代數(shù)與幾何比翼，技能與素養(yǎng)齊飛

涉及平面向量的數(shù)量積，立足平面向量“數(shù)”的基本屬性與“形\"的幾何特征，借助代數(shù)思維或幾何思維來(lái)切入與應(yīng)用，成為破解與處理此類(lèi)問(wèn)題中比較常用的基本切入點(diǎn)與技巧方法.

1問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題（2025屆河南省名校聯(lián)盟開(kāi)學(xué)摸底聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷·14）如圖1，已知圓 o 的半徑為 _4，AB 是圓 O 的一條直徑， C，D 兩點(diǎn)均在圓 O 上， ，若 P 為線段 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范圍是

圖1

2問(wèn)題破解

在解決問(wèn)題時(shí)，借助平面向量“數(shù)”與“形”的雙重特性，可以從平面向量的基本運(yùn)算入手，利用基底法或極化恒等式法進(jìn)行合理變形與轉(zhuǎn)化，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)分析與處理；還可以通過(guò)平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，利用坐標(biāo)法來(lái)推理與變形.這都是解決該問(wèn)題時(shí)比較常用的一些基本數(shù)學(xué)思維與技巧、方法.

2.1平面向量基本運(yùn)算思維

方法1：基底法.

如圖2，設(shè) M 為 CD 中點(diǎn)，連接 OP，OM ，則 · ）：

圖2

因?yàn)辄c(diǎn) P 為線段 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，且 ，則圓心O到直線CD的距離|OM|=√42-（2√3）=2，于是 ，所以 所以 ，即 ： 的取值范圍是[—12，0].故填： [-12，0]

點(diǎn)評(píng)：利用基底法來(lái)處理平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，關(guān)鍵是借助基底及平面向量的線性運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，“數(shù)”與“形”綜合處理，成為解決此類(lèi)問(wèn)題比較常用的技巧、方法.應(yīng)用基底法時(shí)，關(guān)鍵是將復(fù)雜的向量場(chǎng)景及不確定的向量朝著簡(jiǎn)單的向量場(chǎng)景及相對(duì)確定的向量方向轉(zhuǎn)化，合理簡(jiǎn)化與歸納，進(jìn)而利用動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系及取值情況來(lái)判定對(duì)應(yīng)的最值或取值范圍.

方法2：極化恒等式法.

如圖 ^3，O 為圓心，連接 OP

利用極化恒等式，容易得PA·PB=↓[（PA+PB）2- 而 （20 ，則 ·

圖3

由于 ，則知 （2

取線段 CD 的中點(diǎn) M ，則

結(jié)合 ，可得 則 ，于是 ，所以

所以 ，即 ·

PB的取值范圍是[-12，0].

點(diǎn)評(píng)：利用極化恒等式法來(lái)處理平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，關(guān)鍵是借助極化恒等式這一重要結(jié)論來(lái)變形與轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的數(shù)量積，成為解決平面向量數(shù)量積問(wèn)題中的一個(gè)“巧技妙法”，“數(shù)”與“形”綜合處理.應(yīng)用極化恒等式法時(shí)，關(guān)鍵是將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的和與差的平方關(guān)系，注意系數(shù)與運(yùn)算符號(hào)，可以更加有效、方便地化簡(jiǎn)與轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的平面向量，給問(wèn)題的突破與求解創(chuàng)造條件.

2.2解析幾何思維

方法3：坐標(biāo)法1.

依題意，以圓心 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直徑 _AB 所在直線為 x 軸建立如圖4所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn) A（-4，0），B（4，0） ：

圖4

結(jié)合 ，可知圓心O 到直線 CD 的距離為 d= ，不失一般性，不妨設(shè)直線 CD 的直線方程為 y=2 ，而 P 為線段 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 （x，2） ，

所以 x²-16+4=x²-12

由 ，得 x²∈[0，12] ，可知 ·（20 ，即 的取值范圍是[-12，0]

方法4：坐標(biāo)法2.

依題意，以圓心 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直徑 _AB 所在直線為 x 軸建立如圖5所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn) A（-4，0），B（4，0） ：

圖5

設(shè)點(diǎn)P（x，y），則有PA·PB= （-4-x，-y）?（4-x，-y）=

而 ，則圓心 o 到直線 CD 的距離為 ，則有 ，所以 4?

所以 ，即 · 的取值范圍是[—12，0].

點(diǎn)評(píng)：利用坐標(biāo)法來(lái)處理平面向量的數(shù)量積問(wèn)題，關(guān)鍵是借助平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，通過(guò)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)確定，利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式來(lái)轉(zhuǎn)化，構(gòu)建與平面向量數(shù)量積對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)關(guān)系式，通過(guò)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)中的變量關(guān)系來(lái)分析與處理，也是“數(shù)”與“形”綜合處理平面向量數(shù)量積問(wèn)題中的一種基本技巧、方法.應(yīng)用坐標(biāo)法時(shí)，結(jié)合題設(shè)條件構(gòu)建相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，對(duì)于優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算過(guò)程與邏輯推理過(guò)程等，以及提升解題效益都有益處.

3變式拓展

3.1等價(jià)性變式

變式1已知圓 O 的半徑為 ^4，AB 是圓 O 的一條直徑， C，D 兩點(diǎn)均在圓 O 上， ∠COD=120^° ，若 P 為線段 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，則 的取值范圍是

解析：依題， ∣OC∣=∣OD∣=4 ∠COD=120^° ，可知圓心 O 到直線 CD 的距離為 d=2

而 P 為線段 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，則有

所以 ： ）· 中

故 的取值范圍是 [-12，0]

3.2一般性變式

變式2已知圓 o 的半徑為 R，AB 是圓 O 的一條直徑， C，D 兩點(diǎn)均在圓 O 上， （或者∠COD=120^°） ，若 P 為線段 CD 上一動(dòng)點(diǎn)，則 · 的取值范圍是

答案：

4教學(xué)啟示

在解決涉及平面向量數(shù)量積的取值范圍（或最值），以及綜合應(yīng)用或創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，立足平面向量“數(shù)”的基本屬性與“形”的幾何特征，合理尋找問(wèn)題的切入點(diǎn)，采用行之有效的技巧與方法來(lái)解題，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解.

在實(shí)際解題與應(yīng)用過(guò)程中，對(duì)于平面向量及其綜合問(wèn)題，要全面、系統(tǒng)掌握一些基本的技巧、方法與解題策略，來(lái)巧妙處理對(duì)應(yīng)的平面向量數(shù)量積，或定義優(yōu)先，或投影直觀，或基底轉(zhuǎn)換，或坐標(biāo)運(yùn)算，或極化恒等式變形等，借助平面向量自身“數(shù)”與“形\"的緊密結(jié)合與綜合應(yīng)用，從而有效實(shí)現(xiàn)知識(shí)與能力的有效融合與全面提升.Z