“導數法\"在研究含參函數極值、最值問題上的應用

導數是微積分中的一個重要概念，針對高中數學中涉及的一元函數，函數的變化率就轉化成了函數圖象在 軸上的值如何沿著 x 軸變化[].對于函數圖象上某一微小的區間，從導函數的定義出發，有 ，當且僅當這個極限存在時，函數 f（x） 在 x 點處可導，這就涉及函數的定義域問題.高中數學接觸到的初等函數，其定義域并不總是實數域R，如對數函數的定義域為 R⁺ .這一點是必須強調的，沒有定義域，則函數在區間上沒有定義，更別談什么導函數[.本文通過幾個例題深入講解導數法在研究含參函數極值、最值問題上的應用.

1 實例應用

1. 1 參數為初等函數的系數

參數僅會影響函數導函數的正負號，不會導致函數的增減性在 x 軸上發生平移，解決這類問題可先找出不帶參數的情形下的關鍵點，再帶入題中的條件即可.

例1 在區間[0，1]內大于0且在 x=1 處取最小值，求 Ψ_a 的取值范圍.

解析此類情形較為簡單，在不考慮參數的情形下設其函數為 ，導函數為 x+1'在區間[0，1]內單調遞增，但由于函數在 x=1 處取最小值，且函數 f（x） 在區間內連續，所以在 x=1 處保持左連續，可知 ?0. 又因為函數在區間[0，1]內大于0，所以 f（1）= 可得 Ψ_a 的取值范圍

例2已知函數 在點（e， f（e） ）處的切線方程為 y=-bx+2e .若存在x∈[e，e²] 滿足 ，求實數 b 的取值范圍；

解析 f（x） 在區間內存在 x∈[e，e²] 使得函數的取值小于等于 ，從其逆命題出發， f（x） 在區間內不存在 x∈[e，e²] 使得函數的取值小于等 ，即區間內的函數取值都大于 ，即

則 g^′（x）= ，由導函數可知 g（x） 在區間[e， e²] 上單調遞增，則在區間內 g（x） 的最小值大于 b ，其最小值為 ，所以 回到題中所給的原命題，可得題中要求的 b 的取值范圍為

1.2 參數和初等函數中的自變量構成新的自變量的函數

參數和初等函數中的自變量構成新的自變量的函數的情形，對應的是參數與自變量呈線性關系，但函數本身不是線性函數，

例3 f（x）=x²+ax+1，x∈[-1，1] ，若函數 f（x） 在 [-1，1] 上有最小值—1，求實數 Δ_a 的取值范圍.

解析求導函數：對函數 f（x）=x²+ax+1 求導，根據求導公式 （Xⁿ）^′=nX^n-1 ，可得 f^′（x）= 2x+a ：

分析函數單調性：令 f^′（x）=0 ，即 2x+a=0 解得 1

當 f^′（x）gt;0 時， ，此時函數 f（x） 單調遞增；

當 f^′（x）lt;0 時， ，此時函數 f（x） 單調遞減.

根據極值點位置分情況討論：

情況1 當- ，即 a?2 時：

函數 f（x） 在 [-1，1] 上單調遞增

所以 f（x）_min=f（-1） ，將 x=-1 代人 f（x） ，可得 f（-1）=1-a+1=2-a ：

已知 f（x）_min=-1 ，則 2-a=-1 ，解得 a=3 滿足 a?2

情況2 當 ，即 a?-2 時：

函數 f（x） 在[—1，1]上單調遞減.

所以 f（x）_min=f（1） ，將 x=1 代入 f（x） 可得 f（1）=1+a+1=2+a， 已知 f（x）_min=-1 ，則 2+a=-1 ， 解得 a=-3 ，滿足 a?-2

情況3 當 ，即 -2

函數 f（x） 在 處取得最小值.

所以

已知 f（x）_min=-1 ，則""，即 a²=8 解得""，但""均不滿足 -2這種情況無解.

綜上，實數 a 的取值范圍是 或a=-3} ：

1.3參數參與初等函數的構建

在這類情形中，僅考慮冪函數、指數函數和對數函數.參數為函數的指數或者底數或者對數[3].

例4討論函數 f（x）=a^x+x-a 的極值點問題，其中 agt;0

解析函數的一階導數為 極值點的充要條件為一階導等于0，所以其臨界點滿足 ，可得

當 agt;1 時， ，與題目條件相矛盾；當0 ，此時 存在解 x= 所以存在一個極值點，現討論極值點的類型. f（x） 的二階導為 ，所以極值點為極小值點.

2 結語

本文探討了導函數在高中數學含參函數中的應用，通過分析參數與自變量的三種關系，展示了導數法在求解極值和最值問題中的有效性.盡管題目中不常出現極值或最值的直接表述，但求解過程中不可避免地需要討論這些概念.由于導函數揭示了函數的變化趨勢，使得直接研究導函數成為分析函數性質的實用方法，導數法為解決含參函數問題提供了一種有效途徑

【基金項目：威海市第四期“四名工程”和全環境立德樹人專項課題“大單元視域下高中數學情境化課堂教學實踐研究”，基金編號：KY2023118.】

參考文獻：

[1]夏文華.導數法在高中數學解題中的價值及實踐[J].數理天地（高中版），2024（23）：66—67.

[2]陳余杰.“導數法”在含參函數極值、最值問題中的應用[J].中學數學，2024（11）：76—77.

[3]侯有岐.用導數研究函數的極值和最值問題———以2022年全國乙卷理科第16題為例[J].高中數理化，2023（Z1）：62-64.