多維探究解法 培養運算素養 引導教考銜接

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2025）23-0001-04

2025年高考綜合改革適應性測試數學試卷（簡稱2025年八省聯考數學卷）備受關注.該試卷在結構特點和考查內容上延續了高考改革思路，注重對基礎知識和重點內容的考查，強化對核心概念和思想方法的測試，并關注關鍵能力和思維品質的評估.該試卷第18題以橢圓與直線的位置關系為背景，結合橢圓的簡單幾何性質，探究動點的軌跡及其方程.該題所涵蓋的知識內容、思想方法，以及在教考銜接方面體現的教學導向，均具有研究價值.

一、試題呈現

[題目]（2025年八省聯考數學卷第18題）已知橢圓 C 的離心率為 ，左、右焦點分別為 F₁（-1，0） ，F₂（1，0）

（1）求 C 的方程；

（2）已知點 M₀（1，4） ，證明：線段 F₁M₀ 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點；（3）設 M 是坐標平面上的動點，且線段 F₁M 的垂直平分線與 C 恰有一個公共點，證明 M 的軌跡為圓，并求該圓的方程.

分析：（1）易得 C 的方程為 .（2）線段F₁M₀ 的垂直平分線 l 的方程為 ，聯立橢圓 C 的方程，消去 y 可得 x²-2x+1=0 ，此時 x=1 ，即1與 C 只有一個公共點 （1，1）_?（3） 此問是求動點的軌跡問題，其中已知量為一個定點和橢圓，未知量為兩個動點和一條動直線，幾何特征是對稱、相切，考查學生的邏輯推理能力和運算素養.

二、多維探究

下面從多個維度探究第（3）問的解法.

（-） 通性通法，突出基本運算

解法一：設 M（x₀，y₀）

當 y₀=0 時，線段 F_iM 的垂直平分線 l 的方程為 故 x₀=5 或 x₀=-3 ；

當 y₀≠0 時，線段 F₁M 的垂直平分線 ξ_l 的方程 y，聯立橢圓C的方程，得

因為直線 ξ_l 與橢圓 c 恰有一個公共點，所以 =0，化簡得x+y+2x2y2

① ，則 （x₀²+y₀²）²-14（x₀²+ ，即 （x₀²+y₀²+2x₀+1）（x₀²+ （204號 y₀²-2x₀-15）=0 因為 y₀²+x₀²+2x₀+1=y₀²+（x₀+ 1）²gt;0 ，所以 x₀²+y₀²-2x₀-15=0 ：

又因為點 （5，0） 和 （-3，0） 也滿足方程 x₀²+y₀²- 2x₀-15=0 ，所以動點 M 的軌跡是以 （1，0） 為圓心， 半徑為4的圓，且方程為 x²+y²-2x-15=0

【解法反思】求軌跡方程的通性通法可概括為“建（建立平面直角坐標系）設（設點的坐標）限（尋求限制條件或等量關系）代（將點的坐標代入關系式）化（化簡關系式）”五大步驟.本題可運用這一方法求解，其解題思路較為清晰，等量關系明確．解法一先設點M，再構造切線方程，最后利用切線性質得出結果，但整體運算煩瑣、難度較大.在化簡式 ① 時，重點運用了主元思想：將 x₀²+y₀² 整體視作主元進行因式分解.若將 y₀² 作為主元， y₀⁴+ （2x₀²-14）y₀²+x₀⁴-18x₀²-32x₀-15=0?y₀⁴+（2x₀²-1） 1）（y₀²+x₀²-2x₀-15）=0 此解法對學生的運算能力、對運算對象的正確理解以及運用主元思想的策略意識都有較高要求.

