高校全概率公式與貝葉斯公式的教學探索

摘 要：近些年，經濟發展頗為迅速，概率論與數理統計也已逐漸滲透到各個行業。在“概率論與數理統計”課程中，全概率公式和貝葉斯公式占據著極其重要的位置，它們同樣是教學的重點和難點。在傳統的教學中，一般只注重專業理論知識的傳授，而忽略了將理論知識與實際問題相結合，并在課堂上注重學生的教育問題。全概率公式和貝葉斯公式被用作例子，詳盡地探討如何在課堂教學中將理論知識與實際問題相結合，使學生能夠感受到理論知識在實際生活中的應用，從而提升學習的動力。

關鍵詞：全概率公式；貝葉斯公式；理論知識；實際問題；有機融合

1 概述

“概率論與數理統計”是大學教育中的一門核心必修課，它主要研究的是隨機現象和不確定事件，并解釋這些現象背后的規律性。它不僅在計算機、人工智能、機械控制、經濟管理等專業學科領域發揮著至關重要的作用，而且在實際生活中，如風險評估、醫療診斷等領域都有著廣泛的應用［1］。盡管“概率論與數理統計”在實際生活中的應用范圍很廣，但是它作為一門基礎性的數學課程，對于多數大學生來說在學習過程中還是具有一定難度的。因此，作為高校的教師，如果在教學的過程中一味地照本宣科，不注意課程的創新型和互動性，很容易使課堂變得枯燥乏味，讓學生對這門課程失去興趣，從而導致教學效果大打折扣。但是，在以往的“概率論與數理統計”的教學中，主要以傳授理論知識為主，缺乏將晦澀抽象的概念與實際生活和學生未來的職業發展相聯系。本文以全概率公式和貝葉斯公式為例，將理論知識與生活實踐相融合，通過采用現實生活中的事例，讓學生感受到學以致用的魅力，這樣不僅能幫助學生更好地掌握理論知識，還能逐漸培養學生解決實際問題的能力。

2 全概率公式教學

全概率公式是“概率論與數理統計”教學中的一個重要公式，它對條件概率公式進行了深入和拓展，形成了一個用于計算復雜事件發生概率的高效數學工具，并在現實生活與科學研究中都顯示出了其廣泛的應用價值［2］。

2.1 相關概念

2.1.1 樣本空間的劃分（完備事件組）

定義1：設S是一個隨機試驗E的樣本空間，B1，B2，…，Bn為E的一組事件，且滿足兩個條件：（1）事件與事件之間兩兩互斥。（2）所有事件的總和為樣本空間S，則稱B1，B2，…Bn為樣本空間S的一個劃分。

如果只看樣本空間劃分的定義，可能會有學生不理解其中的含義，這時我們可以在課堂上舉一個與學生生活息息相關的事例。比如，學生中午放學去學校食堂吃飯，共有三條路徑可選，由于每條路徑的遠近和擁堵程度不同，可以把三條不同的路徑記為R1，R2，R3，這就是樣本空間的劃分。因為它滿足了樣本空間劃分的兩個條件，其一，三條路徑兩兩不相交，即選擇一條路徑后就不會再走另外一條路徑；其二，三條路徑的總和是去食堂的所有路徑，因此這就是一個簡單的樣本空間的劃分。

通過一個簡單的事例掌握了樣本空間的劃分方法后，再結合我們之前學習的加法公式和乘法公式，加法公式幫助我們計算兩個事件并集的概率，而乘法公式則用于計算兩個事件同時發生的概率，我們就擁有了推導全概率公式所需的工具。全概率公式是概率論中一個極為重要的公式，它允許我們通過將一個復雜事件分解成若干簡單事件，并計算這些簡單事件的概率，最終整合這些概率來得出復雜事件的總概率。這個過程不僅加深了我們對概率論的理解，而且提高了我們解決實際問題的能力。

