運(yùn)用“算兩次”思想，培養(yǎng)學(xué)生的多角度思維

“算兩次\"是數(shù)學(xué)中的重要思想方法，也稱富比尼（G.FUbini）原理，其基本原理是：首先對于同一個(gè)“量\"按照兩個(gè)不同的視角進(jìn)行兩次運(yùn)算，然后建立一個(gè)等量關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的.《中國高考評價(jià)體系》指出：培養(yǎng)學(xué)生能夠從多個(gè)視角觀察、思考同一個(gè)問題；能夠靈活地、創(chuàng)造性地運(yùn)用不同方法、發(fā)散地、逆向地去解決問題，培養(yǎng)學(xué)生合理運(yùn)用科學(xué)的思維方法，有效整合學(xué)科相關(guān)知識，運(yùn)用學(xué)科相關(guān)能力，高質(zhì)量地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的綜合素養(yǎng)品質(zhì)[1].本文中結(jié)合滲透在高中數(shù)學(xué)教材中的“算兩次”思想，淺談運(yùn)用“算兩次”思想培養(yǎng)學(xué)生思考問題的多角度思維，以期給同仁們參考.

1“算兩次\"思想在蘇教版高中數(shù)學(xué)教材中的拾貝

1.1角度制與弧度制的換算

一個(gè)圓周角，從角度制的觀點(diǎn)是 360^° ，引入弧度制以后，一個(gè)圓周角又是 2π 弧度，所以 360^°=2π rad，因而就建立了角度制與弧度制之間的換算關(guān)系： 1^°= 180 rad.

1.2正弦定理的證明

如圖1，三角形的面積 S= 底 x 高，從不同的角度來計(jì)算三角形面積：

1.3等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式的推導(dǎo)

對等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和倒序再計(jì)算一次：

①+② ，可得

2S_n=（a₁+a_n）+（a₂+a_n-1）+…+（a_n+a₁）. （20號根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)，知a₁+a_n=a₂+a_n-1=…+…=a_n+a₁. （204號所以，

1.4兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)

如圖2，角 α，β 的終邊與單位圓交于 P₁（cosα，sinα） P₂（cosβ，sinβ）

圖2

于是OP=（cos α，sin α）， 所以 另一方面，從向量數(shù)量積的定義的角度，知 cos （α-β）= cos（α-β） ：故 cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

1.5二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的證明

性質(zhì)： （C_n⁰）²+（C_n¹）²+（C_n²）²+…+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ， 二項(xiàng)式 （1+x）²ⁿ ，很容易通過展開式計(jì)算出 xⁿ 的系數(shù)為 C_2nⁿ ：

另一方面， （1+x）²ⁿ=（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ ，即

（1+x）ⁿ（1+x）ⁿ=（C_n⁰+C_n¹x+……+C_nⁿxⁿ） ：（C_n⁰+C_n¹x+……+C_nⁿxⁿ） .其中 xⁿ 的系數(shù)為

C_n⁰C_nⁿ+C_n¹C_n^n-1+…+C_nⁿC_n⁰=（C_n⁰）²+（C_n¹）²+ …+（C_nⁿ）² 故 （C_n⁰）²+（C_n¹）²+（C_n²）²+……+（C_nⁿ）²=C_2nⁿ. （204

2“算兩次”思想在解題教學(xué)中的應(yīng)用舉例

2.1立體幾何問題中的“算兩次”思想

例1一個(gè)正四面體的棱長為2，求其內(nèi)切球的表面積.

分析：要求內(nèi)切球的表面積，即先求內(nèi)切球的半徑.將內(nèi)切球的球心與正四面體四個(gè)頂點(diǎn)連起來，這樣整個(gè)正四面體分割為四個(gè)全等的正三棱錐，整個(gè)正四面體的體積等于四個(gè)小三棱錐的體積之和.

圖3

解析：如圖3，設(shè)內(nèi)切球球

半徑為 r ，正四面體的高為 h ，則

（S_ΔABC+S_ΔPAB+S_ΔPAC+S_ΔPBC）r. （20 又四面體四個(gè)面的三角形

全等，所以 h=4r ： 易求得 則 0 故

評注：由初中三角形的等面積法遷移到高中三棱錐的等體積法，運(yùn)用“算兩次”思想進(jìn)行體積計(jì)算，從而得到一個(gè)等式解決問題.

2.2函數(shù)問題中的“算兩次\"思想

例2設(shè) f（x） 為定義在[0，1]上的函數(shù)，且f（0）=0，f（1）=1 ，若對任意的 x，y∈[0，1] x?y ，求 Ψ_a 值.

分析：利用區(qū)間端點(diǎn)值，借助賦值法，可以先求出 ，進(jìn)而求出 ，再進(jìn)一步求出

解析：令 x=0，y=1 ，結(jié)合 f（0）=0，f（1）=1 ，得

令 得

再令 得

通過 的值，再一次計(jì)算 ，有

3a²-2a³.

所以 a=3a²-2a³ 又 χ_a∈（0，1） ，則

評注：通過賦值法，兩次得到 的值，從而建立等式，得到方程，求出 a 的值.

2.3平面向量問題中的“算兩次”思想

例3如圖4，直線 ξ_l 過三角形 ABC 的重心，與邊 AB ，AC分別交于 M，N ，且 求證：

圖4

分析：利用向量的運(yùn)算法則，對向量 算兩次.

