莫讓“定義\"遮望眼，唯有“探究”識真顏

數(shù)列新定義綜合應用問題，是指以學生已有的知識為基礎，設計一個陌生的數(shù)學情境，或定義一個概念，或規(guī)定一種運算，或給出一個規(guī)劃等，通過閱讀相關信息，根據(jù)題目引入新內容進行解答的一類數(shù)列題型.由于數(shù)列新定義綜合應用問題的背景新穎，構思巧妙，而且能有效地考查學生的知識遷移能力和數(shù)學思維品質，備受各層次命題專家的青睞.

1問題呈現(xiàn)

[2025屆上海市奉賢區(qū)高三學科質量調研（奉賢一模）（12月）數(shù)學試卷·16]已知數(shù)列 {a_n} 不是常數(shù)列，前 n 項和為 S_n .a_ngt;0. 若對任意正整數(shù) n ，存在正整數(shù) Ψ_m ，使得 ，則稱 {a_n} 是“可控數(shù)列”.現(xiàn)給出兩個命題：

① 若各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列 {a_n} 滿足公差d=3 ，則 {a_n} 是“可控數(shù)列”；② 若等比數(shù)列 {a_n} 是“可控數(shù)列”，則其公比 q∈

則下列判斷正確的是（ ）.

A. ① 與 ② 均為真命題 B. ① 與 ② 均為假命題 C.① 為假命題， ② 為真命題 D. ① 為真命題， ② 為假命題

此題以數(shù)列的新定義“可控數(shù)列”為問題場景來創(chuàng)新設置，通過非常數(shù)列背景下對應數(shù)列的求和公式與通項公式的絕對值不等式恒成立來創(chuàng)設，結合兩個不同特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）場景下“可控數(shù)列\(zhòng)"的判定與性質的應用，全面考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、求和公式等.

解題時，關鍵是讀懂題目條件中的新定義，解答時結合等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、通項公式、求和公式，以及絕對值不等式的求解與性質等加以合理恒等轉化與巧妙應用，實現(xiàn)創(chuàng)新定義的識別與判斷.

2問題破解

解析：（1）對于命題 ① ，可取特殊數(shù)列 {a_n} a_n= 3n-2. 此時 ，則 ∣S₂-a_m∣= ∣7-3m∣≠0 對任意正整數(shù) Σ_m 恒成立（否則 .與這正整數(shù) ξ_m 的條件矛盾）.所以 n=2 時， ∣S₂-a_m∣= |7-3m|?1=a₁ ，結合定義可知數(shù)列 {a_n} 不是“可控數(shù)列”，故 ① 為假命題.

（2）對于命題 ② ，若等比數(shù)列 {a_n} 是“可控數(shù)列”依題可知 a_ngt;0 且 q≠1. 所以 ，從而∣S_n-a_m∣lt;_a1 ，即 ，亦即 ，解得 m∈N^*

方法1：（逆向思維 + 函數(shù)性質法）

當 qgt;1 時，由 N^* ，整理可得 qⁿlt;1+（q-1）（q^m-1+1）.（?）

令 qⁿ?1+（q-1）（q^m-1+1） ，則可知當 n? log_q[1+（q-1）（q^m-1+1）] 時， （*） 式不成立.

當 0 顯然成立，而對于 恒成立，由于函數(shù) 為嚴格增函數(shù)，且當 n+∞ 時，

1-q，故問題等價于存在m∈N”，使得 q^m-1+1. 記函數(shù) g（m）=q^m-1+1 ，隨著 Ψ_m 的增大，g（m） 減小，故 g（m）_max=g（1）=2 ，故只需 解得 ，故 ② 為真命題.

點評：在解決此類數(shù)列新定義問題時，回歸數(shù)列的函數(shù)性，借助與數(shù)列的通項公式、求和公式等相對應的函數(shù)模型的構建與綜合應用，結合函數(shù)的基本性質來構建對應的方程或不等式，是進一步探究此類問題的關鍵環(huán)節(jié).

方法2：（分類討論思維法）

若 qgt;1 ，由 ∣S_n-a_m∣lt;_a1 ，知∣a₁+a₂+…+a_n-a_m∣1.

當 m?n 時，

∣a₁+a₂+…+a_n-a_m∣=∣a₁+ 正數(shù) ∣gt;a₁ 矛盾.