2.1.2 全概率公式

設S是隨機試驗E的樣本空間，A為E的事件，B1，B2，…，Bn是樣本空間S的一個劃分，且每個子事件的概率均大于零，則有：

P（A）=P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）+…+

P（A|Bn）P（Bn）［3］

全概率公式的解釋說明：全概率公式的核心作用在于解決那些直接求解起來較為困難的復雜事件的概率問題。其核心思想是拆分，即將一個復雜的事件拆分為多個簡單的、易于處理的子事件。拆分時需要注意，所拆分的子事件必須是兩兩互斥的，即任意兩個子事件不能同時發生。由于子事件的互斥性，我們可以利用概率的加法法則來計算，即把復雜事件的所有子事件的概率相加。這種方法的優勢在于，可以通過簡單的、易于處理的子事件來間接求解整個復雜事件的概率。

這種“化繁為簡、分而治之”的方法，不僅是一種數學策略，更是一種解決問題的智慧。這種思想告訴我們，在面對生活和工作中的挑戰時，不應該被看似艱巨的困難嚇倒，而應該保持沉著冷靜，直面問題，深入思考可能的解決方案。當我們在生活中遇到難以克服的難題時，應該學會將難題拆分為一個個較為簡單的小問題，通過逐個攻克這些小問題，最終完美解決大的難題。

為了讓學生對公式有更加深入的了解，一方面，在例題講解的過程中可以采用啟發式教學的方法，引導學生獨立思考，主動探索，鼓勵學生積極參加課堂討論，主動尋求解決問題的辦法；另一方面，課堂中設計的例題也要與我們的現實生活息息相關，這樣不僅能給學生提供一個實際應用公式的場景，讓學生看到課堂中學習的理論知識與現實世界之間的直接聯系，還能提升學生的學習興趣，提高他們在課堂中的參與度，從而讓學生能夠建立起對課堂知識更加直觀的理解。

全概率公式和貝葉斯公式被廣泛地應用于我們的實際生活中，由于其在醫療診斷、風險評估、過濾垃圾郵件、無人駕駛汽車等領域都有著廣泛的應用。下面就以醫療診斷為例來探索全概率公式在現實生活中的應用［4］。

2.2 全概率公式在現實生活中的應用

例1：設某人有三個不同的電子郵件賬戶，有70%的郵件進入賬戶1，另有20%的郵件進入賬戶2，其余10%的郵件進入賬戶3。根據以往經驗，這三個賬戶收到垃圾郵件的比例分別為1%、2%、5%，問某天隨機收到的一封郵件為垃圾郵件的概率。

分析：此題求解的是收到垃圾郵件的概率，因此我們可以設事件A表示收到的郵件是垃圾郵件，根據題意可知，收到的郵件若為垃圾郵件，可分為三種情況，分別是此郵件來自賬戶1、賬戶2或賬戶3，因此我們可以分別設賬戶1、賬戶2、賬戶3為事件B、C、D。由題意可知，有70%的郵件進入賬戶1，即P（B）=0.7，有20%的郵件進入賬戶2，即P（C）=0.2，其余10%的郵件進入賬戶3，即P（D）=0.1，這三個賬戶收到垃圾郵件的比例分別為1%、2%、5%，即P（A|B）=1%，P（A|C）=2%，P（A|D）=5%，由全概率公式可知：

P（A）=P（A|B）P（B）+P（A|C）P（C）+P（A|D）P（D）

=0.016

由此可知，隨機收到一封郵件，此郵件為垃圾郵件的概率為1.6%。全概率公式在垃圾郵件過濾中的應用主要體現在構建一個基于概率的分類模型，用于判斷一封郵件是否為垃圾郵件。全概率公式在垃圾郵件過濾中的具體應用步驟有以下幾步：其一，選擇特征，在垃圾郵件過濾中，需要從郵件文本中提取出有助于分類的特征，這些特征通常是郵件中的單詞或短語；其二，計算概率，使用全概率公式，我們可以計算在郵件屬于垃圾郵件（或非垃圾郵件）的條件下，觀察到各個特征的概率；其三，建立模型，基于上述條件概率，構建一個概率模型，該模型能夠根據郵件中的特征出現情況，計算郵件是垃圾郵件的總概率；其四，郵件分類決策，當一封新郵件到來時，利用已構建的概率模型，通過全概率公式計算該郵件是垃圾郵件的概率；其五，處理缺失數據，在實際應用中，可能會遇到某些特征在訓練數據中從未出現的情況，導致概率計算出現問題。全概率公式結合平滑技術（如拉普拉斯平滑）可以解決這個問題，確保即使在數據稀疏的情況下也能進行有效的概率估計。

