2024年高考數學卷“概率統計”試題分析及教學建議

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A[文章編號] 1674-6058（2025）23-0004-04

高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模活動與數學探究活動四條主線[].作為主線之一，“概率與統計\"強調融入數學文化及探究數學本質，注重考查理性思維與邏輯推理能力，培養數據處理能力，突出數學與生活及其他學科的聯系.本文基于2024年高考數學卷“概率統計\"試題的考查方式和方法展開統計分析，深入探討高考真題的反撥效應，以期為新一輪高三數學備考提供建議.

一、2024年高考數學卷“概率統計\"試題統計

2024年高考數學卷共七套：全國甲卷分文、理科各一套；全國新課標I卷和Ⅱ卷供除北京、天津、上海外的省份統一使用;北京、天津、上海自主命題且不分文理科，共三套.這七套試卷均涵蓋概率統計知識點，涉及12道相關試題.本文從考查方式、分值、考查內容和難度等維度統計“概率統計”試題，詳細結果見表1.

表12024年高考數學卷“概率統計\"試題統計

由表1可知，在考查方式方面，“概率統計\"試題以填空題和解答題為主.12道題目中，填空題占5道，解答題占4道，選擇題占3道.在分值方面，全國新課標Ⅱ卷包含1道選擇題、1道填空題和1道解答題，合計27分，為七套試卷中占比最高；全國新課標I卷設有1道選擇題和1道填空題，合計11分，占全卷總分的 7.3% ；全國甲卷理科為1道填空題和1道解答題，文科為1道選擇題和1道解答題，均為17分，占比 11.3% ；北京卷未設置選擇題和填空題，僅以解答題形式考查，對學生的綜合能力要求較高；上海卷無選擇題，含填空題和解答題共2道，總分19分，其分值占比僅次于全國新課標Ⅱ卷；天津卷未設解答題，僅1道填空題，分值為5分，是2024年高考數學卷中“概率統計”內容占比最低的試卷.

高中數學“概率統計”內容主要分布于必修課程和選擇性必修課程兩部分.其中，必修2的知識點多以選擇題的形式進行考查，特別是“用樣本估計總體\"和“隨機事件的關系及其概率計算\"等均以多項選擇題的形式進行考查.而選擇性必修3的知識點則多以填空題和解答題的形式進行考查，題型普遍具有較強的綜合性，強調知識的交叉與融合。例如，計數原理、排列與組合、隨機事件的條件概率相結合；離散型隨機變量的分布列及期望、正態分布與一元線性回歸模型構成綜合題；成對數據的統計相關性 ?2×2 列聯表與獨立性檢驗等則常以實踐性與創新性較強的題目呈現.在考查內容方面，2024年高考數學卷概率統計模塊的主干知識均有考查.在難度方面，中等難度題目有8道，占比較大；難題有3道，占比較小；7套試卷只有全國卷文科設置低難度的題目1道.

二、2024年高考數學卷“概率統計”試題的特點

（一）注重“四基\"考查，返璞歸真

2024年高考數學卷中，“概率統計\"試題通過單項選擇題、多項選擇題、填空題和解答題四種題型，全面考查了高中數學“概率與統計\"模塊的主干知識與基礎內容.試題既注重知識廣度，又突出對“四基”的考查.尤其是解答題等題型，強調對基礎知識和基本方法的深入理解與靈活運用，體現了高考命題回歸基礎、注重本質的導向.

[例1（全國甲卷文科第5題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是.

解析：本題屬于典型的有條件限制的排列問題，重點考查學生分類加法計數原理和分步乘法計數原理的應用.首先安排甲、乙位置，共有 C₂¹ 種，再安排丙的位置，有 C₂¹ 種，剩下的兩個人全排列有 A₂² 種，滿足條件的排法種數是 C₂¹?C₂¹?A₂²=8 種.完成4個人的排列共有 A₄⁴ 種.根據古典概型的概率計算公式計算可得概率為

[例2]（天津卷第13題 ）A，B，C，D，E 五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.甲選到 A 的概率為 ；已知乙選了 A 活動，他再選擇 B 活動的概率為

分析：本題主要考查組合數與條件概率模型，學生需準確理解題意，解答第一個空只需關注甲的重要信息；解答第二個空時，學生要明確解答事件與條件，再根據條件概率公式進行計算.

