探究式學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題教學(xué)是核心環(huán)節(jié)之一，傳統(tǒng)的解題教學(xué)往往注重教師的講解與示范，學(xué)生多為被動(dòng)接受[1.而探究式學(xué)習(xí)則強(qiáng)調(diào)學(xué)生主動(dòng)參與、積極思考與探索，以學(xué)生為主體，引導(dǎo)其在自主探究與合作交流中發(fā)現(xiàn)問題、提出假設(shè)、驗(yàn)證結(jié)論，從而深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)與解題方法.例如，在高中數(shù)學(xué)教材中，函數(shù)、幾何等知識(shí)體系復(fù)雜且抽象，而探究式學(xué)習(xí)能夠幫助學(xué)生更好地挖掘知識(shí)內(nèi)涵，提高解題靈活性與創(chuàng)新性[2.將探究式學(xué)習(xí)應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)，有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使其在面對(duì)復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題時(shí)能從容應(yīng)對(duì)，進(jìn)而為其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)及未來發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)[3].

1探究式學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的意義

1. 1 培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力

在探究式學(xué)習(xí)的解題教學(xué)中，學(xué)生需要自主分析問題、查閱資料、嘗試不同解法.例如，在學(xué)習(xí)立體幾何中的“線面垂直的判定”時(shí)，教師提出問題：如文章編號(hào)：1008-0333（2025）21-0018-04何證明一條直線與一個(gè)平面垂直？學(xué)生需自主回顧相關(guān)定義、定理，如“直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直則線面垂直”等知識(shí)，然后通過對(duì)具體幾何圖形的觀察、分析，嘗試構(gòu)建證明思路.這種自主學(xué)習(xí)的過程，使學(xué)生逐漸擺脫對(duì)教師的依賴，提高自主獲取知識(shí)與解決問題的能力[4].

1. 2 提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)

高中數(shù)學(xué)解題中的探究式學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.以解析幾何中的橢圓問題為例：已知橢圓方程 ，求橢圓上一點(diǎn)到某直線的距離最值.學(xué)生在探究過程中，需要運(yùn)用代數(shù)方法與幾何直觀相結(jié)合的思維方式.先將橢圓方程與直線方程聯(lián)立，通過代數(shù)運(yùn)算得到關(guān)于某變量的函數(shù)，再結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，分析函數(shù)的最值情況.這一過程鍛煉了學(xué)生的邏輯思維、抽象思維與形象思維，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維更加嚴(yán)謹(jǐn)、靈活與深刻

1.3 增強(qiáng)學(xué)生合作交流能力

在探究式學(xué)習(xí)中，小組合作是常見形式.例如在解決數(shù)學(xué)建模問題（如建立函數(shù)模型解決實(shí)際生活中的成本與利潤(rùn)問題）時(shí)，小組成員需要分工合作：有的負(fù)責(zé)收集數(shù)據(jù)，有的負(fù)責(zé)構(gòu)建函數(shù)模型，有的負(fù)責(zé)分析模型的合理性.在此過程中，學(xué)生們相互交流想法、分享經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)傾聽他人意見，共同解決問題通過合作交流，學(xué)生不僅能拓寬解題思路，還能提高團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力與溝通能力[5].

1.4 深化學(xué)生知識(shí)理解與應(yīng)用

探究式學(xué)習(xí)能夠促使學(xué)生深人挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系.以數(shù)列與函數(shù)的綜合問題為例，在探究數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)表達(dá)式的關(guān)聯(lián)時(shí)，學(xué)生需回顧函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、周期性等），并將其與數(shù)列的遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式推導(dǎo)相結(jié)合.通過此類探究，學(xué)生能將分散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，在不同情境下靈活遷移運(yùn)用，從而深化對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，提升知識(shí)遷移與應(yīng)用能力，為應(yīng)對(duì)復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題筑牢根基.

2 探究式學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的實(shí)施策略

2.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)探究欲望

教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生實(shí)際情況創(chuàng)設(shè)合適的問題情境.比如在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：在單位圓中，已知角 α 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，那么角 α+π 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)有何關(guān)系？這種與教材知識(shí)緊密結(jié)合且具有啟發(fā)性的問題情境，能激發(fā)學(xué)生的好奇心與探究欲望，使學(xué)生主動(dòng)投人到解題探究中.

