連續多穩態齒輪元胞機械超結構及其力學性能

關鍵詞：機械超結構；齒輪元胞；力學性能；連續可調；減振結構

中圖分類號：TB34

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.023 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Continuous Multi-stable Gear Cell Mechanical Metastructures and Mechanics Properties

MO Shuai1，2，3 * HUANG Xuan1，2 HUANG Zurui1，2 ZHANG Wei1 1.State Key Laboratory of Featured Metal Materials and Life-cycle Safety for Composite Structures，Nanning，530004 2.School of Mechanical Engineering，Guangxi University，Nanning，530004 3.State Key Lab of Digital Manufacturing Equipment and Technology，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan，430074

Abstract： In order to expand the forms of mechanical metastructures and optimize the dynamic adjustment ability of mechanical metastructures，a micro gear unit structure was designed，which was periodicall arranged in a two-dimensional plane to form a metastructure. The structural design principle and stability of the metastructure were analyzed.It is demonstrated that continuous and stable tunable of mechanics properties may be achieved by the designed metastructure. The extensive mechanics properties of this metastructure，including statics and dynamics，were analyzed through finite element simulation method.The results indicate that the elastic modulus of the externall meshed gear cells has a tuning range exceeding 1O times，while that of the internally meshed planetary gear cells exceeds 200 times. A considerable tunable range is also observed in the shear modulus.Additionally，the continuous change of the natural frequency and frequency amplitude curve may be realized by this gear unit-based metastructure，providing a new idea for the design of materials aimed at vibration reduction. Finally，a variety of metastructure vibration reduction devices were designed based on this micro gear unit， demonstrating the unique advantages and broad application prospects in vibration reduction and dynamic control.

Key words： mechanical metastructure; gear cell; mechanics property; continuously tunable； vibration-reduction structure

0 引言

超材料/超結構是具有非常規性能的人工結構[1-3]，機械超結構的發展可以追溯到早期的周期梁、板、蜂窩等結構，通過合理配置與優化這些元素，可以實現負泊松比、低密度、高強度等優異力學性能，如GAO等[4]、CHENG等[5]通過對負泊松比結構進行優化，得到具有增強機械性能的超材料。根據不同的應用場景有望在智能設備、能量吸收、減振降噪等領域取得重大應用前景，如將柔性超材料應用于電子皮膚，能夠使機械手臂更加精確地執行抓取任務6；在汽車零部件中引入超材料，能夠有效緩解輕量化材料所帶來的噪聲問題。

隨著高精度制造技術的不斷開發，機械超結構的力學可調超結構在設計、制造、應用等方面發生快速轉變[7-8]，具有易設計、多功能、動態可調的機械超結構受到大量學者的廣泛關注，這類超結構通過主動或被動調節使自身可重構[9]，這樣的可重塑性使裝備機械超結構的設備能夠靈活地調節自身剛度，從而可適應多場景任務。ZHANG等[10]設計了一種可再入結構，通過控制其內置的楔形塊實現了結構剛度可調；TAO等[11]利用水凝膠的溶脹特性驅動復合結構彎曲，獲得了帶隙可調的三維力學超材料；區別于上述設計方案，FANG等[12]、MEEUSSEN等[13]利用齒輪元素設計出性能可調的力學超材料，但未從微觀結構上進行拓撲優化，同時缺乏動力學特性及其在減振結構設計方面的研究。

傳統力學超結構存在性能調節范圍與精度不足、難以適應多工況作業等缺陷，本文提出一種可編程性能超結構的非傳統設計方案，該設計方案在多工況下可實現大范圍、連續可調的彈性特性，同時保持穩定性和魯棒性。在表征方面，除了材料的基本性能外，還突出所設計機械超結構在動力學方面的特性。最后，利用齒輪基超結構設計出可用于多工況的減振裝置，從微觀到宏觀展示了齒輪機械超結構在減振降噪、性能調控、動力學優化等方面的獨特優勢。在擴展齒輪應用場景的同時，為智能設備在作業過程中實現自主控制與自適應優化提供思路，為設計完全可編程振動控制設備拓寬視野，可推動齒輪基超結構在實際應用中的探索。

