基于知情構造理論的單材料柔性機構拓撲優化

關鍵詞：知情構造理論；柔性機構;拓撲優化；材料屬性描述

中圖分類號：TB472

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.025 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Topology Optimization of Single Material Flexible Mechanisms Based on Informed Tectonics Theory

SU Ke^1? WANG Ying1LIANG Tengteng1 WEI Yili2 ZHANG Nannan2 1.School of Art and Design，Qilu University of Technology（Shandong Academy of Sciences）， Jinan，250353 2.Weihai Guangtai Airport Equipment Co.，Ltd.，Weihai，Shandong，264200

Abstract： In the topology optimization proceses，the number of subdomains would increase，so that the material distribution would occur at the junctions between the outer diameter and the inner diameter，and the too little optimization spaces in the subdomain of topology design would affect the overall performance of the structures. Therefore，the topological optimization models of single material flexible mechanisms were proposed based on the ITT. Through the description of material properties and attribute parameter calculation，the models made the value of the design subdomain number on the basis of adapting to the material characteristics and distribution of materials，so as to ensure that the structures had enough optimization spaces. Aiming at the maximum geometric gain of the mechanisms，the topological optimization models of single material flexible mechanisms were established based on the element-free Galerkin（EFG）.In the topology optimization processes，the grid-fess Galerkin method was introduced to construct the EFG relative density field，and the EFG nodes in the design domain were used to construct the deformation function. Under the conditions that the material properties were effectively described in advance，the nodes might be flexibly arranged，so as to avoid the phenomenon of numerical instability，which might affect the performance optimization effectiveness. The typical analysis examples demonstrate the effectiveness of the proposed method.

Key words： informed tectonics theory（ITT）； flexible mechanism；; topology optimization; material property description

0 引言

柔性機構是指能夠通過自身的可彎曲柔順性來完成某一特定任務的結構，這種具有自身變形特性的現象在自然界中也能大量發現，如人的心臟、蜜蜂的翅膀、大象的鼻子，都是通過自身柔順性來實現特定任務的“柔性機構”1]。研究人員的對比研究表明，相較于傳統剛體機構，柔性機構具有無摩擦、無間隙、免裝配、輕量化、降噪性、易于小型化等特點，已被應用在微電子裝配、仿生機器人、生物醫療設備以及超精密定位等領域[2-3]

拓撲優化為柔性機構的主要設計方法之一，研究人員對柔性機構的拓撲優化設計進行了大量研究。LARSEN等[4]提出以幾何增益與機械增益的最小誤差在規定范圍內為目標構建函數，對柔性機構設計的多輸出問題進行了研究。朱本亮[5]提出的矯正構造方法和敏度過濾方法提高了水平集法的計算效率。甘為等[針對柔性機構的穩定性要求，研究了屈曲約束下無鉸鏈多輸入多輸出柔性機構柔度最小化的拓撲優化問題。然而，上述方法均在拓撲優化過程中使用了網格法，這種方法的計算精度依賴網格的類型和質量，利用網格局部近似經常出現誤差，在計算過程中易出現數值不穩定的現象，并且在分析結構變形等問題時需要反復地進行網格劃分，影響計算效率[7]。