全概率公式在垃圾郵件過濾中的應用，使得過濾器能夠基于郵件內容的統計特性做出更加科學的分類決策，有效減少誤判和漏判，提高過濾效率。

3 貝葉斯公式教學

全概率公式通過原因來預測結果，而貝葉斯公式則通過結果來推斷原因。如今，貝葉斯公式在醫學、金融、人工智能等多個領域已有廣泛的應用。

3.1 貝葉斯公式

設S是隨機試驗E的樣本空間，A為隨機試驗E的事件，B1，B2，…，Bn是樣本空間S的一個劃分，且P（A）＞0，P（Bi）＞0則：

P（Bi|A）=P（Bi）P（A|Bi）∑nj=1P（Bj）P（A|Bj），i=1，2，…，n［5］

它表示：在觀察到事件B已經發生的條件下，尋找導致事件B發生的每個原因的概率。

該公式于1763年由貝葉斯給出。當時，這一理論在很長時間內都沒有被認可和重視，但隨著時間的流逝和不斷的演進，貝葉斯公式及其衍生的理論體系已經形成了一個以“貝葉斯”命名的統計學派，并且在自然科學的研究和國家經濟的發展中發揮了廣泛的作用。這也啟示學生追求真理的過程是漫長艱辛的，只有堅持不懈，才能勇攀高峰、有所成就。

3.2 對全概率公式和貝葉斯公式的理解

全概率公式和貝葉斯公式是概率論中兩個基礎且強大的工具，它們在統計推斷和決策制定中扮演著核心角色。全概率公式是一種計算一個事件發生概率的方法，該事件的概率可以通過分解為完備事件組來計算。這個公式允許我們通過考慮所有可能導致某個事件發生的可能情況，來計算該事件的總概率。而貝葉斯公式則提供了一種在已知結果的情況下，逆向推斷原因發生概率的方法。它允許我們更新對某個假設的信念，給定新的證據。全概率公式和貝葉斯公式是互補的。全概率公式用于從原因推導結果，而貝葉斯公式用于從結果推導原因。這兩個公式提供了處理不確定性和進行概率推斷的有效方法。在現實世界的問題中，這兩個公式幫助我們從數據中學習模式，做出預測，并在新信息出現時更新我們的推斷?？偟膩碚f，全概率公式和貝葉斯公式是理解和應用概率論的基石，它們在數據分析、人工智能、決策科學等多個領域中都有著廣泛的應用。通過這兩個公式，我們可以更好地理解和預測隨機現象，做出更加科學和合理的決策。

3.3 貝葉斯公式在現實生活中的應用

貝葉斯公式的應用十分廣泛，涉及醫學、人工智能等領域，常用于研究可靠性問題，如可靠性壽命檢驗、可靠性維護、可靠性設計等。通過貝葉斯公式，我們可以更好地處理不確定性，進行概率推斷，并在多個領域中實現更精準的決策和預測。

例2：已知某品牌汽車的發動機出現故障的主要原因有傳感器出現故障、混合氣燃燒不良、空氣濾芯燃燒不干凈，它們所構成的占比分別為0.5、0.2、0.3，且它們發生故障的概率為0.6、0.1、0.3?，F已知機器發生了故障，應該先從哪個原件開始檢查？