2.2 引導(dǎo)學(xué)生自主探究，培養(yǎng)獨(dú)立思考能力

在解題教學(xué)中，教師應(yīng)給予學(xué)生足夠的自主探究空間.例如，在講解數(shù)列求和問題時(shí)，對(duì)于等差數(shù)列 {a_n} ，已知首項(xiàng)為 a₁ ，公差為 d ，求其前 Ω_n 項(xiàng)和 S_n .教師先引導(dǎo)學(xué)生回顧等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 a_?n=a_?1+（n-1）d ，然后讓學(xué)生自主嘗試推導(dǎo)前 n 項(xiàng)和公式.學(xué)生可能會(huì)從首項(xiàng)與末項(xiàng)相加、第二項(xiàng)與倒數(shù)第二項(xiàng)相加等方式入手，通過獨(dú)立思考與探索，逐漸發(fā)現(xiàn)規(guī)律，推導(dǎo)出

2.3 組織小組合作，促進(jìn)思維碰撞

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，小組合作探究能發(fā)揮學(xué)生的群體智慧.例如在解決平面向量的綜合問題時(shí)，已知向量 a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂） ，求 在 方向上的投影以及 與 夾角的余弦值等問題.教師將學(xué)生分組，小組成員共同分析向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算與幾何意義之間的內(nèi)在聯(lián)系.在討論過程中，有的學(xué)生可能從坐標(biāo)運(yùn)算的代數(shù)角度出發(fā)，有的學(xué)生則從幾何圖形的直觀角度思考，通過思維碰撞，小組能歸納出多種解題方法，加深對(duì)向量知識(shí)的理解與應(yīng)用.

2.4 鼓勵(lì)反思總結(jié)，深化知識(shí)理解

解題后的反思總結(jié)是探究式學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié).例如：已知雙曲線方程 ，過雙曲線右焦點(diǎn)的直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).在解決完這樣一道圓錐曲線中的雙曲線問題后，教師可引導(dǎo)學(xué)生反思解題過程中用到的雙曲線的定義、性質(zhì)，如焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程等知識(shí)，總結(jié)不同解題方法的優(yōu)缺點(diǎn)，如直接聯(lián)立直線與雙曲線方程求解與利用雙曲線定義求解的差異.通過反思總結(jié)，學(xué)生能將解題經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為自己的知識(shí)，提高解題能力與知識(shí)遷移能力.

3探究式學(xué)習(xí)在不同類型高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用

3.1 代數(shù)類問題

3.1. 1 方程與函數(shù)問題

以二次函數(shù) y=ax²+bx+c（a≠0） 為例，探究其在區(qū)間 [m，n] 上的最值問題.教師可首先引導(dǎo)學(xué)生分析二次函數(shù)的圖象特征，根據(jù) a 的正負(fù)確定圖象開口方向，然后討論對(duì)稱軸 與區(qū)間 [m，n] 的位置關(guān)系.當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間左側(cè)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間右側(cè)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)時(shí)，函數(shù)在對(duì)稱軸處取得最值，同時(shí)比較區(qū)間端點(diǎn)值確定最大值或最小值.通過這樣的探究過程，學(xué)生能夠深入理解二次函數(shù)的性質(zhì)與最值求解方法，并且靈活運(yùn)用到其他函數(shù)或方程問題中，如求解高次方程根的分布問題時(shí)，可類比二次函數(shù)的方法，通過分析函數(shù)的單調(diào)性與極值情況來確定根的位置[.

3.1.2 數(shù)列問題

對(duì)于等比數(shù)列 {a_n} ，公比為 q ，探究其前 n 項(xiàng)和公式 S_n 的推導(dǎo).當(dāng) q=1 時(shí)， S_n=na₁ ，這比較容易理解.當(dāng) 時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生采用錯(cuò)位相減法推導(dǎo).設(shè) S_n=a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1 ，則 qS_n=a₁q+a₁q² +…+a₁qⁿ ，兩式相減可得 （1-q）S_n=a₁-a₁qⁿ ，從而推導(dǎo)出 在這個(gè)過程中，學(xué)生不僅掌握了等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，還能體會(huì)到數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)雜的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，并且能夠運(yùn)用這種思想解決其他數(shù)列求和的變形問題，如求數(shù)列 {n?a_n}（{a_n} 為等比數(shù)列）的前 n 項(xiàng)和，可通過錯(cuò)位相減法進(jìn)一步探究求解.

3.2 幾何類問題

3.2.1 平面幾何問題

在平面幾何中，探究三角形內(nèi)角和定理的證明時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生采用多種方法證明，如通過作平行線將三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化為平角；或者將三角形分割成兩個(gè)直角三角形，利用直角三角形的內(nèi)角和以及角的等量代換來證明.以作平行線法為例，過 ΔABC 的頂點(diǎn) A 作直線 EF//BC ，則∠B=∠EAB ， ∠C=∠FAC. 因?yàn)?∠EAB+∠BAC+ ∠FAC=180^° ，所以 ∠A+∠B+∠C=180^° 通過這樣的探究過程，學(xué)生能加深對(duì)平面幾何圖形性質(zhì)與證明方法的理解，且在解決其他平面幾何問題（如多邊形內(nèi)角和問題）時(shí)，能夠運(yùn)用類似的轉(zhuǎn)化與構(gòu)造思想.

