奧運五環(huán)的數(shù)學(xué)之美

又是一年暑假了。

記得去年暑假里，我和弟弟興致勃勃地看了奧運會不少比賽我還寫了好幾篇日記呢。

今天，我又一次翻出去年寫的那些日記，和弟弟一起回顧起來。

“哥哥你看，”弟弟一邊用手在紙上描，一邊說，“奧運五環(huán)，每個環(huán)顏色都不一樣，為什么呢？”

我撓撓頭一一我知道奧運五環(huán)分別是紅、黃、綠、藍、黑色，但為什么是這5種顏色，我還真沒了解過。

查閱了一些資料，我們這才知道：

奧運五環(huán)是由現(xiàn)代奧運會的創(chuàng)始人皮埃爾·德·顧拜旦在1913年設(shè)計的。這5種顏色就代表了5個洲：藍色代表歐洲，黃色代表亞洲，黑色代表非洲，綠色代表大洋洲，紅色代表美洲。這5個圓環(huán)相互連接，代表世界上所有的國家和人民，無論膚色、語言和文化，都能在奧林匹克運動會上和平相聚。

弟弟被這簡單而充滿寓意的五環(huán)圖吸引了，拿著筆在紙上畫起來。沒畫一會兒，他又問：“哥哥，這個圖形沒有斷開的地方，可不可以一筆畫出來呢？”

“是個好問題，但是有點難，咱們試試看吧！既然是5個環(huán)，那從少到多，一個一個往上加著畫。”

一個圓環(huán)：

不管是順時針還是逆時針，都能很輕易地畫出。

為了方便，我用“·”表示開始的位置，用 \"\" 表示方向。

兩個圓環(huán)：

這樣的情況有很多，比如起點在上交點、下交點，或不在交點上，方向可以順時針，也可以逆時針。

我和弟弟試了幾種，都能輕松地畫出來。

兩個環(huán)

三個圓環(huán)：

在畫這個部分時，我和弟弟一開始有些無從下手。

但仔細觀察畫兩個圓環(huán)時的第三幅圖，我們發(fā)現(xiàn)，起點可以是交點，也可以不是交點。

起點是交點時，先畫右邊兩個圓環(huán)，再往左畫一個圓環(huán)，這樣就可以做到一筆畫出三個環(huán)： 三個環(huán)

試過之后，弟弟說：“哥哥，你畫右邊兩個圓時，畫出來的軌跡好有趣，就像在坐過山車。”

我仔細一想：果然很像！“過山車”的數(shù)量能不能更多呢？我又嘗試著從最左邊開始畫：

也成功畫出！

四個圓環(huán)：

按照從兩個圓環(huán)到三個圓環(huán)的畫法，我倆很容易就用“過山車”畫法把四個圓環(huán)畫出來了。當然，起點也有兩種。

四個環(huán)

五個圓環(huán)：

以此類推，五個圓環(huán)也不難畫。雖然起點的位置不一樣，但每個圖都可以一筆畫出，“過山車”的畫法依舊發(fā)揮了作用。

五個環(huán)

弟弟開心地拍著手說：“哥哥，別說畫五環(huán)了，用‘過山車'的畫法，畫一百個環(huán)都可以呀！

“不不不，”我搖搖頭，“別高興得太早，我們的目標不是畫一百個環(huán)。現(xiàn)在畫出來的圖雖然有五個環(huán)，但不是奧運五環(huán)啊。奧運五環(huán)是三個環(huán)在上面，兩個環(huán)在下面，要畫得又圓又準確，可不容易哦。\"

說一百句也不如動一下筆頭，趕緊來試試看：

嘗試多次后，我倆成功畫出了奧運五環(huán)！

弟弟興奮極了：“現(xiàn)在我們畫一百個環(huán)、一干個環(huán)也行了！

Tips：

后來，我請教了數(shù)學(xué)老師，老師告訴我，判斷一個圖形是否可以一筆畫出，關(guān)鍵在于計算圖形的奇點數(shù)。奇點是指從該點出發(fā)的線條數(shù)為奇數(shù)的點，包括端點。如果一個圖形中的奇點數(shù)為0或2，該圖形就可以一筆畫出；如果奇點數(shù)大于2，該圖形不能一筆畫出，筆畫數(shù)等于奇點數(shù)除以2。這就是歐拉定理。