1連續多穩態可調齒輪超結構設計

為實現機械超結構力學性能連續穩定調節，需要從微觀入手。簡支梁在受到外力作用時不同位置的“軟硬”程度是不同的，具體來說，靠近支點的節點變形較小，而遠離支點的節點變形較大。引入齒輪則能夠使梁上的受力位置發生周期性變化，同時賦予結構良好的動態穩定性。通過優化齒輪拓撲結構、合理設計支撐位置及數量，齒輪機械超結構的力學可調性可以實現定制，通過以周期的方式將齒輪單元排列、堆疊，就能得到連續穩態周期性可調的力學超結構。

本文設計了兩種齒輪元胞超結構，一種為通用外嚙合輪輻式齒輪胞，另一種為內嚙合行星齒輪胞結構。圖1以內嚙合行星齒輪為例展示了齒輪機械超結構的設計過程，主要包括三個步驟，即核心元素的設計、單元胞的制造與組裝、單元胞周期性排列與堆疊形成超結構。

2連續多穩態齒輪超結構力學性能

2.1 輪輻式齒輪胞超結構力學性能

如圖2所示，利用輪輻式外嚙合齒輪組成超結構基本單元，并在此基礎上設計出一種力學性能連續可調結構，其中齒輪齒寬 b=6mm ，輪輻按照十字形對稱分布。以圖2中順時針方向為齒輪胞轉動方向，并且定義初始轉角 α=0^° 。

為了便于施加載荷和約束，從齒輪兩面（正面和背面）引出帶有平臺的軸，軸的長度略大于齒寬且保持固定，載荷與約束在正面與背面是一致的，為了在后續分析中得到更加精確的結果，軸的彈性模量遠大于齒輪的彈性模量。采用線性加載方式得到該單胞結構的應力-應變曲線，見圖3，從應力-應變曲線中可以得到該平面胞的彈性模量E_e 和變形量 y ，如圖4所示，其中調節周期 T 與支撐輪輻數量 N 的關系可表示為 T=2π/N ，此處即為 T=90^° ，彈性模量的調節范圍為14.4倍（從下限值 5.8GPa 到上限值 83.5GPa） ，當 α=0^° （或 α=90^°. 時，可以獲得最大的彈性模量，這一點主要是齒輪單元輪輻支撐的貢獻，由于齒輪間嚙合關系，彈性模量曲線前半周期與后半周期并不對稱。

此外，利用三維有限元對齒輪胞的剪切行為進行了仿真，得到材料的變形量 y 和剪切模量 G 隨齒輪轉角 α 的變化曲線，見圖5，其變化周期為90^° ，調節范圍達到2.4倍（從下限值 0.4GPa 到上限值 0.94GPa; ，與彈性模量曲線不同，當 α=0^° （或 α=90^° 時，剪切模量并沒有獲得最大值，但是剪切模量的最小值位置與彈性模量的最小值位置幾乎是一致的。

為了研究不同轉角 α 下二維外嚙合齒輪胞超結構的固有特性，圖6給出了外嚙合齒輪胞在不同角度下的四階約束模態，具體地，當轉角 α 增大，第四階固有頻率（即圖6中 f₄ ）降低，這說明通過轉動齒輪可以避開共振頻率，為避振結構設計提供了新的思路?；谀B疊加法分析了 2× 2外嚙合胞在不同角度下的頻幅響應，當 α=0^° ！

20^°?40^° 時，外嚙合齒輪胞超結構在前8階固有頻率范圍下掃頻分析所得到的頻幅響應曲線見圖7。結果表明，低頻激勵下， α=0^° 對應的結構頻幅特性穩定， α=20^°，40^° 時，在不同頻率區間出現帶隙，當 α 逐漸增大，頻輻響應曲線的第一個落差峰值逐漸前移，上述現象可解釋為：當 α 逐漸增大，行星輪逐漸遠離載荷點，此時超結構剛度逐步減小，根據固有頻率公式 ，在質量 Σ_m 不變的情況下，剛度 k 減小，固有頻率 f 降低，因此當超結構柔性增大時，頻幅特性曲線的第一個落差峰值前移。

2.2單胞內嚙合行星輪超結構力學性能

構型I中應用十字輪輻式外嚙合齒輪作為超結構的基本單元，但顯然由外嚙合齒輪單元組成的超結構在受到拉伸作用時不能保持穩定，只能應用于壓縮場景。為使齒輪超結構獲得更大的力學性能調節范圍，同時適應多種應用場景，引入行星齒輪作為超結構的基本單元，在超結構設計時，將行星齒輪的齒圈作為環形簡支梁，與之相嚙合的行星輪可以當作動態支點，在內嚙合行星齒輪中引入行星架以提高結構的穩定性；此外，舍棄太陽輪以減小結構質量，擴大齒間空間，利于安裝的同時可減少齒輪間的磨損與沖擊。

