高中生圓錐曲線解題的認知分析及建議

1真題呈現(xiàn)

（2023年新課標 I 卷第 22題）在直角坐標系 xOy 中，點 P 到 x 軸的距離等于點 P 到點 的距離，記動點 P 的軌跡為 W 元

（1）求 W 的方程；

（2）已知矩形 ABCD 有三個頂點在 W 上，證明：矩形ABCD的周長大于

2試題解析

（1）由題意得 W 為拋物線，且準線為 y=0 ，焦點

為 ，顯然 ，相當于把拋物線 x²=y 向上平移了 個單位長度，所以 ：

（2）不妨設(shè) A，B，C 在拋物線上，且 AB⊥BC ，所 （20 （204號 以 ，即 -1 ，于是可得 （x_B+x_A）（x_B+x_C）=-1

令 由于對稱性，設(shè)|m|?1 ，則 令 ，則 f^′（x）= 令 f^′（x）=0 ，解得 或 x= -1 （舍去）.函數(shù) f^′（x） 在各區(qū)間上的正負及 f（x） 的單調(diào)性如表1所示.

表1

所以 ，當且僅當 時取到最小值.

故矩形 ABCD 的周長為 2（∣AB∣+∣BC∣）gt;2×

3認知過程分析

從認知心理學的視角來看，學生在解答這類圓錐曲線問題時，其認知過程主要包括以下幾個階段：表征、策略選擇、策略執(zhí)行和結(jié)果評價.

一是表征階段.學生面對這道題時，需要仔細閱讀題干，依據(jù)題意在頭腦中形成問題的初步心理表征.這個表征過程不是簡單的信息堆砌，而是需要學生對題干的深入理解，并對其中的關(guān)鍵信息進行提取和重組.在本題中，“點 P 到 x 軸的距離等于點 P 到 的距離\"是最為關(guān)鍵的信息，它直接揭示了點 P 的軌跡W 是一條拋物線.學生需要在頭腦中構(gòu)建出這樣的抽象表征：拋物線W的準線是 x 軸，焦點是點 這個過程不僅需要文字表征，更需要借助圖示，將抽象的幾何關(guān)系形象化，并協(xié)調(diào)不同表征形式之間的轉(zhuǎn)換.可見，在表征階段，學生需要綜合運用圖形、符號等不同類型的心理表征，形成問題的完整表征結(jié)構(gòu)，這是解題的基礎(chǔ).

二是策略選擇階段.學生在完成問題表征后，需要在此基礎(chǔ)上進一步思考：“我應該用什么方法來解決這個問題？”這就進人了解題策略的選擇階段.數(shù)學問題的解法往往不是唯一的，學生需要在諸多可能的解題路徑中，選擇一條最優(yōu)路徑.這個選擇過程，實質(zhì)上是一個基于表征的問題解決搜索過程.學生需要依據(jù)已有的數(shù)學知識和問題解決經(jīng)驗，在問題空間中搜尋可能的解題路徑，并評估每條路徑的可行性和有效性.在這個過程中，元認知能力發(fā)揮著重要作用，它幫助學生監(jiān)控和調(diào)節(jié)自己的認知過程，避免盲目試錯.在本題中，關(guān)鍵是再看出“拋物線的準線到焦點的距離”與矩形周長之間的關(guān)系.一旦學生的注意力被這一關(guān)鍵點所吸引，并成功地將其與已有的拋物線知識聯(lián)系起來，那么解題策略的選擇就不再困難.由此可見，策略選擇是解題成功的關(guān)鍵所在，它考驗的是學生融會貫通地運用所學知識解決新問題的能力.

三是策略執(zhí)行階段.當解題策略選定后，學生就進入了具體的解題實施階段.這個階段主要依賴演繹推理、計算操作等基本的認知技能.學生需要按照所選策略，一步步推進解題過程.在本題中，這個過程包括：建立拋物線的方程、根據(jù)矩形三點在拋物線上列出方程組、運用不等式證明矩形周長的取值范圍等.這個過程看似機械，實則對學生的認知能力有較高要求.學生不僅要熟練掌握每一步驟背后的數(shù)學原理，還要在解題過程中隨時監(jiān)控每一步的正確性，這考驗的是學生的計算能力、邏輯推理能力以及自我監(jiān)控能力.本題的證明過程涉及參數(shù)方程、函數(shù)求導、不等式證明等多個知識點，需要學生具備扎實的知識基礎(chǔ)和縝密的邏輯思維能力.

