素影響，能較好地模擬電池動態(tài)特性[2]。然而，該模型參數(shù)辨識難度大、計算量大、噪聲敏感，適用于具備高算力且需要高精度SOC估算的系統(tǒng)。

2 參數(shù)辨識與SOC估算

等效電路模型中參數(shù)的辨識主要分為在線與離線兩種參數(shù)辨識方法。離線參數(shù)辨識基于預先采集的數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)擬合得到關鍵參數(shù)，在線參數(shù)辨識則通過輸入實時監(jiān)測數(shù)據(jù)進行動態(tài)估算，展現(xiàn)出更強的環(huán)境適應性。

2.1 離線參數(shù)辨識

2.1.1 HPPC測試

HPPC測試通過一系列的標準化充放電脈沖序列得到瞬態(tài)電壓響應，參考《FreedomCar功率輔助電池測試手冊》計算歐姆內阻和極化參數(shù)[3]。基于HPPC測試方法得到的辨識參數(shù)具有數(shù)據(jù)可靠的優(yōu)點，但是數(shù)據(jù)基于實驗室環(huán)境，無法反映電池的實時老化狀態(tài)，計算結果適合用于初始模型參數(shù)的選定。

2.1.2 電化學阻抗譜

電化學阻抗譜能夠快速且無損地以復阻抗的形式在不同頻段上對電池內部界面反應、電荷傳遞和離子擴散等復雜過程進行有效解耦，從而獲得用于電池建模和特性分析的重要參數(shù)和特征信息[4]。但是基于電化學阻抗譜的離線辨識方法存在估算精度不高的問題，更適合用于初始模型參數(shù)的選定。

2.2 在線參數(shù)辨識

2.2.1 最小二乘法

最小二乘法以誤差優(yōu)化為核心，基于實驗數(shù)據(jù)通過最小化誤差平方和進行參數(shù)擬合。具有計算邏輯簡潔、收斂效率高的優(yōu)勢，對非線性模型中的參數(shù)具有較好的辨識結果，尤其適用于內阻模型、RC 模型等結構相對簡單的等效電路。

但是隨著輸入數(shù)據(jù)量的增加可能出現(xiàn)數(shù)據(jù)飽和的問題，因此普通最小二乘法（OLS）對于時變系統(tǒng)的參數(shù)辨識效果較差，適合用于快速離線參數(shù)辨識。為了實現(xiàn)在線參數(shù)辨識衍生出遞推最小二乘法（RLS）和加權遞推最小二乘法（WRLS）等分支。RLS在OLS的基礎上通過逐點更新參數(shù)實現(xiàn)了SOC的在線計算，結合遺忘因子可以降低舊數(shù)據(jù)的權重跟蹤參數(shù)的時變效應[5]，在電池衰減老化等長壽命SOC估算中具有優(yōu)勢。WRLS在RLS和OLS的基礎上對不同的數(shù)據(jù)點賦予權重，最小化加權殘差平方和，改善了OLS對異常值敏感的缺點，結合遞推實現(xiàn)在線估算，適用于噪聲隨時間變化的場景[6]。

2.2.2 卡爾曼濾波法

卡爾曼濾波法（KF）作為常用的參數(shù)辨識手段借助系統(tǒng)的狀態(tài)方程與觀測方程將參數(shù)辨識問題轉化為狀態(tài)估計問題，以迭代方式估計系統(tǒng)狀態(tài)與參數(shù)。在高斯噪聲假設下最小化均方誤差，并通過噪聲協(xié)方差矩陣描述參數(shù)變化率實現(xiàn)時變參數(shù)處理，對于線性系統(tǒng)具有良好的估算效果適用于Thevenin模型、二階RC模型等中等復雜程度的模型。

但是電池模型是一個非線性系統(tǒng)，使得算法在實際應用中存在設計困難、計算量大的問題。因此在傳統(tǒng)卡爾曼濾波算法的基礎上衍生出了擴展卡爾曼濾波（EKF）和無跡卡爾曼濾波（UKF）等算法。EKF通過一階泰勒展開的線性化處理使得算法能夠適用于非線性模型；UKF利用無跡變換逼近概率分布，進一步提升了非線性問題的處理精度[7]。

2.2.3 粒子濾波法

粒子濾波法（PF）基于蒙特卡洛模擬與貝葉斯估計理論，利用大量粒子表征系統(tǒng)狀態(tài)與參數(shù)分布，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)更新粒子權重，對非線性、非高斯問題具備卓越的處理能力，尤其適用于PNGV模型這類考慮多種復雜因素、呈現(xiàn)強非線性特征的模型。

