例談彈簧連接體問題的解題策略

1水平面上的彈簧連接體問題

例1如圖1所示，在光滑的水平面上有兩個質量分別為 的滑塊 P?Q ，滑塊 Q 的左端固定一輕質彈簧.兩個滑塊均以大小為 v₀ 的速度沿同一直線相向運動.忽略空氣阻力，則下列選項正確的是

w

（A）當彈簧被壓縮至最短時， Q 的動能達到最小值.(B)彈簧彈性勢能的最大值為 mu2.（C）兩滑塊分離時 Q 的速度為 2v_?0 ：(D）彈簧存在彈力的過程中，彈力對 P 的沖量大小為 mv_o ：

解析 當彈簧被壓縮至最短時， P?Q 共速，取向右為正方向，根據動量守恒定律可知 3mv₀-mv₀= 4mu，解得 ，可知滑塊Q速度由向左變成向右，最小動能時為零，所以當彈簧被壓縮至最短時，Q 的動能不是最小值，（A）選項錯誤；當彈簧被壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能最大，根據機械能守恒定律有 4mv²+E_Pm ，解得彈簧的彈性勢能最大值為 ，(B)選項錯誤；兩滑塊分離時，設 P 的速度為 v₁ ，滑塊 Q 的速度 2mu2，解得u1=0，u=20o，(C)選項正確；彈簧存在彈力的過程中，彈力對 P 的沖量大小為 P=3mv₁-3mv_?0=-3mv_?0 ，負號表示方向向左，大小為 3mv_?0 ，(D）選項錯誤，故選(C).

評析本例中，兩滑塊之間有一彈簧，滑塊相向運動的過程中，彈簧不斷壓縮，兩滑塊的動能向彈簧的彈性勢能轉化，彈簧被壓縮至最短時，彈簧的彈性勢能最大，兩物體的動能之和最小.

2 豎直面上的彈簧連接體問題

例2如圖2所示，在水平地面上，有兩個用輕質彈簧連接著質量均為 ψ_m 的物塊 A，B ，現將一個質量也為 ψ_m 的物體 C 從 A 的正上方一定高度處由靜止釋放， C 和 A 相碰后立即粘在一起，之后在豎直方向做簡諧運動.在簡諧運動過程中，物體 B 對地面的最小彈力為 ，重力加速度為 g ，彈簧的勁度系數為 k ，空氣阻力忽略不計，下列選項正確的是

圖1

圖2

（ ΔA)C 和 A 從相碰后至第一次運動到最低點的過程中加速度先減小后增大.

（B）若 C 物體從更低的位置釋放，簡諧運動最

低點的位置可能不變.

(C）簡諧運動的振幅為 (D)B 對地面的最大彈力為 5.75mg

解析 c 和 A 相碰前，對 A ↓:F_gg=mg，C 和 A 相碰后 ，則 AC 先向下做加速度減小的加速運動，過平衡位置后，加速度反向增大，選項（A)正確；若 C 從更低的位置釋放，則 C 和A相碰后一起向下運動的初速度減小，由機械能守恒定律可知，簡諧運動最低點位置不可能不變，選項（B）錯誤；當彈力等于 AC 的重力時， AC 處于平衡位置，kx₀=2mg ，變形得 2mg，彈簧處于壓縮狀態；當 B 對地面彈力最小時，對 B 進行受力分析： mg= mg+kx，變形得x= 3mg，此時彈簧處于伸長狀態；故簡諧運動的振幅為 11mg，選項(C)錯誤;當AC 運動到最低點時，B 對地面的彈力最大，由對稱性可知，此時彈簧的形變量為 11mg+2mg_19mg，此時彈力為 ，B對地面的彈力F十mg=23mg，選項(D)正確.

故選(A)(D).

評析本例中，彈簧和物體在同一豎直線上， C 和A相碰后立即粘在一起，可看作一個整體，之后AC在豎直線上做簡諧運動，需要運用簡諧運動和動力學的基本方法進行求解.

3斜面上的彈簧連接體問題

例3如圖3所示， A，B 兩小球由繞過輕質定滑輪的細線相連，A放在固定的光滑斜面上，斜面傾角為 30^°.B?C 兩小球通過勁度系數為 k 的輕質彈簧相連，放在傾角為 30^° 帶有擋板的固定光滑斜面上.現用手控制住 A ，并使細線剛剛拉直但無拉力作用，保證滑輪兩側細線均與斜面平行，且 C 球與擋板接觸.已知 A 的質量為 2m，B，C 的質量均為 ψ_m ，重力加速度為 g ，細線與滑輪之間的摩擦不計，開始時整個系統處于靜止狀態.現釋放A球，求：

圖3

（1）初始時，彈簧是壓縮還是伸長狀態，形變量x₁ 的大小；

(2)A 沿斜面下滑至速度最大時， C 對擋板的壓力大小.

解析(1)對 B 進行受力分析， B 受重力、彈簧彈力、沿斜面向上的支持力作用，設彈簧壓縮量為 x₁ ，B在斜面方向，根據平衡條件有 kx₁=mgsin30^° ，得 x₁= mg.因此，彈簧處于壓縮狀態.

(2)A 沿斜面下滑至速度最大時，加速度為0，有 T=2mgsin30^°=mg ，

此時， B 沿斜面方向的受力有： T^′=kx₂+ mgsin30^°，T=T^′，

對 c ，沿斜面方向的受力有 :kx₂+F_N=mgsin30^°

解得 F_N=0 ，

自此， C 對擋板的壓力大小 F^′_N=F_N=0

評析處理斜面上的彈簧連接體問題時，需要綜合水平面上的連接體問題和豎直面上的連接體問題的解題方法，物體在斜面上運動的過程中，速度最大時加速度為零，可根據平衡條件進行求解.

4結語

彈簧連接體問題雖然具有一定的難度，但通過對典型例題的深入分析，總結出通用的解題策略，能夠幫助學生有效地提高解決這類問題的能力.在解題過程中，學生要養成認真審題、準確分析物理過程和受力情況、合理選擇物理規律、抓住關鍵條件的良好習慣.

參考文獻：

[1]羅金龍，馬晟.對一道彈簧連接體問題疑難點的研究與拓展[J].物理教學，2024，46(8)：53-56.

[2]黃尚鵬.彈簧連接體問題的分析及拓展[J].中學物理教學參考，2023，52(1)：29-34.