數(shù)字信號(hào)處理課程中濾波器線性相位特性教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究

中圖分類號(hào)：TN713；TP39；G434 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：2096-4706（2025）12-0036-05

Experimental Study on Linear Phase Characteristics of Filter in Digital Signal Processing Course

LUO Chenggao， XU Ke， ZENG Yang， YI Jun （CollegeofElectronicScienceandTechnologyNationalUniversityofDefenseTchnology，Changsha4o3，hina）

Abstract：The linear phase characteristics of digital flters have important applications in electronic information systems， andare alsoanimportant knowledge pointinthe undergraduatecourseof“Digital SignalProcessing”.However，inteaching practice，teachersoftenexplain itonlythrough theoreticalanalysisanddrawing phase-frequencycharacteristicfunctions，which leads tostudents'lackof intuitive knowledgeandunderstandingoflinearphasecharacteristicsandtheirengineringaplication background.Inthis paper，ateaching experiment thatfexiblyadjuststhephasecharacteristicsoftheflterisdesignedbyusing thecircularconjugatesymmetrycharacteristicoftheDiscreteFourierTransform.Byintuitivelyfelingtheefectofaudiosignal beforeandafterfiltering，studentscandeepen theirunderstandingofrelevantknowledgepointssuchasfilterdesignintheoretical courses，nd improve theirunderstanding of the importanceoflinear phasecharacteristics in engineringapplications.

Keywords： digital filter; linear phase characteristic; circular conjugate symmetry characteristic; Discrete Fourier [ransform

0 引言

按照相頻響應(yīng)的特性來劃分，數(shù)字濾波器可以被明確地劃分為線性相位和非線性相位兩種類型[1]。這對(duì)于理解和應(yīng)用數(shù)字濾波器至關(guān)重要，尤其是在那些對(duì)波形信息要求極高的電子系統(tǒng)中，如高速通信數(shù)據(jù)傳輸系統(tǒng)和高精度圖像處理系統(tǒng)。這些系統(tǒng)不僅要求獲得令人滿意的幅頻特性，還特別強(qiáng)調(diào)系統(tǒng)必須具備線性相位特性。線性相位特性能夠確保信號(hào)在傳輸和處理過程中不發(fā)生相位失真，從而保持信號(hào)的完整性和準(zhǔn)確性。因此，線性相位特性在工程實(shí)踐中扮演著舉足輕重的角色，具有極其重要的應(yīng)用價(jià)值。

然而，在教學(xué)實(shí)踐中，線性相位特性的講解往往面臨一定的挑戰(zhàn)。由于線性相位特性是一個(gè)相對(duì)抽象的概念，學(xué)生們往往難以通過傳統(tǒng)的理論教學(xué)方式形成深刻而直觀的理解。他們可能能夠記住相關(guān)的公式和定理，但卻難以真正掌握線性相位特性的理論本質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用，容易陷入“只知其然，而不知其所以然”的困境[2-4]。

為了打破這一困境，本文提出了一種創(chuàng)新的教學(xué)方法。從音頻信號(hào)的頻域分析入手，巧妙地利用離散傅里葉變換（DiscreteFourierTransform，DFT）的“圓周共軛對(duì)稱特性”[s-o，設(shè)計(jì)了一種相位特性可以靈活調(diào)整的數(shù)字濾波器。在教學(xué)過程中，通過調(diào)整濾波器的相位特性因子，可以在時(shí)域中直觀地對(duì)比不同相位調(diào)制后的音頻信號(hào)時(shí)域波形圖以及實(shí)際聲音效果。這種直觀的教學(xué)方式使學(xué)生能夠通過聽覺和視覺的雙重體驗(yàn)，親身感受到濾波器引入的不同相位特性所帶來的顯著變化，從而加深對(duì)理論課程中濾波器設(shè)計(jì)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的理解，促進(jìn)對(duì)工程應(yīng)用中線性相位特性重要性的認(rèn)識(shí)[7-9]。此外，這種教學(xué)方法還能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，通過親身參與實(shí)驗(yàn)和觀察，學(xué)生們能夠更加主動(dòng)地探索和學(xué)習(xí)相關(guān)知識(shí)，有效提升課堂教學(xué)效果[10-12]。