（二）設線求點，難在配湊消元

解法二：當線段 F₁M 的垂直平分線 l 的斜率存在時，設直線 l 的方程為 y=kx+t ，聯立橢圓 C 的方程，得 （4k²+3）x²+8ktx+4（t²-3）=0 ，則 Δ=（8kt）²- 16（4k²+3）（t²-3）=0 ，整理得 t²=4k²+3

當線段 F₁M 的垂直平分線 l 的斜率不存在時，點 （5，0） 和 （-3，0） 也滿足方程 （x₀-1）²+y₀²=16 ，所 以動點 M 的軌跡是以 （1，0） 為圓心，半徑為4的圓， 且方程為 （x-1）²+y²=16

【解法反思】解法二先設切線方程，再結合切線性質得出關系式 t²=4k²+3. 利用點 M 和 F₁ 的對稱性建立坐標關系，最終通過化簡消元得到點 M 的軌跡方程.由于關系式 t²=4k²+3 是關于 Φ_t 和 k 的二次式，而表達式 結構復雜，同時包含一次項和二次項，直接代入消元難以化簡．因此需先進行代數變形與配湊，再通過平方處理實現消元.該過程要求學生熟練掌握化簡技巧，深入理解運算法則．

（三）設點求點，優化運算過程

解法三：設線段 F₁M 的垂直平分線 l 與 c 恰有一個公共點P（m，n），則直線l的方程為x+ 設點 M（x₀，y₀） ，因為 M，F₁ 兩點關于直線 l 對 0，稱，所以可得方程組解得 將其代入橢圓 c 的方程得 ，下同解法一，

【解法反思】與解法一相比，解法三通過設切點獲得切線方程，大大減少了運算量，但未知數的數量增至四個，要求學生能夠準確把握變量之間的關系，并確定正確的運算方向.而與解法二相比，解法三同樣是求解點坐標，但其化簡和消元過程更加簡潔明了，更易于學生理解和掌握.

（四）借助光學性質，探究問題本質

解法四：因為線段 F₁M 的垂直平分線 l 與橢圓c 恰有一個公共點 P ，所以 |PF₁|+|PF₂|=|PM|+ |PF₂|?|MF₂| ，得 2a?∣MF₂ （當且僅當 M，P，F₂ 三點共線時，等號成立）.

如圖1，連接 MF₂ 交橢圓 C 于 Q ，交直線 l 于 P^′ 則 |QF₁|+|QF₂|=2a. 因為|QF₁|?|P^′Q|+|P^′F₁| （當且僅當 Q，P^′ 兩點重合，即點 P^′ 為切點時，等號成立），且|P^′M|=|P^′F₁| ，所以 |QF₁|+ |QF₂|?|MP^′|+|P^′Q|+|QF₂|=|MF₂|， 即 2a?∣MF₂∣. （

圖1

綜上， M，P，F₂ 三點共線，且 |MF₂|=2a ，故動點M 的軌跡是以 F₂ 為圓心，半徑為 2a 的圓，且方程為（x-1）²+y²=16.

【解法反思】解法四巧妙運用橢圓的幾何特性，通過分析垂直平分線與橢圓的相切關系，將問題條件轉化為三點共線與距離相等的幾何條件，避免了復雜的代數運算.該解法揭示了命題背景與橢圓光學性質的聯系：從橢圓一個焦點發出的光線，經橢圓反射后必經過另一個焦點（如圖2）.這一性質本質是橢圓幾何特征的體現，也反映出解析幾何教學中應注重代數運算與幾何直觀的融合.借助圖形的幾何關系，不僅能簡化運算，更能優化思維路徑，提升解題效率.

