基于“四度六步“教學法的高中數學教學設計

[中圖分類號] G633.6 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-6058（2025）23-0024-04

余弦定理是高中數學的重要內容，它在初中定性判斷三角形全等的基礎上，進一步定量描述了三角形三邊及一角的關系.余弦定理的探究不僅彰顯了向量在研究幾何問題上的強大作用，更是后續解三角形內容的核心.鑒于余弦定理的重要性，眾多學者對其教學展開了研究.如張曉丹借助學生已有知識設置問題情境，設計出以發展學生高階思維、提升學生數學素養為目標的余弦定理教學方案[1]；苗瑛琦在解讀教材的基礎上，探究在余弦定理教學中融入數學文化的途徑與方法[2；王燕榮等人以深入理解教材編寫意圖為前提、啟發引導學生思維深層參與為原則，深人探究余弦定理教學3.分析已有研究可知，學者多側重于知識的系統傳授，關注知識的完整性與準確性，但對學習氛圍營造和知識拓展的關注相對不足.基于此，本文在已有研究的基礎上重新思考余弦定理的教學設計.

“四度六步\"教學法由廣西特級教師戴啟猛經多年實踐、探索與總結凝練而成.該教學法以“四度\"（有溫度、有梯度、有深度、有寬度）為教學主張，以“六步\"（溫故、引新、探究、變式、嘗試、提升）為教學架構，并依此進行教學設計，以打造更精彩的課堂4.它為學生提供了清晰的學習路徑，能提高學生的學習效率，促使學生深人思考，實現師生共同發展，還能提升學生的思維能力.目前，不少學者研究了如何在中小學數學教學中有效落實“四度六步\"教學法.例如，李坤華基于“四度六步\"教學法重新設計“函數的圖象（1）\"課例，展示了“四度六步”教學法在初中數學教學中的應用優勢5；黎有文等結合低年級小學生的年齡特點設計“9加幾”一課的教學，實現了“四度六步\"教學法在小學數學教學中的有效應用；尚文平等以函數復習課“比較大小”為例，詮釋并遵循“四度六步\"教學法所倡導的理念和程式，展示了“四度六步”教學法在高中數學復習課教學中的應用[7].

本文基于“四度六步\"教學法，對人教A版高中數學必修第二冊“余弦定理\"的教學進行設計，為一線教師提供參考.

一、基于“四度六步”教學法的教學過程設計

（一）溫故—復習提問，溫故孕新

師：初中時我們學過哪些判定三角形全等的方法？

生：邊角邊（SAS）、邊邊邊（SSS）角角邊（AAS）、角邊角（ASA）斜邊直角邊（HL）.

師：以SAS為例，如果已知一個三角形的兩邊及其夾角，那么這個三角形是唯一確定嗎？

生：是.

師：既然唯一確定，那能求出這個三角形其他邊的長度和角的大小嗎？

（學生面露困惑，教師可稍作停頓，觀察學生反應后再補充說明）

師：初中我們定性研究了三角形，今天我們從定量角度探討已知三角形兩邊及其夾角，如何求第三邊的邊長.

設計意圖：新知識源于舊知識.引導學生回顧三角形全等判定方法，有助于多角度理解三角形性質，為引入余弦定理做鋪墊，讓學生體會知識的連貫性.

（二）引新 創設情境，引入課題

某海域A處的甲船獲悉，在其西偏北 60^° 方向相距7海里的 B 處有一艘漁船遇險拋錨等待營救.甲船立即前往救援，并通知位于其正東方向相距20海里的 C 處的乙船.乙船接到通知后立即前往 B 處協助營救遇險漁船.

問題1：你能準確描述乙船到達B處的航行路線嗎？

師：描述乙船到達 B 處的航行路線還需什么條件？

生：需要求出 BC 的長度.

師：僅求出 BC 的長度就能準確描述嗎？

生：不能，從 c 點出發，走 BC 長度能到達的地方很多，還需確定航行方向.

師：考慮很周全.那用什么描述航行方向呢？

生：題目有提示，可用方位角表示.以點 C 為中心畫方位圖，算出角 C 的大小就能描述乙船的航行方向.

師：觀察很仔細.此問題既要考慮大小又要關注方向，這與我們前面學過的什么知識有關聯？

生：向量，向量既有大小又有方向.

設計意圖：基于現實生活情境和學生知識經驗，激發學生學習與探究的熱情.學生思考時易忽略“方向”，教師啟發引導，讓學生意識到僅考慮“距離”不夠，還需考慮“方向”，進而聯想到運用向量解決問題，厘清思路，引導學生將幾何問題轉化為向量問題.