1不同相位特性數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)

教學(xué)實(shí)驗(yàn)的具體流程如圖1所示。

其中， k=0 ，1，2，…， N-1 。

若設(shè)計(jì)的濾波器的幅頻響應(yīng)為1，則濾波器相頻響應(yīng)為：

其中， θ_k（ω） 為濾波器的相位函數(shù)?？梢酝ㄟ^設(shè)置不同的相位函數(shù)形式實(shí)現(xiàn)不同的濾波效果，為簡便起見，本文以“零相位”“線性相位”“二次相位”以及“隨機(jī)相位”為例進(jìn)行研究，其他類型相位特性可以以此類推。

考慮到DFT的“圓周共軛對(duì)稱特性”，對(duì)實(shí)數(shù)原始音頻信號(hào)做 N 點(diǎn)快速傅里葉變換（FastFourierTransform，F(xiàn)FT）經(jīng)濾波處理，如果要通過 N 點(diǎn)逆快速傅里葉變換（InverseFastFourierTransform，IFFT）恢復(fù)實(shí)數(shù)音頻信號(hào)，則濾波器相位函數(shù)應(yīng)滿足：

θ_k（ω）=-θ_N-k（ω）

當(dāng) k?N/2AA-1 時(shí)，相位函數(shù)序列的前半段為：

其中， τ 為濾波器的群延時(shí)，此處設(shè)為常數(shù)1。ω=0：Δf：f_s/2 為線性頻率序列， f_s 為音頻信號(hào)采樣率，Δf=f_s/N 為頻域采樣間隔，rand（1， N/2 長度為 N/2 ，取值在[1，2]之間的隨機(jī)數(shù)序列。

當(dāng) k?N/2 時(shí)，相位函數(shù)序列的后半段 θ_k?N/2（ω）

可根據(jù)式（3）與式（4）聯(lián)合導(dǎo)出。

利用上述濾波器對(duì)原始音頻信號(hào)進(jìn)行濾波并做IFFT恢復(fù)音頻信號(hào)。

利用MATLAB中的plot函數(shù)繪制原始音頻信號(hào)x（n） 和濾波恢復(fù)后的音頻信號(hào) x^′（n） 的時(shí)域波形圖，并利用sound函數(shù)播放音頻信號(hào)聲音，對(duì)比“濾波器引入的不同相位特性調(diào)制帶來的效果。

在教學(xué)實(shí)踐中，要注意從學(xué)生的角度思考并引出相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。例如，要引導(dǎo)學(xué)生思考“為什么要研究不同相位特性對(duì)信號(hào)濾波過程的影響”。這是因?yàn)樵趯?shí)際工程應(yīng)用中，很多電子系統(tǒng)需要具有線性相位特性，以保證在信號(hào)恢復(fù)過程中盡可能減小失真。對(duì)于這個(gè)問題，還可在課堂上進(jìn)一步拓展，如在通信系統(tǒng)中，由于需要盡可能“最大化”且“不失真”地獲取信源信息，就要求在通信信息處理過程中保證相位的線性度，以降低誤碼率。在電視、網(wǎng)絡(luò)和數(shù)字通信系統(tǒng)中，若輸出信號(hào)想恢復(fù)輸入信號(hào)攜帶的原始信息，必須滿足無相位失真條件[13-14]。

2不同相位特性影響的教學(xué)實(shí)驗(yàn)