圖2

三、追根溯源

人教A版高中數學選擇性必修第一冊第113頁例5以及第140頁“閱讀與思考\"欄目均包含橢圓光學性質的相關內容.而本題的逆命題實為該教材第115頁習題3.1的第6題：如圖3，圓 o 的半徑為定長 ^r，A 是圓 o 內一個定點， P 是圓 o 上任意一點.線段 AP 的垂直平分線 l 和半徑 OP 相交于點 Q ，當點 P 在圓上運動時，點 Q 的軌跡是什么？為什么？[1]

圖3

四、試題編制

受本題的啟發，筆者編制了幾道同類型試題供教學使用，具體題目如下：

1.已知橢圓（ 的左、右焦點分別為F₁，F₂，P 為 c 上任意一點，且圓 F₁：（x+1）²+y²=1 與圓 P 外切，若線段 F₂P 的延長線交圓 P 于點 N ，則 的最大值為

2.已知橢圓 c 的左、右焦點分別為 F₁，F₂，P 為 C 上任意一點，過點 P 作 x 軸的垂線， 垂足為 N ，若點 M 滿足 ，則

3.若拋物線 C：y²=4x 的焦點為 F ，設 M 是坐標平面上的動點，且線段 FM 的垂直平分線與 c 恰有一個公共點 P ，證明直線 MP 的斜率為0.

4.雙曲線具有光學性質：從雙曲線右焦點發出的光線經過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長線經過雙曲線的左焦點.若雙曲線 （agt;0，bgt;0） 的左、右焦點分別為 F₁，F₂ ，從 F₂ 發出的光線經過圖4中的 A，B 兩點反射后，分別經過點 c 和 D ，且 E 的離心率為

圖4

五、教學啟示

（一）緊扣課標教材，聚焦基礎知識

近年來，高考試題命制在考查內容、范圍和比例上均嚴格遵循《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》的要求，強調對基礎知識、基本原理、基本方法和基本技能的深入理解和綜合應用，全面檢測學生的認知深度，引導師生深刻掌握數學概念的本質屬性及內在聯系2.

高考試題既源于教材又高于教材，教學須以課標和教材為根本依據，加強對教材內容的深入挖掘與合理拓展.基礎復習不應是簡單的重復性操練，而應深化對數學概念的理解與實際應用，推動學生對問題本質的主動探究與創新思考.例如，教材第115頁習題3.1第6題中，線段 AP 的垂直平分線其實就是點 Q 的軌跡（橢圓）的切線.教師應充分發揮教材例題、習題的教學功能，避免超標、超量教學；學生也應克服機械學習模式，注重對基礎知識的融會貫通.

（二）實施精準教學，培養運算素養

教師應依據課標和教材，結合任教班級學情和學科核心素養發展要求，實施精準教學.“設而不求”和“化繁為簡”是解析幾何問題的通用策略，教師應鼓勵學生積極動筆、規范表達，幫助學生掌握運用代數方法解決解析幾何問題的基本技能.鑒于解析幾何問題常需借助代數運算求解，教學時教師需從理解運算對象、掌握運算法則、探求運算思路、求得運算結果四個維度培養學生的運算素養[3].

此外，解析幾何以幾何圖形為研究對象，教師需提升學生的圖形分析和幾何性質轉化能力，滲透數形結合思想，幫助學生理解幾何背景，優化數學運算.

（三）引導深度探究，融合代數與幾何思維

學習的過程不僅是獲取知識，更是塑造意識與品質.教師應引導學生深人理解學習的意義，對數學題目的認識不能僅停留在追求正確答案的層面，而要思考問題本質.在解析幾何問題中，單純依賴代數坐標化運算或追求幾何性質轉化都較片面，代數運算能力和直觀想象素養同樣重要.因此，教師要鼓勵學生無論是應用簡單性質還是進行復雜計算，都要努力掌握解法并形成獨立判斷.通過這一過程，逐步實現“深度學習 $$ 高階思維 $$ 系統聯通 $$ 批判創新 $$ 專家構建”的學習路徑，樹立終身學習目標.

[參考文獻]

[1」人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書數學選擇性必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]趙軒，翟嘉祺，郭淑媛.強調靈活考查思維聚焦創新人才選拔：2024年高考數學新課標卷評析[J].數學通報，2024，63（6）：44-47.

[3」中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

（責任編輯 黃春香）