目前，無網格法已廣泛應用于拓撲優化等領域，該方法通過用節點離散設計域來擺脫網格的束縛，得以確保相對密度場的高階連續性，從而使相對密度場的平滑度有所提高，這種方法能夠有效抑制如棋盤格、中間密度材料等數值計算不穩定的現象。無網格法中最成熟的一種方法為無網格伽遼金（element-freeGalerkin，EFG）法。龔曙光等8基于EFG法建立了多載荷工況下的連續體結構拓撲優化模型，解決了非線性超彈性結構的位移問題。ZHANG等[9提出了基于EFG的拓撲優化設計方法，并實現了EFG法與FEM的直接耦合，從而使計算效率得以提高。杜義賢等[10]提出了基于節點密度的自適應EFG 法拓撲優化方法，減少了結構分析和優化的設計變量數目，提高了優化效率，又將EFG法與拓撲優化理論相結合提出了反向器的拓撲優化設計方法[11]。ZHAO[12基于EFG法和變密度法，以節點相對密度為設計變量建立了規定柔度最小的連續體結構拓撲優化模型。KHAN等[13]基于EFG 法和水平集法（LSM建立了針對二維線性彈性問題的拓撲優化模型，并利用該模型進行拓撲優化設計從而驗證模型的可行性。 Z_HAO^[14] 基于一種改進的無網格密度變量逼近方法與雙向漸進結構優化法（BESO）的結合建立了連續體結構拓撲優化模型。SHOBEIRI[15]基于EFG 法和 BESO 法求解了規定柔度最小的含裂紋結構拓撲優化問題，并對裂紋尺寸和位置對拓撲優化結果產生的影響進行了分析。上述研究基本都是將EFG 法直接應用于結構的拓撲優化中，缺少基于無網格法的拓撲優化過程中設計子域數增加問題的解決方式，無法使設計域內的每種材料都能在拓撲優化模型求解前被有效描述，導致拓撲結構因設計子域數過多致使設計子域內優化空間過少，最終結構的整體性能變差[16]。

知情構造理論作為基于材料的設計中心概念已在建筑設計、工業設計等領域得到廣泛應用，該理論是由Oxman在建筑理論領域的基于材料的設計中提出的[17]。知情構造強調從材料角度入手，通過系統化的數據計算，融合產品形式和結構來進行產品創新設計[18-19]。基于知情構造理論進行的拓撲優化設計能夠在前處理階段優先確定材料屬性，并對其相關邊界條件、疲勞性能進行有效描述與分析，使拓撲優化過程中設計子域數的取值在適應材料特征與分布的基礎上進行，以確保優化過程中柔性機構具有足夠的優化空間，進而保證最終生成結構的整體性能[20-21]

基于此，本文提出一種基于知情構造理論的單材料柔性機構拓撲優化方法，并將EFG法引入結構的拓撲優化設計中，利用EFG節點離散設計域，避免出現因對網格的依賴性而造成的數值不穩定現象。以機構的幾何增益最大為目標，構建基于EFG法的單材料柔性機構拓撲優化方法，在結構拓撲優化的初始階段對材料的特征與分布進行描述和計算，使設計子域數的定義在合理范圍內取值，避免拓撲優化過程中設計域內優化空間過少的問題，從而保證性能優化效果。

1知情構造理論在柔性機構拓撲優化設計的應用方式

基于知情構造理論的單材料柔性機構拓撲優化方法的詳細過程如圖1所示。為了解決前述采用EFG法的拓撲優化模型的局限性，本文基于知情構造理論的材料屬性描述通過基于單元堆積法的多相材料插值模型來完成。在設計域內定義每一單元的每一相材料對應一個單元剛度，進而完成對材料相關邊界條件的描述。基于單元堆積法的多相材料插值模型描述為 （204號 （1）式中： 為單元 α_a 的剛度矩陣； 為充滿第 i 相材料的單元剛度矩陣； n 為材料相的編號； x 為設計變量； x_a，i ！x_a，j 分別為單元 a 對應于第 i 相材料和第 j 相材料的設計變量； q₁…q₂ 均為懲罰系數； D_m 為選用多相材料的數目。

考慮到實際工作中柔性機構需承受多次往復運動，交變應力易導致機構發生疲勞損傷或失效，所以柔性機構的優化設計應考慮疲勞性能，即根據材料的疲勞強度指數、疲勞強度系數以及屈服

強度等數值信息對柔性機構進行疲勞分析。將柔性機構疲勞壽命與應力幅值、應變幅值等恒幅交變載荷相關聯，用應變幅值與壽命之間的關系來表征材料疲勞性能。一般采用Coffin-Manson關系式來表達應變幅值 ε_a 與壽命之間的關系：

