借助構造法，妙解不等式

函數不等式是高中數學非常重要的一類題型.該類題型一般給出的函數較為復雜、抽象.解題時需要根據題設情境靈活應對，尤其當題干中含有導函數相關的式子時，應通過聯系函數的求導公式，構造新的函數，依托構造的函數，結合不等式的性質，巧妙計算出結果.

1解與三角函數相關的不等式

三角函數是周期函數，圖象是軸對稱以及中心對稱圖形[1].解答三角函數不等式常用的思路是數形結合，通過觀察圖象找到臨界點，確定不等式的范圍.然而，部分習題并未給出三角函數的具體解析式，作答時需要突破思維定勢，通過逆向推理，構造出新的函數進行求解.

例1函數 f（x） 是定義在 （-π，0）∪（0，π） 上的奇函數，其導函數為 f^′（x） ，且 ，當 0′（x）sinx-f（x）cosxlt;0 ，則關于 Ψ_x 的不等式f（x）lt;0 的解集為

解析：根據題意可令 ，則 g^′（x）=

當 0′（x） sin x-f（x） cos xlt;0 ，易得 g^′（x）lt;0 ，則 g（x） 在 （0，π） 上單調遞減.

又由函數 f（x） 是定義在 （-π，0）∪（0，π） 上的奇函數，則 ，即g（x） 為 （-π，0）∪（0，π） 上的偶函數，所以 g（x） 在（-π，0） 上單調遞增.

由 ，可得 故當 或 g（x）gt;0 -π 時 g（x）lt;0 （

， ，由 f（x）lt;0 可得到 或 解， ，得 或

故不等式 f（x）lt;0 的解集為

點評：該題考查的知識點主要有函數的單調性、奇偶性、導數、不等式等.解該題有三點較為巧妙，（1）由“ f^′（x）sinx-f（x）cosxlt;0^， ，聯系“ f'（x）g（x）-f（x）g'（x）”這-求導公式，巧妙地構g（x）2造出函數 sinx;（2）借助函數f（x）為奇函數推理出函數 g（x） 在 （-π，0）∪（0，π） 上是偶函數；（3）根據“ f（x）lt;0^′′ 進行分類討論.

2解與指數函數相關的不等式

解答含有指數的不等式時，應根據需要通過構造函數化難為易.

例2已知函數 f（x） 是定義在 上的偶函數，記f^′（x） 為函數 f（x） 的導函數，且滿足 f（x）+f^′（x）= e^x-e^-x+2xe^x ，則不等式 的解集為

解析：由函數 f（x） 是定義在 上的偶函數，易得f（-x）=f（x） ，則

由 [f（-x）]^′=（-x）^′f^′（-x）=-f^′（-x） ，易得一 f^′（-x）=f^′（x） ，即 f^′（-x）=-f^′（x） ，顯然f^′（x） 是定義在 上的奇函數.

由 f（x）+f^′（x）=e^x-e^-x+2xe^x ，可得 f（-x）+ f^′（-x）=e^-x-e^x-2xe^-x ，即

f（x）-f^′（x）=e^-x-e^x-2xe^-x.

將 f^′（x）=e^x-e^-x+2xe^x-f（x） 代入 ① 式，得 f（x）=xe^x-xe^-x

由 ，得 ，即xe^x

令 h（x）=xe^x-e ，則 h^′（x）=（x+1）e^x ：

所以 xlt;-1 時， h^′（x）lt;0 ；當 xgt;-1 時，h^′（x）gt;0

故 h（x） 在 （-∞，-1） 上單調遞減，在 （-1，+∞） 上單調遞增.

又 h（1）=0 ，當 xgt;-1 時，由 h（x）lt;0=h（1） ，解得 -1

當 x?-1 時， xlt;0，e^xgt;0 ，則 xe^xlt;0 ，故 xe^x- elt;0 ，即 h（x）lt;0 ，滿足題意.

綜上，所求解集為 （-∞，1）

點評：該題考查原函數與導函數奇偶性的關系、函數解析式的求法以及構造函數解不等式等.其中運用導函數的奇偶性以及“ f（x）+f^′（x）=e^x-e^-x+ 2xe^x ”求出函數 f（x） 的解析式是突破口.求出函數f（x） 的解析式后，對要求解的不等式進行整理，構造新的函數，通過分析新函數的單調性求出結果.

3解與對數函數相關的不等式

解答與對數函數相關的不等式，應注重從題干條件入手選擇對應的解題思路，尤其當出現導函數時應注意構造函數，而后根據需要運用函數的單調性、奇偶性求出最終結果.

例3已知函數 f^′（x） 是奇函數 f（x） 在 上的導函數，且當 xgt;0 時， （204號則不等式 （x-985）f（x）gt;0 的解集為

解析：由題意，令函數 ，則 （204

由xgt;0時，lnx·f'（x）+1 ： f（x）lt;0 ，可得當_xgt;0 時，函數 g（x） 單調遞減.由 g（1）=0 可得：當 0lt; xlt;1 時， ，此時 f（x）lt;0 ；當 _xgt;1 時， 此時 f（x）lt;0 一

又 ，則 f（1）lt;0 ，所以當_xgt;0 時， f（x）lt;0. 又因為 f（x） 為奇函數，所以當xlt;0 時， f（x）gt;0 ：

于是，不等式 （x-985）f（x）gt;0 可轉化為 解得 0

所以原不等式的解集為（0，985）.

點評：該題較為抽象，考查的知識包括導數、函數奇偶性、對數函數的性質等，屬于難題.解題時首先應厘清思路，先通過構造函數，運用導數以及對數函數的性質確定當 xgt;0 時函數 f（x） 的取值，而后拓展到整個定義域中，最終結合 x-985 的正負，分析出不等式的解集.

4解與分段函數相關的不等式

解答與分段函數相關的不等式，一般按照函數不同的解析式逐一進行考慮，并根據需要通過等價轉化構造新函數，利用導數確定其單調性，求出對應的解集，最終取并集即可.

例4已知定義在R上的奇函數 f（x） 滿足：

則關于 x 的不等式 2f（x）gt;3x 在 x∈（0，+∞） 的解集為

解析：由于 f（x） 為定義在 上的奇函數，則當 xgt;0 時，有 不等式 2f（x）gt;3x 等價于 當 x∈（0，1] 時， 即 令 2，易得g'（x）在（0，1]上單調遞減，

又由 ，則 使得 g^′（x₀）=0 ，則g（x） 在 （0，x₀） 上單調遞增，在 （x₀，1） 上單調遞減.

因為 ，則 x∈（0，1] 時，g（x）gt;0 的解集為 即為 的解集為

當 x∈（1，+∞） 時， 即為 ，化簡為 x²-5x+6lt;0 ，解得 2

點撥：該題主要考查分段函數、函數性質以及導數等.解題時應從問題出發，對要解的不等式進行轉化.其中當 0

綜上所述，構造法是解決高中數學的常用方法，在高中數學解題中應用廣泛.該種方法對分析問題的能力要求較高，將該方法用于解不等式習題時，既要熟練掌握不同函數的求導公式，能夠根據已知條件進行逆向推理合理地構造出新函數，又要根據需要對要求解的問題進行等價轉化，靈活運用函數的單調性、奇偶性以及不等式的性質，進行嚴謹的推理、計算.

參考文獻：

[1]劉召龍.利用構造函數法求解導數不等式問題[J].數理化解題研究，2024（28）：70-72.Z