例析不規(guī)則圖形面積題的四類常用解題方法

初中階段，幾何圖形的陰影部分面積求解題，因命題情景靈活多變，難度跨度較大，在日常學(xué)習(xí)中，學(xué)生在面對(duì)相關(guān)問題時(shí)，往往不知從何處下手.為幫助學(xué)生掌握相關(guān)問題的解題策略，本文結(jié)合實(shí)際問題，對(duì)幾類常用解題方法進(jìn)行分析，以期提高學(xué)生在相關(guān)問題的得分.

1 代數(shù)法

代數(shù)法是解答部分復(fù)雜問題時(shí)，常用的解題方法.當(dāng)陰影部分較為復(fù)雜時(shí)，且圖象中角度、長度、面積等存在比例關(guān)系時(shí)，便可以借助方程，構(gòu)建出其中的關(guān)系，通過解方程的方法，最終求出陰影部分面積.在這類問題中，常見的解題步驟為，首先要根據(jù)題目信息，列出相關(guān)的方程或方程組；而后通過解方程得到相關(guān)數(shù)值；最后再根據(jù)方程的解求陰影部分的面積.

例1如圖1，已知圓 O 直徑 AB ，垂直弦 CD 于點(diǎn) E ，連接 AD，BD，OC，OD ，且 OD=5 ，若 ∠ADO ： ∠EDO=4：1 ，求陰影部分面積.

解析 因?yàn)?AB 為圓 O 直徑， AB⊥CD .所以 ∠BAD=∠BDC ∠AOC=∠AOD 因?yàn)?AO=DO

所以 ∠DAB=∠ODA

所以 ∠BDC=∠ODA ：

設(shè) ∠ODA=4α ，

則 ∠BDC=4α ，

因?yàn)?∠ODA：∠ODE=4：1

得 ∠ODE=α ：

因?yàn)?∠ODA+∠ODE+∠BDE=90^°

所以 4α+4α+α=90^°，α=10^°

所以 ∠AOD=180^°- （ ∠OAD+∠ODA

=100^°

2 構(gòu)造和差法

構(gòu)造和差法是指當(dāng)陰影部分圖形為不規(guī)則圖形時(shí)，可以將其分割為幾個(gè)基本圖形，而后分別計(jì)算分割后的規(guī)則圖形的面積，進(jìn)而通過規(guī)則圖形的面積的和或差得到最終結(jié)果.解答這類問題中，首先需要根據(jù)已知條件及陰影圖形特點(diǎn)，將不規(guī)則圖形分割為兩個(gè)或多個(gè)基本規(guī)則圖形，或是將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形面積的差；而后分別計(jì)算規(guī)則圖形的面積，最后通過各面積相加或相減，得到陰影部分面積.其中，在面積分割時(shí)，往往需要添加輔助線，將其轉(zhuǎn)化為常見的扇形、三角形、特殊四邊形等圖形，以便后續(xù)計(jì)算.構(gòu)造和差法為解答相關(guān)問題最為常用的方法，在考試中，學(xué)生還應(yīng)靈活運(yùn)用.

例2如圖2，扇形 AOB ∠AOB=100^°，（ OA= 12，OC=CB ， ∠DCO=90^° ，以 OC 為半徑的弧 CE 交OA于點(diǎn) E ，求其中陰影部分面積.

解析 連接 OD，DB

因?yàn)?CD⊥OB ，

所以 ∠CDO=30^°，∠DOC=60^°

所以 ΔBDO 為等邊三角形，

所以

3 等積移動(dòng)法

在解答不規(guī)則圖形面積問題時(shí)，等積移動(dòng)法是一種通過圖形的平移來簡化面積計(jì)算的方法.此方法主要適用于那些可以通過平移將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形或更容易計(jì)算的圖形組合的情況.解題中，首先要仔細(xì)觀察不規(guī)則圖形的形狀和特征，嘗試識(shí)別出是否有可能通過平移圖形的某一部分來簡化面積計(jì)算；而后根據(jù)圖形的特點(diǎn)，規(guī)劃一個(gè)或多個(gè)平移操作，使得平移后的圖形與原圖形的某部分重合或形成規(guī)則圖形，在平移時(shí)，要注意不要超出圖形的邊界，也不要引入額外的面積或遺漏原有的面積；最后使用相應(yīng)的公式計(jì)算平移后的規(guī)則圖形面積.

例3如圖3，AB是圓 O 的直徑，弦 CD 與 AB 垂直交于點(diǎn) E ，其中 ∠CDB=30^° ，弦 CD 的長為2 ，求圖中陰影部分面積.

解析 連接 OD ，因?yàn)?CD⊥AB ，

有

∠BED=90^°

由 ∠CDB=30^° ，可得 ∠OBD=60^°

又因?yàn)?OB=OD ，

則 ΔOBD 為等邊三角形，

所以 ∠BOD=60^°，OD=2

又因?yàn)?CE=DE，CD⊥AB

所以 S_ΔOCE=S_ΔODE ，

所以

4 容斥原理法

當(dāng)陰影部分圖形由兩個(gè)規(guī)則圖形重疊而成時(shí)，此時(shí)便可以借助容斥原理進(jìn)行解題.在此情況下，陰影部分面積 兩個(gè)基本圖形面積之和一重疊部分面積.如圖4，陰影部分面積為 -S_ΔABC .在實(shí)際的解題中，便可以借助此特點(diǎn)進(jìn)行

求解圖形重疊類問題.

例4如圖5，在矩形 ABCD 中， AB=6 ，分別以 AB?BC 為直徑作半圓，圓心分別為 P，Q ，兩半圓 1交 AC 于點(diǎn) E ，若 ，求陰影部分的面積.

解析 由題意可知 S_{##}=S_#{#}+S_#{#} （204號(hào)-S_ΔABC ，因?yàn)? 分別為半圓 P ，Q 的直徑，連接 BE ，因?yàn)?∠BEC 是直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角，所以 BE⊥AC 因?yàn)?∠BAE=∠CAB ， ∠AEB=∠ABC 所以 ΔABE～ΔACB ，所以 .""

5結(jié)語

綜上所述，本文總結(jié)了解答不規(guī)則圖形面積題的幾種常用方法，這些解題方法能夠幫助學(xué)生快速解答相關(guān)問題.但是，不同解題方法所運(yùn)用的情景也不盡相同，因此，在平時(shí)學(xué)習(xí)中，學(xué)生要積極總結(jié)不同解題方法所適應(yīng)的情景，以期在考試中快速解答問題.

【本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度立項(xiàng)課題《教學(xué)評(píng)一體化導(dǎo)向下跨學(xué)科題學(xué)習(xí)教研模式的實(shí)踐研究》（編號(hào)：FJJKZX23－824）階段性成果】

參考文獻(xiàn)：

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