如圖8所示，單胞內嚙合超結構的齒圈外徑R=40mm ，通過改變行星架轉角 β （初始轉角β=0^°） 就可以實現超結構力學性能的連續調節。為了方便加載，在齒圈 y 軸方向設計平面凸臺，基于有限元法對行星齒輪單元進行 y 方向上的拉伸與壓縮模擬，圖9為不同的行星架轉角 β 下，單胞行星齒輪在多工況下（包括拉伸、壓縮和剪切）的變形云圖和應力云圖?；谟邢拊€性分析得到單胞行星齒輪的應力-應變曲線見圖10，圖11中的彈性模量曲線可以通過應力-應變曲線的斜率得到，單個行星胞的變形量 y 和剪切模量G 的變化見圖12。研究結果表明，內嚙合超結構的彈性模量與剪切模量調節周期為 180^° ，當行星輪位置靠近加載位置時，超結構的彈性模量顯著增大，而剪切模量顯著減小，這主要由兩者加載方式不同導致。

在不同的轉角 β 下單元胞的固有頻率會發生變化，如圖13所示。圖14計算了當行星架轉角β=0^°，30^°，45^° 三種角度時單胞行星齒輪在掃頻激勵下的頻幅響應曲線，可以看到三種角度下單胞結構的頻幅特性有顯著變化，與外嚙合齒輪超結構類似，當單元胞剛度較低時，圖14中第一個落差峰值前移；同時還注意到， β=0^° 時只有兩個帶隙，另外兩種角度下的單胞結構則有多個帶隙，因此，不同結構形態對應的應用場景有顯著區別。

基于單胞內嚙合行星齒輪超結構的拉壓、壓縮與剪切工況模擬可以看出，單胞行星齒輪的力學性能變化周期為 180^° ，同時，比十字輪輻式齒輪單元的調節范圍更大，其中彈性模量的調節范圍達到268倍（從下限值 0.22GPa 到上限值59GPa） ，剪切模量的調節范圍為4.5倍（從下限值 到上限值 0.36GPa） 。但需要注意的是，彈性模量 E_e 在行星架轉角位于 0^°～30^° 、150^°～180^° 區間內變化顯著，在其他區間變化較小，而剪切模量 G 在行星架轉角位于 60^°～100^° 區間內變化顯著，其他區間變化較小，因此，使用多齒、小模數的傳動齒輪有助于精確調節。同時，為保證能得到較大的彈性模量，行星齒輪的個數應設置為偶數，而行星架的結構決定了超結構的力學性能峰值及整個超結構的承載能力。

2.3 多胞內嚙合行星輪超結構力學性能

在單胞行星齒輪的基礎上進行二維堆疊可以得到多胞行星齒輪超結構。圖15所示為 3×3 的行星胞齒輪超結構，相鄰齒圈之間經凸臺連接成為整體，沿 y 軸上設置有承載平臺，與單胞行星齒輪不同的是，每個行星架上連接一個外嚙合傳動齒輪，以實現組合行星胞中行星架同時轉動γ角（或一γ角），然后基于有限元法對行星胞的拉伸、壓縮與剪切工況進行模擬，分析行星胞的力學特性，需要說明的是，由于外嚙合直齒輪只起驅動作用，因此沒有將其納人有限元分析中。

在線性加載的情況下模擬了多胞行星齒輪的變形量 y 和彈性模量 E_e 隨轉角γ變化的曲線，見圖16，發現多胞行星齒輪的拉伸-壓縮行為與單胞內嚙合行星超結構類似，當γ為 0^°～30^° 時，彈性模量 E_e 隨 γ 增大而迅速減小，當γ為 150^°～ 180^° 時，彈性模量 E_e 隨 γ 增大而迅速增大，對應的彈性模量調節范圍達到231倍（從上限值0.25GPa 到下限值 57.8GPa） ，在其他位置，彈性模量數值來回跳動，但變化較小。這是由于行星胞在二維平面內與單個行星齒輪單元具有串并聯的關系，因此可以推測，由這種行星齒輪單元組成的二維 為胞元個數）行星胞與單胞行星輪的拉伸-壓縮行為是一致的，而它們在數值上的差異歸因于齒圈單元的連接方式以及裝配誤差。