分析：設事件D表示“發動機出現故障”，事件A表示：機器出現故障的原因是“傳感器出現故障”，事件B表示：機器出現故障的原因是“混合氣燃燒不良”，事件C表示：機器出現故障的原因是“空氣濾芯燃燒不干凈”，則：P（A）=0.5，P（B）=0.2，P（C）=0.3，由題意可知，傳感器出現故障的概率為0.6，即P（D|A）=0.6，同理：P（D|B）=0.1，P（D|C）=0.3。所求為在發生故障的前提下，此故障是由A、B、C造成的占比。

由全概率公式有：

P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）

=0.41

由貝葉斯公式有

P（A|D）=P（A）P（D|A）P（D）=0.30.41

同理可得：

P（B|D）=0.020.41；P（C|D）=0.090.41

故應該從傳感器開始檢查。

此事例說明全概率公式和貝葉斯公式能夠應用于解決日常生活中的可靠性驗證問題，兩個重要公式在實際的工作中發揮著重要的作用。通過這兩個公式，我們可以更準確地評估產品或系統的可靠性，從而給工作提供更科學和精準的決策。如在把控產品質量時，運用這兩個公式可以幫助我們快速找到產品的缺陷，從而優化工作的流程，減少人力物力資源的浪費。此外，如果能夠將這些檢測到的數據實時上傳到廠家的數據庫，可以為廠家提供即時的數據反饋，幫助廠家及時優化生產流程，調整生產方案，以便更靈活地適應市場的變化。

雖然近幾年大數據的發展迅猛，但其發展的空間仍很大，如何讓大數據更好地惠及我們生活，仍是大家未來努力的方向。因此，激勵學生在校園生活中扎實學習專業知識，積極創新，勇于探索，利用所學的理論知識開拓未知新的領域，通過教育與實踐相結合的形式，讓學生學會如何運用大數據解決現實中的實際問題，如何將理論知識轉換成實際應用，以實現個人價值和社會價值。

結語

“概率論與數理統計”作為大學課程體系中的一門基礎性課程，需要學生具備一定的數學理論知識，同時這門課程又與我們的日常生活緊密相連，因此，教學過程中一方面要做到啟發式教學，讓學生深度融入課堂，增加對這門課程的興趣；另一方面應加入一些與生活實際相關的例題，讓學生在課堂中感受到知識在實際生活的應用，體驗到學以致用的樂趣。

本文通過選取學生熟悉的生活實例作為背景，引入全概率公式和貝葉斯公式，旨在加深學生對這兩個關鍵公式的理解，并增加他們對于學習的熱情。在講授全概率公式時，通過過濾垃圾郵件的事例，學生感受到了理論知識在實際生活中的應用。而后在講解貝葉斯公式時，先介紹了貝葉斯公式的概念，再介紹了全概率公式和貝葉斯公式二者之間的內在聯系，最終，通過分析可靠性檢驗的實際案例，更加突顯了“概率論與數理統計”與日常生活的密切聯系，并鼓勵學生要認真學習，敢于創新和突破，將所學應用于現實生活，以對社會產生積極作用。

參考文獻：

［1］劉娟，胡桂武.人工智能思維利器：貝葉斯公式的教學探究［J］.教育教學論壇，2019（38）：141143.

［2］王雪明，宋娜.全概率公式與貝葉斯公式在信號傳輸方面的應用［J］.企業導報，2014（13）：136+70.

［3］張天德.經濟數學：概率論與數理統計［M］.北京：人民郵電出版社，2020.

［4］徐健清.全概率公式與貝葉斯公式在生活中的應用［J］.智庫時代，2017（08）：240241.

［5］王鵬，潘保國，許道軍，等.概率論與數理統計［M］.合肥：合肥工業大學出版社，2020.

基金項目：安徽省教學研究項目，復變函數與積分變換課堂教學的有效性探究（2023jyxm0896）

作者簡介：王慧（1993— ），女，漢族，河南商丘人，碩士研究生，助教，研究方向：基礎數學。

*通信作者：李凱旋（1993— ），男，漢族，河南商丘人，博士研究生，講師，研究方向：智能優化、分布式優化、多智能體系統。