式中： 分別為疲勞強度系數、疲勞延性系數、疲勞強度指數、疲勞延性指數，是描述應變幅值與壽命之間關系的擬合參數;2N為材料在交變載荷作用下的循環反復數； E 為材料在交變載荷作用下的應力應變關系比值。

采用平均應力模型Walker模型將應力峰值與應力幅值整合為一個等效應力 σ_eq ，再為等效應力與柔性機構疲勞壽命建立聯系，以用于后續的拓撲優化設計，Walker模型表達式為

σ_eq=σ_max^1-yσ_a^y

式中： σ_max?σ_a 分別為應力峰值和應力幅值； y 為疲勞性指數。

在對材料屬性進行描述后，利用EFG節點離散設計域及其邊界，將整個設計域劃分為設計子域和子域連接邊界。設計子域個數為 C_x×C_y ，C_x 和 C_y 分別代表 x，y 兩個方向上設計子域個數;設計子域內的節點數量為 H_x×H_y×H_x 和H_y 分別為設計子域內 x，y 兩個方向上的的節點個數；采用 r_?s 表示節點相對密度， r 為設計子域及連接邊界的編號， s 為設計子域及連接邊界內節點的編號，各設計子域及連接邊界內對應位置處節點編號相同。在對材料屬性進行描述以及劃分設計子域后設定EFG節點相對密度作為設計變量，設計子域、連接邊界節點與相對密度值和移動最小二乘函數（movingleast squares，MLS）形函數的關系表達式如下：

其中， ρ_r，g 為節點 r 和方向 g 相關的密度值; g 為空間方向的索引； ρ_r，s、φ_r，_s分別為第 r 個設計子域內及連接邊界上第 s 個節點的相對密度值和MLS形函數，MLS形函數表示的是計算點 x 時的鄰域內局部近似； IQ 為支持域內的節點數量。

利用固體各向同性材料懲罰模型（SIMP）對柔性機構材料彈性模量 E（x） 進行插值處理，設定最大允許體積分數值和最小允許體積分數值，表達式如下：

式中： q 為彈性模量的懲罰因子； E_?0 為初始彈性模量；C（x） 為目標函數； 為輸人力作用下的全局位移矢量； 為輸出力作用下的全局位移矢量； 為全局剛度矩陣；F 為全局力矢量； x 為設計變量矢量； x_min??x_max 分別為最小允許相對密度值向量和最大允許相對密度值向量； 分別為設計結構的總體積和材料充滿整個設計域下的總體積； c 為體積分數； 表示矩陣運算的形式。

在使用SIMP模型對材料彈性模量插值處理后，整體力剛度矩陣轉變為

式中： k_cIJ 為分子矩陣; I?J 為矩陣的行列索引； 為設計域； 為函數導數矩陣； T_s 為坐標轉換矩陣； 為轉置矩陣。

2EFG法求解基于知情構造理論的柔性 機構拓撲優化模型

2.1 EFG法建立柔性機構拓撲優化模型

由于柔性機構須同時滿足柔性和剛性的需求以承受載荷并得到預定的位移傳遞，因此，在柔順機構拓撲優化模型中需通過在輸出端固定一個已知剛度的彈簧來模擬工件與柔順機構之間的相互作用，并且在建立基于EFG法的柔性機構拓撲優化模型的過程中，需要對材料的彈性模量施加一定的約束條件，通過定義機構輸出端位移傳遞和剛度特性變化的優化目標函數來實現柔性機構的拓撲優化設計。

根據知情構造的基本思想，將材料疲勞強度系數的峰值與幅值描述為一個等效應力，并與柔性機構疲勞性能建立聯系，以EFG節點相對密度為設計變量，以結構柔度為目標函數，在體積以及式（3）表述的疲勞性能作為約束條件下，建立基于EFG法的柔性機構多目標拓撲優化模型：