圖17為基于有限元法得到的二維行星胞的變形量 y 和剪切模量 G 隨行星架轉角γ的變化關系曲線，與單個行星胞相比，盡管剪切模量 G 取得最大值的位置是一致的，但是它們隨 γ 角變化趨勢是明顯不同的，多胞行星齒輪超結構的剪切模量 G 調節范圍為4倍（從下限值 到上限值 。由掃頻分析計算得到的頻幅響應曲線見圖18，本文選取了3個角度作為對比（γ=30^°，45^°，50^°） ，可以看到，角度γ增大使得第1個落差峰值頻率（即第四階固有頻率）降低，但3種角度下結構的帶隙基本一致；同時還注意到，γ從 30^° 增大到 45^° 時，頻幅響應曲線變化較小，但γ=50^° 時，頻幅曲線在低頻區間有顯著波峰，說明頻幅曲線也存在快速變化區間，并且該區間與 E_e 和 G 快速變化區間不同。

3齒輪超結構在減振領域的應用前景

將機械超結構應用到減振設備中，一方面要保證原結構有足夠的強度，同時還要賦予結構力學性能連續可調的能力，以提高原設備的穩定性與適應性。本文所設計的齒輪機械超結構可保持穩定性、強度和高承載能力，同時具有原位可調性，可編程性強且易于實現。齒輪組提供了廣闊的設計空間，允許超結構的可定制性能，除已研究的彈性模量、形狀變形和剪切模量外，可調性還可擴展到其他彈性性能，如沖擊保護、泊松比、強度、變形模式甚至阻尼系數。通過高分辨率和大規模3D打印，可以將齒輪基超結構進一步制造與集成。以齒輪構建的減振裝置在智能與自適應設備中具有獨特優勢。

如圖19a所示，以外嚙合齒輪胞為核心元素，設計了用于裝配的輔助框架和對應的承載平板，形成適合平面結構減振的超結構，如將其應用在減振地基中。如圖19b所示，分別將輔助框架設計成平面結構、弧形結構，其內部裝配多組經齒形優化的內嚙合行星齒輪[14]，通過調節行星齒輪的位置，使框架具備連續調節的力學性能，從而提高了齒輪超結構在各種結構中的適用性。此外，齒輪機械超結構在機器人等智能設備領域具備廣闊的應用前景。例如，在機器人的腿部軀干上應用這種超結構可以有效減少執行跳躍任務時的大幅振動。同樣，將這種超結構應用在機器人關節處可以增強其對頻繁肢體擺動和扭轉的適應性，通過主動調節重新配置系統參數，進而優化系統動態性能[15]。圖19c中，利用多組外嚙合齒輪演示了多源調節，實現了更精確的調節能力，中間的圓孔提高了減振結構的裝配性能，為超結構的減振設計帶來了更多可能性。人工智能的不斷發展將加速齒輪力學可調超結構實現智能化和自適應，進一步增強其在各種設備中的功能性與適應性。

4結論

基于齒輪的強耦合和內置可變性，使用輪輻式齒輪和內嚙合行星齒輪作為核心組成元素，提出一種可編程性能裝置的非傳統設計方案，為機械超結構的設計拓寬道路，結論如下：

（1）基于齒輪元胞的機械超結構能夠實現力學性能的連續穩態調節，這種調節方式是有源主動的，并且得益于齒輪的穩定傳動，因此齒輪元胞超結構具備良好的動態穩定性。

（2）所設計的兩種齒輪超結構具有相當可觀的性能調節范圍，十字輪輻式齒輪胞的彈性模量調節范圍為14.4倍，其剪切模量調節范圍達到了2.4倍；單個行星齒輪元胞和由其組成的行星齒輪晶胞具有相近的拉-壓性能，它們的彈性模量調節范圍分別達到268倍和231倍，對應的剪切模量調節范圍為4.5倍和4倍。

（3）基于模態分析發現三種微觀齒輪單元的固有特性是連續可調的，通過形態的變化可以實現齒輪胞固有頻率和模態的調節，此外，齒輪機械超結構在激勵下的頻幅響應是不同的，這為避振、減振裝置的設計提供了新的思路。

（4）由微觀齒輪單元構成的機械超結構具有廣闊的潛在應用，通過調整齒輪的結構、尺寸，合理設計輔助框架，可以設計出多種減振裝置，從而幫助更多智能設備實現減振及動態性能優化。

參考文獻：

[1]LEVINEDJ，TURNERKT，PIKULJH.Materials with Electroprogrammable Stiffness [J]. Advanced Materials，2021，33（35）：2007952.