（三）探究一 一合作探究，活動領悟

師：能否用數學語言表述上述情境？

生：如圖1，在 ΔABC 中，已知 AB=7，AC=20，A=120^° ，求BC 和 C

圖1

問題2：如何運用向量知識解決此問題？

師：請同學們小組合作探究.

生1：我們小組認為，設 求 BC 的長度，即求 的模長.根據向量數量積，向量 與自身的數量積等于模長的平方，所以有 ，而 ，代人運算可得 ，即a²=b²+c²+2bccosA. （204號

生2：我們小組設 ，由向量的數量積可知 ，結合 ，代人運算得 ，即 a²=b²+c²-2bccosA

師：兩組答案不同，都正確嗎？

生3：生1中 與 的夾角應是 （π-A） ，所以

師：很好，向量數量積運算要找準夾角，所以生 1和生2兩組結論都是求出 a²=b²+c²-2bccosA① 業

教師引導學生發現，兩個小組的解題過程有差別，但基本步驟一致，共同歸納證明過程如下：

先將三角形中的幾何元素用向量表示出來：設 ，則 ；再進行適當的向量運算： ;最后將向量式轉化為幾何式： a²=b²+c²-2bccosA.

問題3：如圖2和圖3，將問題中的字母按逆時針方向輪換，會得到怎樣的結論？

圖2

圖3

生： b²=a²+c²-2accosB② ！ c²=a²+b²- 2abcosC③

師：很棒！根據我們的探究，得到了 ①②③ 三個式子，它們稱為余弦定理.該定理是刻畫三角形中邊角關系的重要定理，由這三個式子可知，只要給出任意三角形的兩邊及其夾角，就能求出其第三邊.

問題4：在問題1中，要描述乙船的航行路線，需要求出 BC 和 C ，如何求C？

生：根據剛才的分析，我們已經求出了 BC 的長度，現在三角形三邊都已知，可以用式子 ③ 來求 C

師：是的，我們將式 ③ 變形，可得 cosC= ，進而可求出 C. 同理，我們還能通過式 ① 變形得到 ，從而求出 A ；通過式 ② 變形得到 ，從而求出 B 車我們得到的 ④⑤⑥ 三個式子稱為余弦定理的推論.

設計意圖：將實際問題轉化為數學問題，培養學生的數學抽象能力.借助平面向量知識，以問題為載體，通過教師提問、追問引導學生小組合作交流，讓學生在探索三角形邊角關系中形成直觀感知，把握數學對象的本質特征，領悟向量法解決數學問題的優越性，強化運用向量法的意識，同時促進學生直觀想象、數學運算和邏輯推理等素養的發展.

（四）變式—師生互動，變式深化

問題5：在 ΔABC 中，已知 a=5，c=7，B=120^° 求 b 的值.

生：根據余弦定理 b²=a²+c²-2accosB ，可以求得

問題6：嘗試利用余弦定理及其推論設計問題并解答：在 ΔABC 中，已知 ，求

生1：在 ΔABC 中，已知 a=5，b=7，c=8 求 B 業

生2：根據余弦定理推論可求出 所以B=60^°

師： B 是唯一確定的嗎？

生：唯一確定.因為 y=cosx 在 （0，π） 上單調遞減.

師：還能編其他題目嗎？

生1：可以比如“在 ΔABC 中，已知 a=6，b=8 C=90^° ，求c\".

生2：運用余弦定理可求出 c=10

生3：這是直角三角形，我們還可以用勾股定理求得 c=10 業

師：很好，請同學們回顧過去學過的勾股定理 并思考，余弦定理和勾股定理有無聯系？

生：有聯系.當 A=90^° 時， a²=b²+c²-2bccosA= b²+c² ，就得到勾股定理了.

師：是的，勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣.同學們還記得勾股定理的證明過程嗎？請根據圖4和圖5，課后思考：能否根據勾股定理的證明類比得到余弦定理的證明？

圖4

圖5

設計意圖：問題5難度較低，旨在鞏固新知識.問題6旨在讓學生自主設計并解決問題，有助于培養學生的創造性思維與發散思維，且學生在設計時相互補充，能加深對余弦定理的理解.此外，引導學生類比勾股定理的證明思考余弦定理的證明，可推動學生思維向更深層次發展.

（五）嘗試—嘗試練習，鞏固提高

[例1]在 ΔABC 中， ，求 cosC 和 ΔABC 的面積.

[例2]在 ΔABC 中， δ_a=7，b=8 銳角 C 滿足 sinC= 求 B

設計意圖：引導學生獨立思考并解決問題，加深對余弦定理的理解，培養其數學運算、邏輯推理等核心素養.