解：甲從5種活動中任選三種，全部的情況有C₅³ 種，故甲選到 A 的概率是 記事件乙選到活動A的概率為 P（A） ，乙選到活動 B 的概率為 P（B）則 故 （204

[例3]（上海卷第8題）某校舉辦科學競技比賽，有 A，B，C3 種題庫， A 題庫有5000道題， B 題庫有4000道題， C 題庫有3000道題.小申已完成所有題，他 A 題庫的正確率是 _0.92，B 題庫的正確率是0.86，C 題庫的正確率是0.72.現他從所有的題中隨機選一題，正確率是

分析：本題重點考查全概率公式的應用.學生在解題時，需準確把握該公式的實際背景，明確“任選1題\"這一事件可分解為三個互斥的基本事件，進而依據全概率公式算出正確率.

解：A題庫占比 題庫占比 ，C題庫占比 所以根據全概率公式可知從所有的題中隨機選一題的正確率為 業

（二）融合現實情境，考查模型建構與問題解決能力，凸顯應用與育人價值

2024年高考數學卷“概率統計\"試題通過設置新穎的現實情境，考查學生思維的靈活性與知識遷移能力.在12道試題中，有9道設計了現實情境，多與學生日常生活、社會生產生活以及科技進步和科技成果相關.例如，全國新課標Ⅱ卷第4題和第18題分別以科技成果、體育運動為情境命題；全國甲卷理科第17題和文科第18題均圍繞社會生產生活情境命題；北京卷第18題以保險賠付金額為情境命題，重點考查概率統計知識的實際應用，同時也考查了學生解決實際問題的能力.

以全國新課標I卷第9題為例，該題以“一帶一路”國際合作為背景，能幫助學生樹立建設社會主義現代化強國的理想信念，培養愛國主義情懷和勇于探索、攻堅克難的科學精神，體現了數學學科的育人功能.本題屬于典型的正態分布應用類問題，重點考查學生對現實情境的數學理解與轉化能力.解答時，需先對實際問題進行數學抽象，明確推動出口前后的畝收入 X，Y 分別服從正態分布，即X～N（1.8，0.1²） ， Y～N（2.1，0.1²） ，進而繪制這兩個隨機變量的正態密度曲線（如圖1），在此基礎上建立模型并求解.

圖1X、Y的正態密度曲線

結合正態分布的基本概念及已知條件 P（Zlt; μ+σ）≈0.8413 ，可判斷出B、C選項為正確答案.

全國新課標Ⅱ卷第4題以我國農業科技發展為背景，依托新型水稻畝產量的真實數據，體現了數學的應用價值與時代特征，有助于引導學生樹立服務國家、投身科技事業的理想信念。試題通過統計圖表呈現數據，考查學生對數學語言（圖形、表格與符號）的轉換能力、數據分析與處理能力以及數學運算素養.解題時，學生需從表格中提取前三段頻數與平均數，再依據極差計算方法判斷極差的最大值與最小值.解題過程中，學生不僅能關注數據基本特征，還能提升對科技發展的關注度，增強民族自信.

全國甲卷理科第17題與文科第18題將社會生產勞動實踐與數學基本概念有機結合，激發了學生對勞動實踐的興趣，意在培養學生的勞動態度與精神，體現了高中課程改革的重要導向.本題考查了“概率統計”中的統計與推斷思想，同時側重考查學生的閱讀理解能力、信息整合能力與邏輯推理能力.解答時，學生需從題干中提取有效信息，完成2×2 列聯表的構建，并結合獨立性檢驗的基礎知識進行計算，并下結論.第（2）問通過比較改造前后的優品率，考查學生運用數學思想方法解決實際問題的能力.

（三）新增創新型題目，考查學生思維能力與創新意識

2024年高考數學卷在結構、題型和分值設計上呈現多項創新.全國新課標I卷和Ⅱ卷的總題量均減至19道，增設多選題，并優化解答題賦分策略，出現多道綜合型創新試題.例如，全國新課標I卷第14題在考查古典概型時，融入“田忌賽馬\"策略要素；全國新課標Ⅱ卷第14題同樣基于古典概型，強調分類討論思想的應用；全國甲卷第16題則突出排列與組合知識的綜合運用.此類創新型題目突出思維層次與核心素養的考查，綜合性強，多作為壓軸題，更契合高校人才選拔需求.

