淺析提高“數學分析”課程教學質量的一些方法

2025-08-28 00:00:00彭聰明

科技風 2025年23期

摘要：“數學分析”是大學本科數學類專業學生的核心基礎課，如何提高課程教學質量和學生的學習水平至關重要，這將直接影響到學生后繼課程的學習和未來的職業發展。本文提出了一些通過預習來促進學生學習并提高其教學質量的思考。預習是學生對要學習的新知識自主開展的預先學習，學生在預習中對新的知識建立初步的感知和理解，養成良好的預習習慣，能為上好課打好扎實的學習基礎，結合數學文化進行有效的預習能進一步提高學生的學習效果。本文將結合已有預習案的設計，淺談利用預習案提高學生“數學分析”課程學習質量的一些方法。

關鍵詞：預習案；數學文化；確界；數列極限；斂散性

中圖分類號：G642

“數學分析”作為師范類院校數學專業學生的專業基礎課，其學習成果將影響學生的整個大學生涯甚至更遠，由于具有抽象性、嚴密性和邏輯性強的特點，所以很多剛接觸“數學分析”的學生很難快速進入學習狀態。而且，“數學分析”的學習水平對后繼課程如“實變函數”“復變函數”“常微分方程”“泛函分析”及“數學物理方程”的學習至關重要。但地方師范類院校本科生的學習現狀卻很不理想，究其原因，一方面是學生初學階段很難將思維從初等數學的思考方式轉化為高等數學的思考方式，事實上這一轉變需要一定的時間；另一方面是由于學生的自主學習能力整體較差。本文將討論如何在“數學分析”課程教學中引導學生提高自主學習能力，通過預習案，學生能夠預先學習并完成一定的作業及思考題，并且也可將課程思政融入預習案，通過思政內容提高學生的學習興趣，提升學生的數學專業素養。眾所周知，“數學分析”課程知識點多而雜，授課教師總感覺時間不夠，事實上我們完全可以通過預習案讓學生提前學習查找一些自己完全有能力自學的知識點，這將有助于教師節約時間并集中精力講解更重要和更難懂的知識點。

關于如何提高“數學分析”的教學質量，眾多研究者已經給出了一些方法和思考，如參考文獻［1—7］。事實上，關于將數學文化融入大學課程甚至“數學分析”課堂中的研究也有眾多文獻，如參考文獻［8—13］。但是如何通過預習案提高學生自主學習能力的討論在大學本科階段比較少見，基本出現在基礎教育階段，但筆者認為通過一系列的預習案督促學生提前思考問題，并帶著問題進入課堂的教學效果是很顯著的。本文將首先給出一個完整的講解參考文獻［14］時的預習案，其次分析預習案各部分的主要內容及設置原因，最后再總結近年來的一些思考和總結。

1 預習案案例——以集合的確界為例

1.1 章節及內容

第一章第二節，內容為數集和確界原理。

1.2 重點及難點

重點：確界的等價定義、嚴格定義及證明。難點：利用稠密性等工具證明數集的確界，理解確界和最大最小數的關系。

1.3 預習主要內容

（1）數集和鄰域，寫出下列數集的定義及在數軸上畫出其圖像。①開區間；②閉區間；③半開半閉區間；④U（a，δ）；⑤U°（a，δ）；⑥U+°（a，δ）；⑦U-°（a，δ）。關于區間和鄰域你有什么困惑嗎？