當 mgt;n 時，不妨設 m=n+t . Λ_t∈N^* ，則

∣a₁+a₂+…+a_n-a_m∣

=|a₁+a₂+……+a_n-1+（1-q^t）a_n|，

則當 n+∞ 時， ∣a₁+a₂+…+a_n-1+（1-q^′）a_n∣ +∞ ，矛盾.

若 0 ，故 ② 為真命題.

點評：在解決此類數(shù)列新定義問題時，回歸數(shù)列的本質，從數(shù)列中相關元素（如數(shù)列的首項、等差數(shù)列的公差、等比數(shù)列的公比等）的不同取值情況入手分類討論，可以給問題的展開與應用創(chuàng)造條件.在具體分類討論時，要對數(shù)列中相關元素的不同取值情況加以全面、細致的討論，不能遺漏或重復.

3變式拓展

變式已知數(shù)列 {a_n} 不是常數(shù)列，前 Ω_n 項和為S_na_n0. 若對任意正整數(shù) Ω_n ，存在正整數(shù) Ψ_m ，使得∣S_n-a_m∣lt;_a1 ，則稱 {a_n} 是“可控數(shù)列”.若等比數(shù)列{a_n} 是“可控數(shù)列”，則其公比的取值范圍是

4教學啟示

解決高中數(shù)學中涉及數(shù)列的新定義問題時，結合問題的場景創(chuàng)設與定義應用，經(jīng)常可采用以下技巧、方法與應用策略.

4.1剖析定義本質

精讀新定義要點，從中挖掘定義的本質與內涵.本題中，當面對類似“可控數(shù)列”這般嶄新的定義時，務必要逐字逐句深入研讀，精準拿捏其中的每一項限定條件.比如，明確已知數(shù)列并非尋常的常數(shù)列這一前提，同時緊緊抓住問題的核心關鍵——存在正整數(shù)Ψ_m ，使得 ∣S_n-a_m∣lt;α₁ ，這一步驟堪稱解題的根基，絕不可在尚未透徹理解之時，便倉促開啟解題流程.

4.2關聯(lián)舊知運用

依數(shù)列類型選擇公式，合理進行知識的聯(lián)系與關聯(lián).倘若題目所涉及的是等差數(shù)列或等比數(shù)列，那就得迅速在腦海中喚起等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義、通項公式，以及與之對應的前 n 項和公式.就拿上面探討的“可控數(shù)列\(zhòng)"問題來講，一旦確定是等差數(shù)列或等比數(shù)列，且處于“可控”的情境下，便要巧妙運用這一公式來構建等式，進而推導公差或公比的取值范圍等.

4.3采用分類討論思想

對關鍵要素細分探討，必要時可采用分類討論來深人研究.數(shù)列新定義問題中，公比、公差等常常扮演著關鍵角色.以等比數(shù)列性質的研判為例，當 q=1 時，數(shù)列為常數(shù)列，倘若這與題目給定的條件相悖，那便率先將其排除在外；而當 時，再深入地挖掘探究.與之相仿，對于等差數(shù)列而言，公差 d=0 時同樣具備特殊性質.基于新定義所提出的嚴苛要求，針對這些關鍵參數(shù)的不同取值狀況展開分類討論，力求做到滴水不漏，全方位保障解題的嚴謹性與完整性.

4.4舉例驗證輔助

借特殊值校驗結論，有時是解決新定義問題的“巧技妙法\"之一.在推導進程中好不容易斬獲諸如公差或公比的取值范圍之后，不妨順手括來幾個簡潔明了的特殊值，將其代入原題中，檢驗是否切實契合新定義的內涵與實質.如以上的“可控數(shù)列”的定義，借助舉例驗證輔助來處理，這般操作，一方面能夠為答案的準確性保駕護航；另一方面，這些特殊情形恰似一把把銳利的手術刀，能夠助力我們更加深刻地洞悉問題的內在邏輯，及時察覺解題路徑上可能潛藏的漏洞，進而優(yōu)化整個解題的思路架構.尤其在深陷復雜新定義的泥沼之際，特殊值舉例無疑能夠發(fā)揮出撥云見日、一錘定音的神奇功效.

無論采用哪種技巧、方法與應用策略來處理高中數(shù)學中涉及數(shù)列的新定義問題，關鍵是正確理解題設條件中給出的定義，由給定的數(shù)列結合新定義探求數(shù)列的相關性質，并進行合理的等價分析、數(shù)學運算、邏輯推理等，對學生的分析思維和解題問題的能力有較高的要求.Z