但是為保證計算精度和實時性，需要對大量粒子進行計算，并且重采樣容易導致粒子多樣性喪失使得樣本貧化，適合用于高精度離線標定的應用場景。為克服算法局限性、提升性能，粒子濾波法衍生出多了擴展粒子濾波（EPF）、無跡粒子濾波（UPF）和自適應粒子濾波（APF）等方法[8]。EPF結合EKF思想對每個粒子進行局部線性化，在減少粒子計算數(shù)量的同時提升了算法的收斂性，但是仍未解決樣本貧化的問題；UPF使用UKF生成重要性分布，通過傳播種子避免了線性化誤差，在減少了粒子計算數(shù)量的同時提升了計算精度；APF通過動態(tài)調整粒子數(shù)量實現(xiàn)了計算資源的優(yōu)化，同時緩解了樣本貧化的缺陷。

2.2.4 遺傳算法

遺傳算法是一種基于自然選擇和遺傳機制的優(yōu)化算法，通過模擬生物進化過程來尋找最優(yōu)解。遺傳算法適用于各種等效電路模型，特別是對于那些參數(shù)空間復雜、傳統(tǒng)方法容易陷入局部最優(yōu)的模型，如PNGV模型或參數(shù)較多的高階RC模型等。

自適應遺傳算法（AGA）根據(jù)進化情況動態(tài)調整交叉與變異概率，平衡全局搜索與局部優(yōu)化能力，有效提高模型精度[9]；并行遺傳算法（PGA）借助并行計算加速收斂，實現(xiàn)多子種群同步進化，大幅提升算法收斂速度，有效攻克多階RC網(wǎng)絡參數(shù)優(yōu)化難題。遺傳算法和卡爾曼濾波算法結合還可以對系統(tǒng)噪聲和觀測噪聲信息優(yōu)化處理，克服噪聲引起的誤差，進一步提升估算精度[10]。

3 結語

等效電路模型因物理意義明確、計算效率高，成為SOC估算的重要手段。從基礎的Rint模型（內阻模型）到復雜的Thevenin、多階RC、PNGV模型，通過等效電路結構的不斷演化實現(xiàn)了模型精細度的提升。配套的離線參數(shù)辨識法和在線參數(shù)辨識法技術，通過離線參數(shù)辨識方法獲得模型初始值，結合在線參數(shù)辨識方法進行算法迭代和多元融合不斷拓展應用邊界：線性場景下，最小二乘法可快速實現(xiàn)參數(shù)精準擬合；非線性工況中，KF與PF的優(yōu)化算法表現(xiàn)優(yōu)異；遺傳算法則有效解決高維參數(shù)尋優(yōu)難題。

在實際工程應用中，綜合考量工況特征、精度需求、硬件算力及實時性要求等多維因素，結合等效電路模型原理和參數(shù)辨識方法的優(yōu)勢對計算精度和復雜度進行平衡，選用合適的參數(shù)辨識方法獲取初始參數(shù)，能夠充分發(fā)揮各模型與算法的技術優(yōu)勢，有效規(guī)避單一方法的局限性，為電池管理系統(tǒng)的性能優(yōu)化提供可靠支撐。

參考文獻：

[1]張賓，郭連兌，李宏義，等.電動汽車用磷酸鐵鋰離子電池的PNGV模型分析[J].電源技術，2009，33（5）：417-421.

[2]林成濤，仇斌，陳全世.電動汽車電池功率輸入等效電路模型的比較研究[J].汽車工程，2006，28（3）：229-234.

[3]韋仲爽，侯巍，趙彥，等.基于擴展卡爾曼濾波算法的磷酸鐵鋰電池荷電狀態(tài)估計[J].中山大學學報（自然科學版）（中英文），2023，62（5）：92-100.

[4]吳磊，呂桃林，陳啟忠，等.電化學阻抗譜測量與應用研究綜述[J].電源技術，2021，45（9）：1227-1230.

[5]謝文超，趙延明，方紫微，等.帶可變遺忘因子遞推最小二乘法的超級電容模組等效模型參數(shù)辨識方法[J].電工技術學報，2021，36（5）：996-1005.

[6]王建鋒，張照震，李平.基于加權自適應遞推最小二乘法與EKF的鋰離子電池SOC估計[J].汽車技術，2021（10）：16-22.

[7]尹康涌，孫磊，李浩秒，等.基于動態(tài)噪聲自適應無跡卡爾曼濾波的鋰離子電池SOC估計[J].儲能科學與技術，2024，13（11）：4065-4077.

[8]譚星浩，劉有耀，張雪蘭.改進無跡粒子濾波的電動汽車鋰電池SOC估算[J].傳感器與微系統(tǒng)，2022，41（4）：134-137.

[9]丁羿茗，呂瑞強，蔣超.基于分數(shù)階鋰電池模型的FOMIAEKF算法SOC估計[J].電源技術，2021，45（9）：1148-1151.

[10]周韋潤，姜文剛.基于遺傳算法優(yōu)化擴展卡爾曼濾波的鋰電池SOC估計[J].重慶理工大學學報（自然科學版），2019，33（9）：33-39.