以全國新課標I卷第14題為例，該題將數學文化、數學探索與實際應用融入理性思維主線，在考查學生邏輯推理能力的同時，也為具備高階思維能力的學生提供了展示數學建模、數學運算等核心素養的平臺.本題解法多樣，既可借助列舉法求解，也可通過固定甲四輪比賽所選卡片順序進行分類討論.下文將詳細闡述這兩種解法.

解法一（列舉法）：假設乙固定按照2，4，6，8的順序，則甲的所有可能情況如表2所示.

表2甲的所有可能情況

續表

從中找出均小于2，4，6，8，或有3個數字分別小于2，4，6，8的情況，此時甲得0分或1分，共12種．因此，甲總得分不小于2分的情況同樣為12種.根據古典概型可算出所求事件的概率為

解法二：固定甲四輪比賽所選卡片的順序為1，3，5，7，此時乙有 A₄⁴=24 種選法.甲的可能得分為0分，1分，2分，3分，但不可能得4分。

甲得2分時，可分為三種情形：若甲第二、三輪的數字大，有1種選法；若甲第二、四輪的數字大，有3種選法；若甲第三、四輪的數字大，有7種選法，共11種選法.

甲得3分時，只有甲第一輪數字小、后三輪數字大的情形，只有1種選法.因此，甲得分不小于2分的概率為

解法一更適合善于系統枚舉、邏輯縝密的學生，關鍵在于不重不漏地列出所有情形；解法二則更適合數學建模能力較強、能靈活轉化問題的學生，其重點在于剔除干擾因素，構建適當的概率模型.

三、基于高考真題的反撥效應提出針對性教學建議

（一）緊扣概率與統計主線，融通基礎知識與基本方法

基礎性體現在學科內容的基礎性與通用性，以及問題情境的典型性[1.2024年高考數學卷“概率統計”試題中，有9道題為中等難度，突出對基礎知識的考查，尤其在選擇題和填空題中，所選情境與解題方法均體現經典性與代表性.“概率統計”模塊內容較為分散，建議教師依據高考命題趨勢與要求，優化教學策略，設計更符合學生認知水平、有助于提升他們的思維能力的教學方案.教師應有意識地引導學生在積累基本活動經驗的基礎上，通過適量練習，系統歸納題型與解題方法.同時，密切關注學生對基本概念、基本定理和基本方法的理解深度與遷移應用能力，重點培養他們的概率統計知識綜合應用能力.

（二）落實“五育”并舉，強化數學應用素養

數學學科具有應用廣泛、密切聯系實際的特點，在培養學生的理性精神、審美情操和創造能力方面發揮著獨特而重要的作用[2].2024年高考數學卷“概率統計”試題的一個顯著特征是大量創設基于現實情境的數學問題，將知識融入實際背景，凸顯數學的應用價值.教學中，教師應引導學生體會情境背后的德育、美育和體育元素，凝練學生的理性思維，盡可能為學生提供表達思維過程的機會.在遵循學生認知規律的基礎上，重點培養學生運用數學建模解決實際問題的能力，始終將能力培養作為提升數學學科核心素養的核心任務.

（三）依托數學思想和能力，破解創新型試題[3]

2024年高考數學卷“概率統計\"試題進一步強化了對實踐與創新能力的考查.在備考教學中，教師可引入項目式學習，培養學生敢于質疑、批判思考的意識，提升其獨立決策、表達觀點與創新方案設計的能力.針對創新型試題，倡導探究式學習，引導學生在陌生情境中識別問題、發現規律、形成新結論.解決此類問題時，要培養學生主動思考習慣，鼓勵其質疑、提問、領悟新思路，探求數學本質，切實提升數學學科核心素養.

［參考文獻］

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]中國高考報告學術委員會.高考政策與命題解讀[M].北京：現代教育出版社，2021.

[3]教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

（責任編輯 黃春香）

[基金項目]本文系2024年度南寧市教育科學“十四五”規劃課題“新高考數學試題變化對高三備考反撥效應的研究與實踐———以南寧三中為例”（課題編號：2024C1439）的階段性研究成果.