下面以“命運(yùn)交響曲.mp3”音頻文件為例（原始音頻文件可登錄網(wǎng)址下載：https：//pan.baiducom/s/1RE9nR5-Vxm9Gfzueik31VA？pwd=j4am），利用MATLAB軟件開展對(duì)比實(shí)驗(yàn)（MATLAB教學(xué)演示代碼“LinearPheseCharacteristics.m”可登錄網(wǎng)站：https：//pan.baidu.com/s/1HyjEM4y5an-Eavfgi7EPlg？pwd 1=r5rq ）下載。為縮短仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)長，案例中僅截取原始音頻信號(hào)前5秒數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣處理，并不影響仿真教學(xué)演示方法的有效性。采樣率為 f_s=44.1kHz ，補(bǔ)零41644后總數(shù)據(jù)長度為N=262 144 ，根據(jù)式（3）與式（4）的推導(dǎo)計(jì)算，利用plot函數(shù)分別繪制四種不同相位特性的曲線圖，繪制相位特性曲線的MATLAB代碼如表1所示。

表1繪制相位特性曲線的MATLAB代碼

（續(xù)表）

相位特性曲線如圖2所示，線性相位的相位隨著時(shí)間線性變化，二次相位的相位曲線為二次曲線，隨機(jī)相位的相位曲線隨時(shí)間隨機(jī)震蕩，曲線圖中部的“跳變”反映了式（3）給出的“圓周共軛對(duì)稱特性”。

根據(jù)圖1所示的實(shí)驗(yàn)流程，將原始音頻信號(hào)采樣補(bǔ)零后做FFT變換到頻域，利用設(shè)計(jì)的濾波器進(jìn)行濾波，再經(jīng)過IFFT變換到時(shí)域。利用MATLAB的plot函數(shù)分別繪制原始音頻信號(hào)和濾波恢復(fù)音頻信號(hào)的時(shí)域波形圖，繪制的時(shí)域波形如圖3所示。

圖2不同相位特性曲線圖

圖3不同相位特性濾波器濾波恢復(fù)后音頻信號(hào)的時(shí)域波形圖

由圖3可知，當(dāng)濾波器的相位函數(shù)為零相位時(shí)，濾波恢復(fù)后的音頻信號(hào)時(shí)域波形圖與原始音頻信號(hào)保持一致。當(dāng)濾波器的相位函數(shù)為線性相位時(shí)，時(shí)域波形圖雖然整體向左有一定平移，但波形依然與原始音頻信號(hào)保持一致，具有較高的保真度。這說明線性相位特性能夠確保信號(hào)在傳輸和處理過程中不發(fā)生相位失真，從而保持信號(hào)的完整性和準(zhǔn)確性。而對(duì)于二次相位和隨機(jī)相位，濾波恢復(fù)后的音頻信號(hào)時(shí)域波形圖發(fā)生顯著變化，這表明濾波過程引入的非線性相位造成了音頻信號(hào)的失真。

在此基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步利用MATLAB的sound函數(shù)播放音頻信號(hào)，并通過聽覺直觀感受不同相位特性濾波器濾波恢復(fù)后的音頻信號(hào)以及原始音頻信號(hào)之間的差異，播放音頻的MATLAB代碼如表2所示。

表2播放音頻的MATLAB代碼

還可以利用audiowrite函數(shù)將不同音頻信號(hào)存

儲(chǔ)下來，插入教師的PPT課件中，用于上課過程中現(xiàn)場播放演示（存儲(chǔ)的音頻信號(hào)文件可登錄網(wǎng)站：https：//pan.baidu.com/s/1bCEgH6ljIXzNmYr5gHVTOw？pwd=5dy2）下載。存儲(chǔ)音頻的MATLAB代碼與存儲(chǔ)的音頻信號(hào)文件分別如表3和圖4所示。

表3存儲(chǔ)音頻的MATLAB代碼

（續(xù)表）

圖4存儲(chǔ)至本地的不同音頻信號(hào)文件

3注意事項(xiàng)

注意事項(xiàng)具體內(nèi)容：

1）在設(shè)計(jì)濾波器時(shí)，需考慮到DFT的“圓周共軛對(duì)稱特性”，所設(shè)計(jì)的濾波器相位函數(shù)應(yīng)滿足式（3），以保證IFFT變換后能夠恢復(fù)實(shí)數(shù)音頻信號(hào)。