ρ_1，j=ρ_2，j=…=ρ_{（Cx+1）（Cy+1），j}

0lt;ρ_min?ρ_i，j?ρ_max?1

i=1，2，…，C_s+1;j=1，2，…，n

C_s+1=（C_x+1）（C_y+1）n=H_xH_y

式中： 為整體承受力的載荷均值； 為總外力向量； d_s 為位移矢量； 為節點密度均值； 為節點位移列向量； 、k_fα 為整體力剛度矩陣及其懲罰項； 為位移參數列矢量；F，F_α 分別為整體力載荷列矢量及其懲罰項； C_max 為迭代過程中的最大柔度； ρ_min 為最小節點相對密度值; maxs= 表示柔性機構輸出端的位移最大值； V 和 V₁ 為優化后和優化前的材料體積； c 為指定的材料體積分數。

2.2 靈敏度分析

采用伴隨法以柔性結構的輸出位移最大為式（8）的目標函數進行靈敏度分析。EFG法將設計變量離散到EFG節點上，目標函數對設計變量的靈敏度可表示為

求解 的值使得下式成立：

式中： 為極值乘子向量； L 為伴隨列向量（除了在輸出點處的相應分量值設為1外，其他節點值均為0）； 為結構載荷殘差； σ_ρi 為EFG節點 i 處的離散密度值。

根據SIMP模型進行值的替換求得 ，將 的值代入式（9），目標函數的靈敏度值可以表示為

2.3 優化求解

將目標函數靈敏度代入優化準則的迭代公式中，按照優化準則對設計變量進行懲罰或極化并使保留下來的單元結構繼續參與迭代優化。根據迭代準則判斷是否收斂于最優解，若收斂則輸出最優結果，否則轉到有限元分析，繼續迭代。

以材料疲勞性能、應力信息和邊界構造方式等設計信息為指導最終生成優化結構，并根據優化結果在柔性機構層面上對材料的用量比、體積分布、表面處理等變量做出規劃設計，以生成滿足設計目標的產品結構。

3 應用實例

以應用于某機場電動行李牽引車的反向器為例，對本文提出的基于知情構造理論的柔性機構拓撲優化設計方法進行驗證。該反向器的作用是實現樣機試驗的降損，降低樣機的破壞性。該電動行李牽引車主要技術參數如表1所示。設計材料確定為彈簧鋼60Si2Mn（GB/T1222—87），其密度為 7850kg/m³ ，彈性模量為 210GPa ，泊松比為0.3，拉伸強度為 1.275MPa ，屈服強度為1.18MPa 。對材料屬性進行描述后，根據牽引車技術參數和工作條件對反向器施加一定載荷，對機構各局部如曲軸、固定處、臂和機構整體進行變形分析與應力分析，然后利用求解出的相關數值對反向器整體進行拓撲優化分析，實現結構性能與質量等方面的優化，再與傳統無網格法條件下進行的拓撲優化結果進行對比分析。

3.1 材料描述與賦予

根據彈簧鋼的彈性模量 210GPa 、泊松比0.3，反向器的設計域、邊界條件以及輸入力與輸出力的作用如圖2所示。設計域的總體尺寸L₁×L₂=120mm×100mm ，施加載荷 F₁ 和 F₂ 大小為 500N ，分別作用于左上端的垂直方向和水平方向，輸入 F₁ 在右下端產生水平方向的預定位移 U₁ ，輸人 F₂ 在右下端產生垂直方向的預定位移 U₂ 。彈簧鋼材料的最小體積分數為0.4。

彈簧鋼 60Si2Mn 的材料疲勞性能用應變幅值與壽命之間的關系（即 ε-N 曲線）表示，如圖3所示，使用Walker模型將應力峰值與應力幅值整合為等效應力，作用載荷的大小為 F_max=1.5 N，F_min=-0.9N 。