媽媽聽到了弟弟興奮的聲音，走過來一看，神秘地笑了笑，又給我們出了道難題：

把 1～9 這9個數(shù)字填入奧運五環(huán)圖中的九個空白處（下圖a～i），使每個圓內(nèi)數(shù)字之和都相等。這些數(shù)最小的和是多少？最大的和是多少？

弟弟首先有了想法：“五環(huán)沿著線剪開，正好被分成9塊，每塊中填一個數(shù)，這樣不重復(fù)。

我緊皺眉頭：“題目中說，每個圓內(nèi)數(shù)字之和都要相等。但有的圓是由兩塊組成的，比如最左和最右的兩個圓；有的是由三塊組成的，比如中間的三個圓。這樣在相加的時候，不就算了兩次嘛！”

媽媽笑笑說：“不錯啊，挺會思考。接下來怎么辦？

我倆沉默不語。

媽媽繼續(xù)說道：“可以把中間四個小塊分別起個名字，就叫‘聰'‘明'‘可’‘愛’。它們的順序暫時不知道，但是‘聰'‘明'‘可’‘愛'一定比別的部分多用了一次，我們就把它們加起來，再加上1到9這九個數(shù)字的和，不就得到5個圓的數(shù)字總和了嗎？”

1+2+3+4+5+6+7+8+9+ 聰 + 明 + 可 + 愛

弟弟立馬搶答：“我會！我用湊十法算出1加到9的得數(shù)是45，那算式就變成了這樣。\"

45+ 聰 + 明 + 可 + 愛

“和的大小就看‘聰’‘明’‘可’‘愛’的大小啦！最小就是 1+2+3+4=10 ，最大就是 9+8+7+6=30 。那么5個圓環(huán)的和最小是55，最大就是75啦！”我也得意起來。

媽媽沖我挑挑眉： “哦？那你填到五環(huán)中試試看。

肯定沒錯。我自信滿滿地開始填數(shù)。

但從哪個數(shù)字開始填呢？剛拿起筆，我就犯愁了。

^ag 個數(shù)的和是45，5個圓環(huán)的和最小是55，那1個圓環(huán)的和就是11。上面3個完整的圓中數(shù)字的和就是 11×3=33 ，下面2個圓剩余部分的和就是 45-33=12 。因為1、2、3、4已經(jīng)用在中間算兩次的部分了，可用的數(shù)字只剩下5、6、7、8、9。這幾個數(shù)字中，只有 5+7=12 ，所以下面兩塊一定是5和7。”我一邊說著，一邊在紙上試著填。

經(jīng)過幾次填寫、推翻、重新填寫，終于填好了！

弟弟忙說： “最大的和我來填！

他一邊寫，一邊嘀嘀咕咕： “最大的和為75，1個圓環(huán)的和就是75÷5=15 。‘聰’‘明’‘可’‘愛’用9、8、7、6來試試。”

“咦，不對呀！ 7+8=15 ， 6+9=15 ，每個數(shù)字只能填一次，所以它們無法同時填在‘聰’‘明’‘可’‘愛’這4個空里。”弟弟眼巴巴地看著媽媽。

一個圓環(huán)=15

一個圓環(huán)=15

媽媽似乎早就料到了，正等著這一刻呢：“所以啊，不驗證怎么知道錯了呢？每個圓環(huán)的和是15行不通，那就試著讓每個圓的和小1，變成14，5個圓環(huán)的和就小了5。”

“由于‘聰’‘明’‘可’‘愛’所代表的數(shù)字會加兩次，那么讓這4個數(shù)的和變小5，是不是就能讓5個圓環(huán)的和小5呢？所以要把剛才的 9+8+7+6 改成什么？”

根據(jù)剛剛試錯的經(jīng)驗，因為每個數(shù)只能填一次，所以在每個圓的和為14的前提下，‘聰’‘明’‘可’‘愛’這4個數(shù)中，任意兩個數(shù)相加都不能等于14。9、8、7、6中， 8+6=14 ，所以要從這兩個數(shù)入手。用 8-5=3 ，改成9、3、7、6；或者用 6-5=1 ，改成9、8、7、1。

9.3.7.6

關(guān)于五環(huán)，能研究的不僅僅有它的來歷、色彩搭配、寓意，還有很多與數(shù)學(xué)有關(guān)的內(nèi)容。通過奧運會，我們學(xué)會了尊重對手；通過數(shù)學(xué)，我們學(xué)會了思考問題、解決困難、追求卓越。

（指導(dǎo)老師：顧寧燕）