巧用公共陰影部分求圖形面積倍數及組合圖形總面積

把一個整體平均分成若干份，其中的一份或幾份與整體之間的關系可以用分數來表示。例如：把1塊蛋糕平均分成3份，其中的1份就是整塊蛋糕的 ；把8支鉛筆平均分成4份，其中的6支鉛筆就占所有鉛筆的 。

如果給一個圖形的某些部分涂上陰影，同樣也可以用分數來表示涂色部分與整個圖形之間的關系。今天我們就一起用“份數法”來破解“重疊之謎”吧！

下面讓我們通過幾道例題來具體研究

題目

如圖，圖中陰影部分面積占長方形面積的 占正方形面積的 。長方形的面積是正方形面積的幾倍？如果長方形的面積是80平方厘米，整個圖形組的面積是多少平方厘米？

小馬虎的答案：

80÷2=40 （平方厘米）40+80=120 （平方厘米）答：長方形的面積是正方形面積的2倍，整個圖形組的面積是120平方厘米。

小馬虎的想法：

陰影部分的面積占長方形面積的 ，占正方形面積的 。長方形的面積可以看成8份，正方形的面積可以看成4份，所以長方形的面積是正方形面積的2倍，整個圖形組的面積就是長方形的面積加上正方形的面積。

小朋友們，你們覺得小馬虎的想法對嗎？

根據題意，陰影部分的面積是長方形面積的 ，也就是說，長方形被平均分成8份，陰影部分占其中的1份；陰影部分的面積又是正方形面積的 ，也就是說，正方形被平均分成4份，陰影部分占其中的1份。

由此可知，以陰影部分為標準，長方形有這樣的8份，正方形有這樣的4份，所以長方形的面積是正方形面積的2倍。

而整個圖形組有幾份呢？是不是長方形的份數 + 正方形的份數 =12 （份）？

關鍵點還是陰影部分：它既是長方形的一部分，又是正方形的一部分，只能數一次。所以，整個圖形組共有11份。

先算出陰影部分的面積，圖形組的面積就是陰影部分的面積 ×11 。

正確答案

8÷4=2 80÷8=10 （平方厘米）10×（8+4-1）=10×11=110 （平方厘米）答：長方形的面積是正方形面積的2倍，整個圖形組的面積是110平方厘米。

方法總結

通過“陰影份數 1”建立橋梁，利用分數意義求出兩個圖形的份數，再結合“去重疊”計算總面積。

1.定橋梁：設陰影部分面積為1份，根據分數意義，求出長方形和正方形的總份數。陰影面積占長方形面積的 長方形面積為8份，正方形面積為4份，“去重疊”后，總份數是 8+4-1=77 （份）。

2.求倍數：長方形的份數 ÷ 正方形的份數 Σ=Σ 倍數（如8÷4=2 ）。

3.算總面積：先求1份的實際面積（如長方形面積為80平方厘米 1 份為10平方厘米），再用總份數計算總面積，10×17=170 （平方厘米）。

解決圖形中的重疊問題時，一定要記得：重疊部分只能算一次！

小朋友們，你們能用剛剛學到的新方法來解決下面的問題嗎？檢驗一下自己的學習效果吧！

題目2

圖中陰影部分是2個長方形的重疊部分。陰影部分是小長方形的 ，是大長方形的 ，是整個圖形的（

題目分析

本題主要涉及分數的概念，即把一個整體“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數叫作分數。我們需要分別確定小長方形、大長方形以及整個圖形被平均分成的份數，再看陰影部分占其中的幾份，從而得出相應的分數。

步驟一：求陰影部分是小長方形的幾分之幾

首先看小長方形，仔細觀察就能發現，它被平均分成了6份，而陰影部分恰好是這6份中的1份。把小長方形當作一個完整的整體，那陰影部分占小長方形的多少呢？就是1除以6，也就是

步驟二：求陰影部分是大長方形的幾分之幾

接著看大長方形，大長方形被平均分成了8份，陰影部分同樣是其中的1份。把大長方形看作一個整體，1除以8，陰影部分占大長方形的

步驟三：求陰影部分是整個圖形的幾分之幾

最后看整個圖形，它是由小長方形和大長方形組合而成的。小長方形有6份，大長方形有8份。但是要注意，這里面有1份是重疊的。所以整個圖形的總份數就是6加上8再減去1，等于13份，而陰影部分是1份。1除以13，陰影部分占整個圖形的。

小朋友們，一定要注意：陰影部分既是小長方形的一部分，又是大長方形的一部分，只能數一次。

用分數表示陰影部分看似有些難度，實則有很多靈活變通的方法，能夠化繁為簡，讓我們更清楚、更直觀地看到整體與部分之間的關系。

最后，用今天學習的知識，試著解決下面的問題吧?？纯醋约菏欠裾莆樟擞梅謹当硎静糠峙c整體之間關系的知識。

題目3

圖中陰影部分是2個正方形的重疊部分。陰影部分是小正方形的 ，是大正方形的 ，是整個圖形的

我的解答：

小朋友們，解決此類問題的關鍵是抓住陰影部分這個公共量，通過分數關系，將長方形和正方形的面積轉化為相同的“份數”，再利用容斥原理計算總面積。重點理解“部分占整體的幾分之幾中“整體”的不同，以及重疊面積的去重方法。