（六）提升一一適時小結，興趣延伸

問題7：請同學們回顧本節課所學的三角形邊角關系定理，分享學習體會.

教師提問后，學生總結歸納（如圖6），教師適當補充.

圖6

設計意圖：通過小結梳理本節課知識，回顧學習過程，深化對余弦定理及其探究方法的理解，培

養學生反思學習內容的意識與習慣.

二、教學反思

（一）遵\"四度”理念

本節課遵循“四度\"教學理念，重視學生學習感受.

第一，構建有溫度的課堂.關注全體學生，創設生活情境，調動其學習積極性.精選教學方法，尊重學生個性，鼓勵其發揮特長.本節課以“描述乙船到達 B 處的航行路線”真實問題情境切入，激發學生的求知欲.通過提出求知探索性問題、設問追問引導學生主動思考，給予學生表達空間并及時給予肯定.

第二，追求有梯度的課堂.通過合作探究與分層教學實現.以學生為主體，教師分層設計教學活動，推動各層次學生發展.本節課設置小組合作探究環節，在“引新\"環節引導學生思考，明確用向量法解決問題，隨后組織不同層次學生合作探究，總結出運用向量法證明余弦定理的步驟.小組合作中，學生取長補短、互學共進，既激發主動探索與合作精神，又讓各層次學生皆有所獲.“變式\"環節設置梯度問題，凸顯課堂梯度.

第三，緊扣課標、問題引導，創設有深度的課堂.有深度的課堂應契合學生現有發展水平并促其提升.《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》要求借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理；能用余弦定理解決簡單的實際問題[8].其旨在為學生向量應用提供載體，使其進一步領悟向量法蘊含的數學思想，掌握用向量運算解決幾何問題的方法，完善三角形認知結構.因此，用向量法證明余弦定理是教學重難點.本節課“引新\"環節創設問題情境，打破學生慣性思維，引導其用向量法解題，幫助其領悟證明余弦定理的過程，體會向量解題優勢.

第四，注重聯系、適度延伸，打造有寬度的課堂.有寬度的課堂打破局限，為學生提供豐富體驗，幫助其感受知識的整體性、理解知識間的內在聯系.本節課“變式\"環節引導學生探索余弦定理與勾股定理的聯系，通過類比證明揭示知識間的內在聯系，增加課堂寬度.

（二）行“六步”流程

本節課采用“溫故一引新一探究一變式一嘗試一提升\"六步設計教學環節.“溫故\"環節，回顧三角形全等判定方法，使學生從定性到定量認識三角形；“引新\"環節，借助“描述乙船到達 B 處的航行路線\"問題情境，引導學生將幾何問題轉化為向量問題；“探究”環節，小組討論猜想，強化用向量解決問題的意識，培養數學運算和邏輯推理能力；“變式”環節，學生自主設計解題，促進余弦定理概念辨析；“嘗試\"環節，學生自主練習鞏固知識，培養數學運算素養；“提升\"環節，適時小結厘清知識脈絡，培養歸納概括能力.

三、結束語

本節課以營造良好教育生態、實現師生共同發展為目標，以“四度\"理念為指引，精準實施\"六步”流程開展余弦定理教學，展現“四度六步”教學法在高中數學課堂的有效應用.

[參考文獻]

[1］張曉丹.基于發展學生高階思維的高中數學探究教學設計思考：以“余弦定理”為例[J].中學數學月刊，2024（8）：41-43，48.

[2」苗瑛琦.數學文化在數學教學中的滲透：以“余弦定理\"教學為例[J].高中數學教與學，2024（6）：34-36.

[3]王燕榮，王佳麗，陳莉，等.理解教材編寫意圖，重構思維深層參與的教學設計：以“余弦定理”為例[J].中學數學，2022（21）：5-7.

[4]戴啟猛.基于初中數學“四度六步\"教學法的理論基礎與實踐架構[J].中小學課堂教學研究，2020（3）：22-26，39.

[5]李坤華.基于“四度六步”教學法的教學設計研究：以\"函數的圖象（1）”為例[J].中學教學參考，2024（9）：26-29.

[6]黎有文，劉冬蓮.“四度六步\"教學法在小學數學教學中的應用：以“9加幾\"教學為例[J].廣西教育，2022（34） ：58-62.

[7]文尚平，戴啟猛.基于“四度六步”教學法的教學設計與實踐：以高中人教A版必修1函數復習課“比較大小”為例[J].數學通訊，2021（12）：14-19

[8]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[9]章建躍.如何理解用向量法推導余弦定理和正弦定理的設計意圖[J].中小學數學（高中版），2021（4）：66，64.

（責任編輯 黃春香）