四是結(jié)果評價階段.當學生完成解題，得出結(jié)論時，解題過程并沒有終止，學生還需要對解題結(jié)果進行反思和評價.這個過程包括檢查計算過程是否有錯誤，評估解題結(jié)果的合理性，思考是否還有其他解法，等等.這個看似簡單的過程，實際上對學生的元認知能力提出了更高的要求.學生需要跳出具體的解題過程，以旁觀者的角度審視自己的解題全過程，評判其中可能存在的問題或需要改進地方.

學生解答本題的認知過程，是一個復雜的動態(tài)過程，涉及表征、策略選擇、策略執(zhí)行、結(jié)果評價等多個認知階段.每個階段都對學生的認知能力提出了特殊要求.作為教師，要充分理解學生解題過程中的認知特點，根據(jù)不同學生的認知水平，提供恰如其分的指導，幫助學生順利完成每個認知階段的任務(wù)，最終提高其數(shù)學問題的解決能力.學生要主動反思自己在解題過程中的認知狀態(tài)，及時調(diào)整認知策略，加強薄弱環(huán)節(jié)的鍛煉，不斷優(yōu)化自己的認知結(jié)構(gòu)和解題思路，提升數(shù)學學習的效率和質(zhì)量.

4可能存在的認知困難及應對建議

在解答此類圓錐曲線問題的過程中，學生可能會遇到各種認知困難.例如，學生對拋物線的基本概念和性質(zhì)的理解不夠深入、透徹.拋物線作為一種重要的圓錐曲線，有其特定的性質(zhì)，如準線、焦點等.這些性質(zhì)往往是解題的關(guān)鍵突破口.然而，一些學生可能只停留在表面的概念記憶上，沒有真正理解這些性質(zhì)的內(nèi)在邏輯和數(shù)學意義.這就導致他們在面對具體問題時，無法敏銳地捕捉到題干中隱含的關(guān)鍵信息，如本題中的“準線到焦點的距離”教師要引導學生加強對圓錐曲線基本概念和性質(zhì)的復習和理解，通過多樣化的練習，加深學生對這些性質(zhì)的領(lǐng)悟，培養(yǎng)學生敏銳的數(shù)學洞察力.

學生在審題時存在信息提取不全面、思考不周詳?shù)膯栴}.數(shù)學題干往往包含顯性和隱性兩種信息，學生如果審題不細致，就可能遺漏某些關(guān)鍵的隱性條件，從而影響解題進程.比如本題中，矩形三個頂點在拋物線上\"隱含著這三點不在一條直線上的信息.如果學生沒有察覺到這一點，就可能在解題過程中走入“死胡同”教師應培養(yǎng)學生細致審題的好習慣，引導學生多角度、換位思考分析題干，捕捉每一個關(guān)鍵信息.

學生對題型的變式和創(chuàng)新形式缺乏經(jīng)驗.數(shù)學題目的形式是多樣的，尤其是高考題目，往往會在傳統(tǒng)題型上做一些創(chuàng)新和變化，以考查學生的靈活應變能力.比如本題，如果學生沒有從設(shè)參數(shù)的角度去思考，就難以找到突破口.這就要求學生在平時的學習中，要多接觸一些綜合性、創(chuàng)新性的題目，拓寬自己的思路，提高應對新問題的能力.教師在教學中應適當引入一些變式題，啟發(fā)學生從多角度分析問題，不拘泥于固有的解題模式.

學生在具體的計算和推理過程中，可能會因為粗心大意或是中途換元等原因，導致運算錯誤，最終影響解題結(jié)果.本題的證明過程比較繁瑣，對學生的計算能力和邏輯推理能力都有較高要求.學生應該養(yǎng)成嚴謹細致的解題習慣，對每一步運算都要仔細檢查；通過大量練習，提高自己的計算能力和邏輯推理能力，減少錯誤的發(fā)生.教師在批改作業(yè)時，應詳細分析學生的錯誤類型，然后有針對性地進行指導和訓練.

5評價反思

認知心理學為研究者分析學生的數(shù)學問題解決過程提供了一個極具洞察力的視角.通過這個視角，教育工作者能更好地理解學生的認知需求，優(yōu)化教學方法，提高教學質(zhì)量.這種分析為學生自我認識、自我完善提供了一條清晰的路徑.相信通過教師和學生的共同努力，學生的數(shù)學問題解決能力一定能夠得到不斷提升，為他們的數(shù)學學習和未來發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ).本文是基于一道典型試題進行的分析，還有許多類型的數(shù)學問題需要進一步探討.Z