證明：設(shè) H 為 BC 的中點(diǎn)，由 G 為 ΔABC 的重心，可得

又根據(jù)中線向量性質(zhì)，知

所以 ，即

又 M，G，N 三點(diǎn)共線，所以

故

評注：分別用共線向量和平行四邊形法則對向量進(jìn)行表示，構(gòu)建等式.

2.4數(shù)列問題中的“算兩次”思想

例4趙華2024年初向工商銀行申請貸款20萬元，月利率為 ，按復(fù)利計(jì)算，每個(gè)月等額還款一次，并從貸款后的次月開始還貸，如果按10年還清，那么趙華每月應(yīng)還貸款多少元？

解析：設(shè)趙華每月還款 x 元，共付款120次.

一方面趙華10年后付清貸款時(shí)，共付款 200 000× （1+3.375%）¹²⁰ 元.另一方面貸款10年的本利和為x[1+（1+0.003375）+（1+0.003375）²+…+- （2號 （1+0.003375）¹¹⁹- 元.

因此，建立等式

x[1+（1+0.003375）+（1+0.003375）²+…+- （1+0.003375）¹¹⁹]=200000（1+0.003375）¹²⁰

化簡，得

≈2029.66 （元）.故每月還款2029.66元.

評注：分別從還款總額和逐月等額還款兩個(gè)方面，根據(jù)趙華10年還清貸款后所付給銀行的錢數(shù)建立等式.

3“算兩次”思想在高考中的考查舉隅

例5（2008年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷第14題）設(shè)函數(shù) f（x）=ax³-3x+1（x∈R） ，若對于任意 x∈ [-1，1] ，都有 f（x）?0 成立，則實(shí)數(shù)

分析：這是2008年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的填空壓軸題，當(dāng)年得分率相當(dāng)?shù)停擃}運(yùn)用了分類討論思想和分離參數(shù)的方法，計(jì)算量不亞于一個(gè)解答題.對于填空題，如果通過兩次賦值來確定參數(shù) a 的范圍，那么基本就是秒殺.

解析：令 x=-1 ，得 f（-1）=-a+4≥0 ，則 a?4 令 ，得 ，則 a?4 綜上 a=4

評注：利用定義域內(nèi)的 x 取值，兩次對 x 進(jìn)行賦值來確定參數(shù) a 的范圍，運(yùn)用“算兩次”思想和夾逼法求出 a 的值.該法具有一定的巧合性.

例6（2021年全國新高考I卷第19題）記ΔABC 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a，b，c ，已知b²=ac ，點(diǎn) D 在邊 AC 上， BDsin∠ABC=asinC.

（1）證明： BD=b ： （2）若 AD=2DC ，求cos ∠ABC

分析：本題針對第二問進(jìn)行研究，要想求 cos∠ABC ，可用三角形三邊表示同一個(gè)量，運(yùn)用“算兩次”思想方法，如圖5，在 ΔABD，ΔABC 中兩次運(yùn)用余弦定理分別求出cos A ：

圖5

解析：在△ABD與 ΔABC 中，由余弦定理可得cos 化簡，得 3c²-11b²+6a²=0 又 b²=ac ，所以 3c²-11ac+6a²=0

解得 c=3a 或

當(dāng) c=3a 時(shí)， ，則 ，而 ，不能構(gòu)成三角形，故舍去.

當(dāng) 時(shí)， ，此時(shí)能組成三角形.

在 ΔABC 中，由余弦定理得

評注：通過在兩個(gè)三角形中計(jì)算同一個(gè)量列出等式，從而解決問題.

4“算兩次”思想的內(nèi)涵及要義

“算兩次\"既是一種常用的解題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思維，它其實(shí)是一種轉(zhuǎn)化與化歸和方程的思想方法，它不是“一題多解”，而是通過對同一個(gè)“量”進(jìn)行不同形式的表達(dá)建立等量關(guān)系，形成方程使問題得到解決.大數(shù)學(xué)家波利亞在他的論著中表達(dá)：為了得到一個(gè)方程，必須將同一個(gè)量以兩種不同的方法表示出來.他也曾形象地將“算兩次”比喻為“拋兩個(gè)錨\"安全系數(shù)更大.通過“算兩次\"實(shí)現(xiàn)殊途同歸.

5“算兩次”思想在解題教學(xué)中的建議

5.1挖掘教材，進(jìn)行提煉和滲透，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用的意識

本文在第一部分已經(jīng)列舉了角度制與弧度制的換算、由三角形面積公式推導(dǎo)正弦定理、運(yùn)用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式、兩角和與差余弦公式的推導(dǎo)、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的證明等，這些滲透在教材中體現(xiàn)“算兩次\"思想方法的“點(diǎn)”，在新課教學(xué)或者在高三一輪復(fù)習(xí)中要把它梳理出來，培養(yǎng)并增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用“算兩次”思想處理問題的意識.

5.2適當(dāng)開展針對性訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

波利亞在其解題論著中多次提出“你能用不同的方式得到結(jié)果嗎”“試著換一個(gè)角度探索下去\"等觀點(diǎn).通過針對性的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，給學(xué)生充分的思考和表達(dá)時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握“算兩次”的精髓，有助于學(xué)生解題能力的提高和創(chuàng)新思維的發(fā)展，逐步培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部考試中心.中國高考評價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2019.Z