反向器模型的創建秉承精簡化原則，使用Proe/E|CREO軟件構建的應用于牽引車樣機試驗中的反向器模型來最終建模。在草圖的繪制過程中首先將 mm 設定為系統的初設單位，便于提高模型的精度。同時在建立反向器參數化模型之前對其整體進行一定程度的簡化，降低模型建立的難度，便于后續的結構優化設計。在對參數化模型進行有限元分析之前，將構建好的反向器模型在ANSYSWorkbench的Geometry模塊完成導入，如圖4所示。基于材料的描述信息在AN-SYS中進行材料屬性參數賦予。

3.2 模型仿真分析

設計域的劃分與分析結果的準確性密切相關，模型劃分設計域后生成的單元和節點的數量將影響計算速度和計算規模。在對材料屬性進行描述后，利用EFG節點離散設計域及其邊界，將整個設計域劃分為設計子域和子域連接邊界。劃分設計域時要綜合考慮計算結果的準確性和計算效率兩個因素，前處理中對材料的有效描述將會使設計域的劃分更為合理。在設計域劃分過程中需對曲軸等重要的危險部位進行細化，如過渡圓角處，對非重要部位則反之，通過合理地細化反向器主要結構部位可以有效提高計算效率且計算結果較為精確。劃分設計域后的曲軸系模型有23725個節點和3958個設計子域單元，設計域劃分結果可用于后續的結構分析。

約束的施加是否合理將直接影響計算結果的準確性，不同的約束條件，結果相差很大。在該模型下邊兩小孔內壁處施加固定約束，約束添加結果如圖5a所示的藍色區域。以該電動行李牽引車的最大牽引力 24.88kN 、許可牽引質量20000kg 等技術參數為依據，預設牽引車內該反向器數量為 70～90 個，在反向器模型的上頂面施加沿著-Y 方向的 500N 載荷，載荷添加結果如圖5b所示的紅色區域。

3.2.1 曲軸

對反向器主要結構部位進行逐一分析，圖6為模型曲軸處及其變形結果云圖。對模型進行設計域劃分后該處具有9090個節點和1508個單元。由圖6可以看出，在力的作用下，該部位總體處于最大變形位置，其中過渡圓角處為變形數值峰值，達到 0.005 58mm ，過渡臂一處變形數值為0.00310mm ，屬曲軸處變形數值最小處。圖7為曲軸處應力云圖，折彎圓弧處為最大應力位置，應力數值達到 0.434MPa 。綜上，模型該部位強度符合要求。

3.2.2 固定處

模型下端小孔處在實際牽引車內部零件裝配中，需與其他部件進行連接，故在此處施加固定約束，圖8為該處建模細節及其施加載荷與約束后

的變形結果云圖。該處完成設計域的劃分后具有6498個節點和1076個單元。如圖8所示，在力的作用下，該部位總體未發生變形，符合工況條件下對該固定處的穩定性要求。圖9為固定處應力云圖，最大應力位置為臂底部銜接處，數值為0.096MPa ，未對工況條件要求下的固定處穩定性產生消極影響。由此，該部位符合強度要求。

3.2.3 支撐臂

圖10為支撐臂建模細節及其施加載荷與約束后的變形結果云圖。該處完成設計域的劃分后具有8137個節點和1374個單元。從圖10中可以看出，在力的作用下，上支撐臂由臂中心到曲軸處延伸的變形數值呈增大趨勢，其中曲軸過渡處為變形最高數值 0.004 96mm ，最小變形位置的臂中處變形數值為 0.003 10mm ；下支撐臂沿曲軸過渡處至固定處的變形數值呈減小趨勢，其中最大變形數值為 0.00372mm ，銜接固定處部位未發生變形情況，符合工況條件下的穩定性要求。圖11為上下支撐臂兩處應力云圖，最大應力位置為銜接固定處，為 0.096MPa ，總體未出現明顯尺寸突變。綜上所述，該部位符合強度要求。