3.2.2 立體幾何問題

以正三棱柱為例探究其外接球半徑的求法時(shí)，首先引導(dǎo)學(xué)生分析正三棱柱的幾何特征，確定其上下底面中心連線的中點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等，該中點(diǎn)即為外接球的球心.設(shè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為 α_a ，高為h，底面三角形外接圓半徑r=√3a， 然后根據(jù)勾股定理求出外接球半徑

在這個(gè)過程中，學(xué)生需要綜合運(yùn)用立體幾何中的線面關(guān)系、平面幾何知識(shí)以及空間想象能力，并且在解決其他立體幾何外接球或內(nèi)切球問題時(shí)，能夠類比這種分析思路，例如在求正四面體的外接球半徑時(shí)，可通過確定其外接球的球心位置，利用相關(guān)幾何關(guān)系進(jìn)行求解.

3.3 概率與統(tǒng)計(jì)類問題

3.3.1 概率問題

在古典概型中，探究投擲兩枚骰子時(shí)點(diǎn)數(shù)之和為7的概率.教師可首先引導(dǎo)學(xué)生確定基本事件總數(shù)：投擲兩枚骰子，每枚骰子有6種可能結(jié)果，所以基本事件總數(shù)為 6×6=36 種，然后找出點(diǎn)數(shù)之和為7的情況有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6種，所以所求概率為 在這個(gè)過程中，學(xué)生能夠掌握古典概型的概率計(jì)算方法，即通過確定基本事件總數(shù)與所求事件包含的基本事件數(shù)來計(jì)算概率.在解決其他古典概型問題（如抽獎(jiǎng)問題、摸球問題）時(shí)，學(xué)生也能夠依照該思路進(jìn)行分析與計(jì)算.

3.3.2 統(tǒng)計(jì)問題

對(duì)于一組數(shù)據(jù) x₁，x₂，…，x_n ，探究其平均數(shù)、方差的計(jì)算與意義.平均數(shù) 反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，方差 反映了數(shù)據(jù)的離散程度.教師引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算平均數(shù)與方差，理解其在數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析中的意義.例如，在比較兩組學(xué)生的成績(jī)穩(wěn)定性時(shí)，可通過計(jì)算方差來判斷一方差越小，成績(jī)?cè)椒€(wěn)定.在解決其他統(tǒng)計(jì)問題（如莖葉圖、頻率分布直方圖相關(guān)問題）時(shí)，學(xué)生能夠運(yùn)用平均數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行綜合分析，例如根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差.

3.4 數(shù)學(xué)建模類問題

以實(shí)際生活中的優(yōu)化問題為例，如某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為 Ψ_a 元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的變動(dòng)成本為 b 元，產(chǎn)品的售價(jià)為 c 元，假設(shè)銷售量 x 與售價(jià) c 之間存在函數(shù)關(guān)系 x=k（c-d）+e（k，d，e 為常數(shù)），探究如何確定售價(jià) 使得利潤(rùn)最大.首先建立利潤(rùn)函數(shù) L（x）=cx-（a+bx）=（c-b）x-a ，將 x= k（c-d）+e 代人利潤(rùn)函數(shù)得到 L（c）=（c-b）[k（c -d）+e]-a ，然后通過求導(dǎo)等方法找到利潤(rùn)函數(shù)的最大值點(diǎn).在這個(gè)過程中，學(xué)生需要將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)求解，并能對(duì)結(jié)果作出符合實(shí)際意義的解釋.通過這樣的數(shù)學(xué)建模探究，學(xué)生不僅提升了運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，而且在面對(duì)其他優(yōu)化問題（如資源分配問題、行程安排問題等）時(shí)，能夠建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析與求解[]

3.5 綜合類問題

在高中數(shù)學(xué)中，常常會(huì)遇到綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的問題.例如在解析幾何與向量綜合的問題中，已知橢圓 ，點(diǎn) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） y₂ ）在橢圓上，向量 與 的夾角為 θ ，探究 θ 的取值范圍.首先利用橢圓方程設(shè)出點(diǎn) ^A，B 的坐標(biāo)，然后計(jì)算向量 ，再結(jié)合橢圓的參數(shù)方程將 x₁，y₁，x₂，y₂ 進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解 θ 的取值范圍.在這個(gè)過程中，學(xué)生需要綜合運(yùn)用橢圓的方程、向量的運(yùn)算、三角函數(shù)等知識(shí).通過探究式學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力，在面對(duì)高考中的綜合題時(shí)能更好地應(yīng)對(duì)[8]

4結(jié)束語

總之，探究式學(xué)習(xí)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中具有不可替代的重要作用，它以學(xué)生為主體，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力、數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、合作交流能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.通過創(chuàng)設(shè)問題情境、引導(dǎo)學(xué)生自主探究、組織小組合作、鼓勵(lì)反思總結(jié)等策略，探究式學(xué)習(xí)在代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建模及綜合類等不同類型的數(shù)學(xué)問題中得以有效應(yīng)用.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)深入理解探究式學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與方法，結(jié)合教材內(nèi)容與學(xué)生實(shí)際情況，精心設(shè)計(jì)探究式解題教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在探究中不斷成長(zhǎng)，為學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升與未來發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，同時(shí)也為高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的提高提供有力保障

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