（2）有界集和無界集的定義，并舉兩個有界集和無界集的例子（分別在R1和R2上）。

（3）數集確界的定義和你對確界定義的理解。

（4）設E是有界非空數集，maxE或minE一定存在嗎？

1.4 經典習題及方法

（1）見參考文獻［8］第6頁例2：設S={x|x∈（0，1）∩Q}。證明：supS=1，infS=0。通過該例，理解掌握證明集合確界的方法。

（2）證明自然數集有下界而無上界。通過該例，理解掌握證明集合無界的方法。

（3）（0，1）的上確界是比1小的第一個數，這種說法對嗎？

1.5 數學文化

以代數結構思想為例，群的概念首先是拉格朗日提出的，在探討代數方程的一般解時提出了置換群的概念，形成了群論的初步思想。拉格朗日給出了n≤4時，一元n次方程有根式解，而對n≥5時的無根式解的結果并沒有給出嚴格的證明，該結論的嚴格證明是由阿貝爾給出的，但阿貝爾的結論并不排除一些特殊的高次方程有根式解。高次方程有無根式解的問題是由伽羅華解決的，他引入了群論的思想，引入了一系列數學概念，包括群、極大正規子群、可解群、伽羅華群等。群論思想對數學發展的影響：使代數學的研究進入了一個從局部性的研究轉向系統結構的整體性分析研究的階段。自從群論產生以后，相繼產生研究各種結構的數學分支，如研究序結構的格論；研究拓撲結構的拓撲學；研究環和群的復合結構的模論；研究同時具有幾種結構的拓撲向量空間、微分流形、纖維叢等，可以說結構思想是現代數學各分支中最基本、最重要的思想之一。群論已成為解決數學難題的有力工具，促進了數學的進一步統一。群論思想擴大了數學思想方法的應用領域，促進了其他科學的發展。

以上是一節課的完整的預習案，下面對預習案各部分進行逐一說明。

第一部分是授課章節及本節的重難點。第二部分是預習主要內容，這是學生主要需要完成的部分，大多學生完全可以通過讀書自行學習這部分知識點，基本是課本上的概念和簡單結論，一般我們還將在該部分讓學生提出各自在本節學習過程中的一些疑惑，我們將在授課過程中對一些相對比較集中的問題進行解釋。第三部分是經典習題及方法，其實，分析學中的很多基本方法都在眾多定理的證明和一些經典習題中，在這一部分中我們將所授章節中的經典例題和基本方法單獨羅列，使學生明白這些知識點對“數學分析”課程及后繼課程的學習至關重要，這一部分也是該預習案的特色所在。最后，在每一個預習案的結尾給出一些數學文化小知識，主要介紹數學史上的奇聞趣事、數學大師介紹、數學分支介紹及數學前沿問題介紹等內容。

2 預習案各部分設置背景及教學效果分析

筆者在此之前已結合預習案進行“數學分析”教學四年兩輪，現已形成了覆蓋“數學分析”課程所有教學內容的近120份預習案。筆者在預習案的設計和利用預習案教學的過程中積累了一些經驗，主要有如下幾個方面。

（1）預習案中重難點的提供有利于學生明確學習目標，制訂適合自身的學習計劃。一般情況下，重難點都存在于教師的教案中，授課過程中告訴學生并按照重難點進行課程安排，但通過預習案將重難點陳列給學生更有利于發揮學生的主觀能動性。事實上要提煉出一節課的重點和難點并不容易，這需要對知識點進行深入思考并和同行進行深入交流，最后才能總結出合理的重點內容和難點內容，如上述預習案中對確界原理一節中難點的提取。事實上，證明集合的確界的方法很多，而且不同的問題有不同的方法，但結合初等數學和高等數學的不同特點，我們覺得利用稠密性證明集合的確界應該是最核心的，因為初等數學沒有提到稠密性的概念，所以我們應該特別提出并安排學生多做訓練，事實上這個知識點也是“數學分析”課程的核心知識點之一。對于部分章節的教學重難點，我們仍在討論探索之中，我們也可以根據實際情況進行修改凝練。

（2）預習內容是預習案的主要內容，有利于學生提前學習，并通過讀書帶著自己不懂的問題聽課，這樣目的更明確，聽課效果更好。以前，授課教師總糾結于“數學分析”課程知識點太多太雜，上課時間不夠用，通過該部分內容，我們完全可以放手讓學生完成自己可以完成的部分，這樣一方面可以節省時間，另一方面可以讓學生聽課更有效率。三年的教學過程中，最讓筆者驚訝的是學生在提出自己疑惑時的創造力和創新思維，有些問題是我們所無法想象的，有些問題也是我們始料未及的。比如，有些學生認為（0，1）的上確界是比1小的第一個數，對于一個只有初等數學知識的學生而言，經過思考能得到這樣的結果是讓教師感到很欣慰的，因為學生確實經過了思考。再比如，《數學分析（下冊）》中的反函數和隱函數存在定理，由于其抽象難懂，通過經典教學方法很難讓學生學明白這些內容。通過預習案中的提問環節，我們發現學生預習完之后提出來一些我們沒有想到的、但事實上是一些很本質的問題。比如，給出一個隱函數或隱函數組之后它最后到底確定了什么？為什么要用這種方式給出其表達式？隱函數存在定理冗長，應該如何合理使用該定理？帶著這些問題對學生講授課程，尋找更直觀的方式幫學生解釋這些問題讓我們覺得更能提高教學質量，學生發現在教師的講授過程中能得到自己提出的疑惑的答案，自然也聽得更認真仔細。