[2]ZHENG X Y，LEE H，WEISGRABER T H，et al. Ultralight，Ultrastiff Mechanical Metamaterials[J]. Science，2014，344：1373-1377.

[3]HAN Zhengtong，WEI Kai. Multi-material Topology Optimization and Additive Manufacturing for Metamaterials Incorporating Double Negative Indexes of Poisson's Ratio and Thermal Expansion[J]. Additive Manufacturing，2022，54：102742.

[4]GAO Jie， WANG Lin， XIAO Mi， et al. An Isogeometric Approach to Topological Optimization Design of Auxetic Composites with Tri-material Micro architectures[J]. Composite Structures，2O21，271： 114163.

[5]CHENG Xian， ZHANG Yi，REN Xin，et al. Design and Mechanical Characteristics of Auxetic Metamaterial with Tunable Stiffness [J]. International Journal of Mechanical Sciences，2O22，223： 107286.

[6]程基彬，戴寧，郭培，等.基于力學超材料的柔性機械 臂設計技術[J].中國機械工程，2023，34（16）：1900- 1906. CHENG Jibin，DAI Ning GUO Pei，et al. Design Techniques of Soft Robot Arms Based on Mechanics Metamaterials [J]. China Mechanical Enginering 2023，34（16） ：1900-1906.

[7]GAO Jie，CAO Xiaofei，XIAO Mi，et al. Rational Designs of Mechanical Metamaterials：Formula tions，Architectures， Tessellations and Prospects [J].Materials Science and Engineering：R：Reports， 2023，156：100755.

[8]JIJC，LUO Q T，YE K.Vibration Control Based Metamaterials and Origami Structures：a State-ofthe-art Review[J]. Mechanical Systems and Signal Processing，2021，161：107945.

[9]MAO Jiajia，WANG Shuai， TAN Wen，et al. Modular Multistable with Reprogrammable Mechanical Properties[J]. Engineering Structures，2022，272： 114976.

[10]ZHANG Xiangyu，REN Xin， ZHANG Yi，et al. A Novel Auxetic Metamaterial with Enhanced Me chanical Properties and Tunable Auxeticity [J]. Thin-Walled Structures，2022，174：109162.

[11] TAO Ran，CHEN Yu，ZHI Geng， et al. Three- phase Soft Mechanical Metamaterials for Tunable Negative Expansion Deformation and Bandgaps[J]. Composite Structures，2024，329：117808.

[12] FANG Xin，WEN Jihong，CHENG Li，et al. Pro-grammable Gear-based Mechanical Metamaterials[J].Nature Materials，2022，21（8）：869-876.

[13] MEEUSSEN A S，PAULOSE J，VITELLI V. Geared Topological Metamaterials with Tunable Mechanical Stability[J].Physical Review X，2016，6（4）：041029.

[14] 莫帥，王賽賽，劉志鵬，等.內齒輪剮齒刀具設計及 齒形優化[J].華中科技大學學報（自然科學版），2023，51（2）：146-152.MO Shuai， WANG Saisai，LIU Zhipeng， et al. Tool Design and Profile Optimization of Internal Gear Skiving[J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology（Natural Science Edi- tion），2023，51（2）：146-152.

[15] 莫帥，周長鵬，王檑，等.機器人關節裂紋傳動系統 機電耦合動態特性研究[J].機械工程學報，2022，58（19）：57-67.MO Shuai，ZHOUChangpeng，WANG Lei， et al. Research on Dynamic Characteristics of Electrome- chanical Coupling of Robot Joint Crack Transmis- sion System[J]. Journal of Mechanical Engineer- ing，2022，58（19）：57-67.

（編輯胡佳慧）

作者簡介：莫帥”，男，1987年生，教授，博士研究生導師。研究方向為力學超材料設計及復雜非線性動力學。E-mail： moshuai2010@163.com。本文引用格式：

莫帥，黃軒，黃祖瑞，等.連續多穩態齒輪元胞機械超結構及其力學性能[J].中國機械工程，2025，36（4）：882-887.

MO Shuai，HUANGXuan，HUANG Zurui， et al. Continuous Multi-stable Gear Cell Mechanical Metastructures and Mechanics Properties[J].China Mechanical Engineering，2025，36（4）：882-887.