電磁感應中線圈模型的分類與解析
2025-09-09 00:00:00鄒克濤
數理天地(高中版) 2025年16期
在歷年高考中，命題者常常借助線圈模型，全面考查學生對電磁感應中電路、動力學、功能關系、動量與沖量等諸多知識的掌握程度.由此可見，線圈模型具有較強的綜合性，若要順利解答相關題目，勢必要深入剖析該模型.
1靜止線圈模型
在靜止線圈模型中，線圈是不運動的，感應電流的產生都是通過磁感應強度的變化來實現的.在該類型的解題中，通常利用等效法，將線圈模擬成電路來分析，解題思路可分為以下四步： ① 電源分析，即找等效電源，求出感應電動勢； ② 根據閉合電路歐姆定律分析電路； ③ 受力分析，求線圈所受安培力；④ 根據平衡條件列方程求解，
例1在圖1中，有一個由硬質細導線制成的正方形線框放置在水平絕緣的粗糙水平面上，線框的邊長為 L ，以其對角線MN所在直線為邊界，左側存在一個垂直平面向上的、磁感應強度大小為 B 按圖乙所示規律隨時間 ΨtΨt 變化的勻強磁場，右側存在一個垂直平面向下的、磁感應強度恒定為 2B0 的勻強磁場.規定垂直平面向上為磁場的正方向，線框所用導線的電阻率為 ρ 、橫截面積為 SΩ0 ，若 0～3To 時間內，線框始終靜止，求：
圖1
（1）在 T0 時刻，線框所受安培力；
（2）在 0～3T0 內，通過線框的電荷量.
解析 （1）T0 時刻，線框內的感應電動勢 E= 
，電流 
左側線框受到的安培力大小為 FE= 
，方向向左；右側線框受到的安培力大小為 
，方向向右.所以整個線框所受安培力的大小為 
，方向向右.
（2）在 0～3T0 內，通過線框的電荷量為 q=I ·
2 平動線圈模型
平動線圈模型是指在線框運動過程中其所在平面與磁感線的夾角不變化，該類型多涉及線圈穿越磁場區域的情況，解題思路與靜止線圈模型類似，只是在分析受力過程時常需用到動能定理、動量定理、機械能守恒定律等知識點輔助解題.
例2如圖2所示，在光滑絕緣的水平桌面（紙面）上固定一個間距為 L 的光滑長直金屬導軌，導軌電阻可忽略，導軌左端連有定值電阻 R1=2R0 .在寬度為 2L 的區域有一方向垂直桌面向上的勻強磁場，磁感應強度為 B ，圖中虛線代表磁場左右邊界，兩邊界與導軌垂直.現將一邊長為 L 、質量為 ψm 的正方形金屬細框放在導軌上，與導軌接觸的兩條邊與導軌平行.若已知金屬框的每條邊的電阻為 R0 ，讓金屬框以初速度 
自左向右進入磁場，求金屬框進入磁場的末速度，并判斷其能否穿越出磁場.
圖2
解析根據題意可將金屬框右邊等效為電源，左邊視為與電阻 R1 并聯，可知金屬框進人磁場過程中電路的總電阻為R總=R。+2 
設金屬框進入磁場的末速度為 v1 ，金屬框進入磁場的過程中取水平向右為正方向，由動量定理得 
mu-mv。，又有q=I△t 
，解得 ，已知 
，解得 
當線框全部進入磁場中時，經等效電路分析，兩條切割磁感線的邊可等效為兩個并聯電源，其與電阻 R1 組成閉合回路，此時回路中總電阻 
（204號假設金屬框右邊能夠到達磁場的右邊界的速度為 v2 ，根據金屬框的邊長和磁場的寬度可知，金屬框完全在磁場中運動過程的位移為 L ，取水平向右為正方向，得 
，解得 v2= 0，因此金屬框無法穿越磁場.
3轉動線圈模型
轉動線圈模型通常會涉及最值、有效值、平均值等的考查，且與功能關系也有較緊密的聯系，此外做題過程中還要注意題目中電能與其他形式能量的轉化情況.
例3如圖3所示，有一個矩形線圈abcd，其邊ab和 ad 分別長為 L 和 3L ，點 
分別在邊ad和bc邊上，且 OO′ 與 cd 邊平行， Od 長為 L .在 OO′ 所在直線的左側有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為 B .若已知線圈的匝數為 N ，總電阻為R ，當線圈繞 OO′ 以角速度 ω 勻速轉動時，求：
（1）從圖示位置開始轉過 60° 的過程中，通過導線截面的電荷量 q ：
（2）線圈在轉動一周過程中產生的焦耳熱 Q
圖4
解析 （1）由法拉第電磁感應定律可得 
（204
根據閉合電路歐姆定律可得 
0
由電荷量 
BL2 ，可得 
（2）圖4是線圈在磁場中轉動時的 e-t 圖像（電動勢與時間的圖像），其中 E1m??E2m 分別為 ab 邊和 cd 邊在轉動過程產生的最大電動勢，設對應的有效值分別為 El，E2 ，
則得 
線圈在轉動一周過程中產生的焦耳熱為
4結語
以上是對線圈模型的簡單分析，掛一漏萬，希望對大家的學習和備考有所幫助.
參考文獻：
[1]張潘.用楞次定律判斷電磁感應中閉合線圈的運動[J]高中數理化， 2020（10）：34-35 元
[2]姜廣姣.電磁感應中的“線圈，線框”典型問題分析[J].中學課程資源，2008（8）：77-78.
