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例析不規(guī)則圖形面積題的四類常用解題方法

2025-08-11 00:00:00蘇德謀
數(shù)理天地(初中版) 2025年13期
關(guān)鍵詞:差法陰影直徑

初中階段,幾何圖形的陰影部分面積求解題,因命題情景靈活多變,難度跨度較大,在日常學(xué)習(xí)中,學(xué)生在面對(duì)相關(guān)問題時(shí),往往不知從何處下手.為幫助學(xué)生掌握相關(guān)問題的解題策略,本文結(jié)合實(shí)際問題,對(duì)幾類常用解題方法進(jìn)行分析,以期提高學(xué)生在相關(guān)問題的得分.

1 代數(shù)法

代數(shù)法是解答部分復(fù)雜問題時(shí),常用的解題方法.當(dāng)陰影部分較為復(fù)雜時(shí),且圖象中角度、長度、面積等存在比例關(guān)系時(shí),便可以借助方程,構(gòu)建出其中的關(guān)系,通過解方程的方法,最終求出陰影部分面積.在這類問題中,常見的解題步驟為,首先要根據(jù)題目信息,列出相關(guān)的方程或方程組;而后通過解方程得到相關(guān)數(shù)值;最后再根據(jù)方程的解求陰影部分的面積.

例1如圖1,已知圓 O 直徑 AB ,垂直弦 CD 于點(diǎn) E ,連接 AD,BD,OC,OD ,且 OD=5 ,若 ∠ADO : ∠EDO=4:1 ,求陰影部分面積.

解析 因?yàn)?AB 為圓 O 直徑, AB⊥CD .所以 ∠BAD=∠BDC ∠AOC=∠AOD 因?yàn)?AO=DO

所以 ∠DAB=∠ODA

所以 ∠BDC=∠ODA :

設(shè) ∠ODA=4α ,

則 ∠BDC=4α ,

因?yàn)?∠ODA:∠ODE=4:1

得 ∠ODE=α :

因?yàn)?∠ODA+∠ODE+∠BDE=90°

所以 4α+4α+α=90°,α=10°

所以 ∠AOD=180°- ( ∠OAD+∠ODA

=100°

圖2
圖1

2 構(gòu)造和差法

構(gòu)造和差法是指當(dāng)陰影部分圖形為不規(guī)則圖形時(shí),可以將其分割為幾個(gè)基本圖形,而后分別計(jì)算分割后的規(guī)則圖形的面積,進(jìn)而通過規(guī)則圖形的面積的和或差得到最終結(jié)果.解答這類問題中,首先需要根據(jù)已知條件及陰影圖形特點(diǎn),將不規(guī)則圖形分割為兩個(gè)或多個(gè)基本規(guī)則圖形,或是將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的差;而后分別計(jì)算規(guī)則圖形的面積,最后通過各面積相加或相減,得到陰影部分面積.其中,在面積分割時(shí),往往需要添加輔助線,將其轉(zhuǎn)化為常見的扇形、三角形、特殊四邊形等圖形,以便后續(xù)計(jì)算.構(gòu)造和差法為解答相關(guān)問題最為常用的方法,在考試中,學(xué)生還應(yīng)靈活運(yùn)用.

例2如圖2,扇形 AOB ∠AOB=100°,( OA= 12,OC=CB , ∠DCO=90° ,以 OC 為半徑的弧 CE 交OA于點(diǎn) E ,求其中陰影部分面積.

解析 連接 OD,DB

因?yàn)?CD⊥OB ,

所以 ∠CDO=30°,∠DOC=60°

所以 ΔBDO 為等邊三角形,

所以

3 等積移動(dòng)法

在解答不規(guī)則圖形面積問題時(shí),等積移動(dòng)法是一種通過圖形的平移來簡化面積計(jì)算的方法.此方法主要適用于那些可以通過平移將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形或更容易計(jì)算的圖形組合的情況.解題中,首先要仔細(xì)觀察不規(guī)則圖形的形狀和特征,嘗試識(shí)別出是否有可能通過平移圖形的某一部分來簡化面積計(jì)算;而后根據(jù)圖形的特點(diǎn),規(guī)劃一個(gè)或多個(gè)平移操作,使得平移后的圖形與原圖形的某部分重合或形成規(guī)則圖形,在平移時(shí),要注意不要超出圖形的邊界,也不要引入額外的面積或遺漏原有的面積;最后使用相應(yīng)的公式計(jì)算平移后的規(guī)則圖形面積.

例3如圖3,AB是圓 O 的直徑,弦 CD 與 AB 垂直交于點(diǎn) E ,其中 ∠CDB=30° ,弦 CD 的長為2 ,求圖中陰影部分面積.

圖3

解析 連接 OD ,因?yàn)?CD⊥AB ,

∠BED=90°

由 ∠CDB=30° ,可得 ∠OBD=60°

又因?yàn)?OB=OD ,

則 ΔOBD 為等邊三角形,

所以 ∠BOD=60°,OD=2

又因?yàn)?CE=DE,CD⊥AB

所以 SΔOCE=SΔODE

所以

4 容斥原理法

當(dāng)陰影部分圖形由兩個(gè)規(guī)則圖形重疊而成時(shí),此時(shí)便可以借助容斥原理進(jìn)行解題.在此情況下,陰影部分面積 兩個(gè)基本圖形面積之和一重疊部分面積.如圖4,陰影部分面積為 -SΔABC .在實(shí)際的解題中,便可以借助此特點(diǎn)進(jìn)行

求解圖形重疊類問題.

圖4
圖5

例4如圖5,在矩形 ABCD 中, AB=6 ,分別以 AB?BC 為直徑作半圓,圓心分別為 P,Q ,兩半圓 1交 AC 于點(diǎn) E ,若 ,求陰影部分的面積.

解析 由題意可知 S{##}=S#{#}+S#{#} (204號(hào)-SΔABC ,因?yàn)? 分別為半圓 P ,Q 的直徑,連接 BE ,因?yàn)?∠BEC 是直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角,所以 BE⊥AC 因?yàn)?∠BAE=∠CAB , ∠AEB=∠ABC 所以 ΔABE~ΔACB ,所以 .""

5結(jié)語

綜上所述,本文總結(jié)了解答不規(guī)則圖形面積題的幾種常用方法,這些解題方法能夠幫助學(xué)生快速解答相關(guān)問題.但是,不同解題方法所運(yùn)用的情景也不盡相同,因此,在平時(shí)學(xué)習(xí)中,學(xué)生要積極總結(jié)不同解題方法所適應(yīng)的情景,以期在考試中快速解答問題.

【本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度立項(xiàng)課題《教學(xué)評(píng)一體化導(dǎo)向下跨學(xué)科題學(xué)習(xí)教研模式的實(shí)踐研究》(編號(hào):FJJKZX23-824)階段性成果】

參考文獻(xiàn):

[1]顧勇進(jìn).陰影圖形面積的求解思路分析[J.中學(xué)數(shù)學(xué),

2024(12):105—106.

[2]袁徐豐.圓中不規(guī)則圖形面積解法探析[J].中學(xué)數(shù)學(xué),

2024(08):73—74.

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