2）在演示實(shí)驗(yàn)中，為保證MATLAB程序執(zhí)行的效率，便于動(dòng)態(tài)調(diào)整濾波器參數(shù)并實(shí)時(shí)演示實(shí)驗(yàn)效果，讀取的音頻信號(hào)數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)不宜過多。因此，可適當(dāng)縮短原始音瀕信號(hào)的截取時(shí)長，或適當(dāng)降低采樣率。本文中截取了前5秒的數(shù)據(jù)為例進(jìn)行演示說明。

3）在使用sound函數(shù)播放音頻信號(hào)時(shí)，為避免多段音頻前后交疊播放影響實(shí)驗(yàn)效果，可利用pause函數(shù)靈活設(shè)置播放延時(shí)，如表2所示。

4）本文設(shè)計(jì)的演示實(shí)驗(yàn)屬于開放性實(shí)驗(yàn)，除了文中提供的“命運(yùn)交響曲.mp3”音頻外，還可以鼓勵(lì)學(xué)生自選音頻或自行錄制音頻作為原始音頻信號(hào)開展實(shí)驗(yàn)，觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，增強(qiáng)趣味性，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

5）本文雖然以音頻信號(hào)為例進(jìn)行演示，但還可以鼓勵(lì)學(xué)生嘗試以圖像信息等為例，按照相似的思路開展進(jìn)一步的分析研究，以強(qiáng)化學(xué)生獨(dú)立思考和動(dòng)手編程能力。

6）此外，還可以鼓勵(lì)學(xué)有余力的同學(xué)自行在原始音頻信號(hào)中加入噪聲，并根據(jù)課堂所學(xué)的濾波器知識(shí)設(shè)計(jì)濾波器濾除噪聲。然后，采用本文所提方法繪制濾波前后的音頻信號(hào)時(shí)域波形圖，并播放聲音，以直觀體驗(yàn)濾波效果。

4結(jié)論

數(shù)字濾波器的相頻響應(yīng)特性是“數(shù)字信號(hào)處理”課程中一個(gè)非常重要的知識(shí)點(diǎn)。本文以音頻信號(hào)處理為例，深入探討了如何利用離散傅里葉變換 （DFT）的“圓周共軛對(duì)稱特性”來設(shè)計(jì)一種具有靈活相位調(diào)整能力的數(shù)字濾波器。該濾波器首先在頻域?qū)υ家纛l信號(hào)進(jìn)行濾波，然后再將信號(hào)從頻域轉(zhuǎn)換回時(shí)域。這種濾波器的一大亮點(diǎn)在于，通過巧妙地設(shè)定不同的相位函數(shù)形式，可以實(shí)現(xiàn)多樣化的濾波效果。為了讓學(xué)生更直觀地感受到不同相位特性所帶來的差異，文中采用了雙重感官體驗(yàn)的方式：一方面，通過視覺圖像展示濾波前后信號(hào)波形的變化；另一方面，直接播放處理前后的音頻，讓學(xué)生用耳朵去聆聽差異。這種視覺與聽覺相結(jié)合的教學(xué)方法，極大地增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)濾波器線性相位特性的理解和認(rèn)識(shí)，使他們能夠更加深入地掌握這一重要知識(shí)點(diǎn)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)和實(shí)踐打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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作者簡介：羅成高（1987一），男，土家族，湖北咸豐人，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士，研究方向：雷達(dá)信號(hào)處理；許可（1982一），男，漢族，四川樂山人，副教授，碩士生導(dǎo)師，博士，研究方向：數(shù)字信號(hào)處理；通信作者：曾旸（1989一），男，漢族，湖南長沙人，副教授，博士，研究方向：數(shù)字信號(hào)處理；易俊（1992一），男，漢族，湖南衡陽人，助理研究員，博士，研究方向：太赫茲雷達(dá)。