3.2.4 機構整體

最后對反向器整體進行變形與應力分析，圖12a為提取的整體模型的變形結果云圖，可以看出，在力的作用下，整體模型的最大變形數值為0.005 58mm ，位于模型中部折彎處，同時可以由圖得知模型固定處未出現變形情況，保證了零件在實際工況條件下的連接穩定性。圖12b為提取的模型應力結果云圖，可以看出，最大應力數值為0.434MPa ，位于模型的折彎圓弧處，該處存在尺寸突變。該模型總體上既滿足了變形要求，又符合穩定性要求，強度能夠達到工況條件下標準。

3.3 拓撲優化

根據前述模型局部以及整體的靜力學分析結果，該模型在受力之后的變形以及應力都較小，變形位置比較少且相對集中，模型整體有很大的冗余，遠小于該結構材料的強度與剛度，因此接下來需要利用本文提出的基于知情構造理論的柔性機構拓撲優化方法進行優化設計，使該模型在滿足強度與剛度的情況下減小模型質量，節省材料，使牽引車整體得以減重。

設置該模型的拓撲優化區域為除去載荷施加面以及約束施加面的其余區域，為實現該結構的減重，以結構柔度為優化目標，并給定質量分數m=0.4 和疲勞性能作為約束條件，經過11次的迭代，拓撲優化達到收斂，獲得優化后的結構。在SCDM軟件中對該模型進行重構，模型重構結果如圖13a所示。仍以牽引車的主要技術參數為依據，在反向器模型的頂面沿著一Y施加 500N 的力，并在模型的底部兩個小孔內表面施加固定約束，載荷與約束施加結果如圖13b所示。

拓撲優化后模型重構的再分析如圖14所示。拓撲優化后，模型的質量只是原來的0.42，接近0.4；模型的變形為 0.000 15mm ，滿足剛度要求；應力數值為 0.0049MPa ，強度滿足要求。通過拓撲優化，達到了減重的目的。根據仿真設計數據，相比于傳統無網格法，基于知情構造理論的柔性機構拓撲優化方法在前處理階段采用基于單元堆積法的多相材料插值模型對材料進行有效描述，在同樣滿足剛度與強度的設計需求前提下，設計結果更能滿足結構輕量化的需求，在達成減重目的的同時節省了材料的使用。

表2所示為基于知情構造理論的拓撲優化方法與傳統無網格法的反向器優化設計結果對比。相較于傳統無網格法，基于知情構造理論的拓撲優化方法在前處理階段使設計子域單元數量減少約 50% ，有效抑制了因設計子域數過多致使設計子域內優化空間過少的現象，使結構具備了充足的優化空間，最終所獲得的結構拓撲構型能夠同時滿足結構柔度和質量多性能指標的要求，在整體穩定性不受影響的前提下模型質量減小到優化前質量的 42% ，實現了結構的輕量化。

4結論

為使優化結構的設計子域數的取值在適應材料特征與分布的基礎上進行，保證結構具有足夠的優化空間，基于知情構造理論提出單材料柔性機構拓撲優化模型。該模型以材料特性為依據、以材料屬性計算為基礎，以機構的幾何增益最大為目標，建立基于EFG法的單材料柔性機構拓撲優化模型，為產品質量、性能等方面的優化設計提供了一種可行的設計方法。通過在前處理階段使設計子域單元數量減少約 50% ，有效地緩解了因子域數量過多導致的優化空間設定問題。以應用于某型號機場電動行李牽引車的反向器為例進行驗證，并將模型質量減小到優化前質量的 42% ，實現了結構的輕量化。本文研究針對的對象主要是柔性機構，并在其中成功驗證了方法的有效性。這種方法在所有的結構類型中是否全部適用，在其他特殊類型的結構中進行運用時是否存在一定的偏差，仍需在之后的研究中作進一步的探討、驗證。

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（編輯袁興玲）

作者簡介：蘇珂*，女，1980年生，博士研究生。研究方向為產品創新設計。E-mail：coco_su0716@163.com。

本文引用格式：

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