（3）經典習題和方法部分主要是總結本節課中一些重要的結果及證明方法，這些方法的積累及對這些經典例題的分析將對“數學分析”課程的學習起到事半功倍的作用。事實上，《數學分析》教材中的很多例題有其深刻的背景，其解決方法也包含了分析學中的基本而重要的技巧。比如，在《數學分析（下冊）》多元函數的偏導數中，很多課本例題和課后習題都來源于《數學物理方程》，而且對這些問題稍做分析和引申即可將其引入熱傳導方程和反應擴散方程、波動方程以及橢圓方程和極小曲面方程中，而這些問題都是現代科技的重要基礎。還有就是很多證明和解題技巧，如加項減項技巧、截斷技巧、適當放縮技巧等，這些技巧在很多后續課程中都能用到，甚至學生在今后研究生階段的學習和科學研究中都可以用到，但如果不單獨列出來很難引起學生的注意，所以這部分內容對提高學生的分析能力和水平很有幫助。

（4）最后一部分是數學文化，這部分對提高學生的學習興趣至關重要。數學是枯燥和乏味的，其部分定義比較晦澀，缺乏生動性。教學過程中，我們發現在講解很多基礎內容時學生很難有興趣。但通過數學文化和數學史中的很多富有傳奇色彩的數學家的故事，以及數學在現代科技中的應用，可以提高學生學習數學的興趣，并能幫助學生建立對數學的自信和學習數學的動力。該部分內容主要是讓學生知道數學之趣、數學之美和數學之用。比如，上述數學文化部分介紹了代數結構思想的來源和應用。與之類似的還有其他一些數學思想的介紹，如微積分思想、隨機數學思想及模糊數學思想等。對于一個大學數學專業本科生而言，這些思想的了解對其綜合素質的提升至關重要，可以激發他們的學習興趣并對其建立遠大的目標幫助很大。

3 結語與展望

筆者已進行了三年結合預習案的“數學分析”教學，三年期間效果顯著，部分學生明顯在課堂上能帶著問題聽講，教學效果也明顯發生了變化。未來，我們還希望對預習案進行優化更改，一方面思考提取更準確的教學重點和難點，重難點的精準把握有利于學生分配學習時間，掌握正確的學習方向；另一方面優化預習內容，加入更適宜學生能力水平的問題。將一節課需要講的內容中最基本的、可以自己掌握的內容列出，讓學生自己在課本中尋找。比如《數學分析》基本初等函數部分，由于高中基本不講正割余割函數，也不講反三角函數，而學生通過自學完全可以掌握這些知識，但如果要授課教師全在課堂上講解的話費時費力，不如將這些知識全部安排成學生自學，教師只需要收集學生的疑惑并解答疑惑即可。最后，將一節課的內容分為基本知識、必須理解的知識和提高知識三部分。以數學極限部分為例，其中基本知識為學生必須掌握的內容，內容相對簡單，主要是課本上的基本概念、基本結果和簡單計算，如數列極限中的ε-N定義、數列極限的基本計算方法等。必須理解的知識主要是面向期末考試的水平，主要是一些必須掌握的計算方法和證明方法，如數列極限中的利用ε-N定義證明數列的極限，利用單調有界原理和迫斂性判斷數列極限的存在性等。提高知識主要面向考研和參加數學競賽水平的知識點，如利用柯西收斂準則判斷數列極限是否存在，利用柯西命題和施篤爾茨公式判斷數列的斂散性并求數列的極限，以及斯特林公式與沃利斯公式的使用等。這樣將可以使學生學習的時候更富有層次感，因為對于準備考研的學生和數學素養較高的學生而言，“數學分析”課程的學習可能是一個漫長的過程，而且不能急于求成，需要一遍一遍地學習打基礎促提高，這種將知識點分層次的方法可以幫助他們明確各階段的學習目標，為終身學習奠定基礎。

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