以直覺鎖定特征 借目標(biāo)優(yōu)化運(yùn)算

函數(shù)中極值點(diǎn)偏移問題在近七年的高考卷中出現(xiàn)了六次，且都處于試卷的壓軸題位置.此類問題主要考查導(dǎo)數(shù)及其綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸以及數(shù)形結(jié)合等思想方法.該類問題盡管在平時(shí)的教學(xué)中也時(shí)有涉及，但涵蓋的思想方法過于偏技巧.在近年的高考以及各種模擬考中，極值點(diǎn)偏移問題是一個(gè)熱點(diǎn)問題.這類試題設(shè)問新穎多變，難度較大，綜合性較強(qiáng)，可以較好地考查學(xué)生的邏輯推理能力.數(shù)據(jù)處理能力等.對(duì)于這類問題，學(xué)生通常會(huì)望而卻步，甚至不敢解答，他們認(rèn)為這種題目涉及面廣、計(jì)算量大，害怕做“無(wú)用功”極值點(diǎn)偏移問題通常是指關(guān)于原函數(shù)f（x） 的零點(diǎn)與其極值點(diǎn)構(gòu)成的不等關(guān)系的論證問題，體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和創(chuàng)新思維能力.

以極值點(diǎn)偏移的多類解法為重要考查對(duì)象，尤其是含參與不含參的討論[]，讓學(xué)生理解“消元與引參”是問題轉(zhuǎn)化的方向，“經(jīng)驗(yàn)與邏輯”是問題解決的基礎(chǔ)，以直覺鎖定特征，借目標(biāo)優(yōu)化運(yùn)算，從而提升學(xué)生的邏輯推理能力，讓學(xué)生的解題活動(dòng)從自發(fā)領(lǐng)悟走向自覺分析.本文將通過對(duì)函數(shù)極值點(diǎn)偏移和拐點(diǎn)偏移問題進(jìn)行有效探究，提供有效方法.

1極值點(diǎn)偏移的含義

向左偏移;若極值點(diǎn)靠近右側(cè)的xz，即x。gt;1+2，則稱極值點(diǎn)向右偏移，如圖1所示.

事實(shí)上，極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)是由于圖象在極值點(diǎn)兩側(cè)增減變化的快慢不同引起的：若圖象在極值點(diǎn)兩側(cè)增減變化的快慢相同，則圖象在極值點(diǎn)附近是關(guān)于x=x₀ 對(duì)稱的，極值點(diǎn)不偏移；若圖象在極值點(diǎn)左陡右緩（即左邊變化快右邊變化慢）則極值點(diǎn)左偏移；若圖象在極值點(diǎn)右陡左緩（即右邊變化快左邊變化慢）則極值點(diǎn)右偏移.如圖1所示.

2構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法判定極值點(diǎn)偏移

判定極值點(diǎn)偏移有多種方法，這里介紹構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法判定極值點(diǎn)偏移的方法和步驟.

若已知函數(shù) f（x） 滿足 f（x₁）=f（x₂），x₀ 為f（x） 在區(qū)間 （x₁，x₂） 的唯一極值點(diǎn)，判斷 x₀ 與1+χ2的大小關(guān)系的方法步驟如下：

若單峰函數(shù) f（x） 的極值點(diǎn)為 x₀ ，而 x=x₀ 并非函數(shù) f（x） 的對(duì)稱軸，此時(shí) f（x）=c 的兩根 x₁，x₂ （設(shè)x1 ，即極值點(diǎn)不在兩根 x₁，x₂ 的正中間，我們稱為極值點(diǎn)偏移，若極值點(diǎn)靠近左側(cè)的 x₁ 即 ，則稱極值點(diǎn)

（1）討論 f（x） 的單調(diào)性，并求出函數(shù) f（x） 的極值點(diǎn) x_?0 ：

（2）構(gòu)造一元差函數(shù) F（x）=f（x₀+x）-f（x₀-x）

（3）通過討論 F（x） 的單調(diào)性，判斷 F（x） 在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出 f（x₀+x） 與 f（x₀-x） 的大小關(guān)系；

（4）不妨設(shè) x₁02 ，根據(jù) f（x₁）=f（x₂） ，f（x₀+x） 與 f（x₀-x） 的大小關(guān)系以及 f（x） 的單調(diào)性，得出 x₀+x 與 x₀-x 的大小關(guān)系，從而得出 x₀ 與x1+2的大小關(guān)系.

3構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)法的應(yīng)用

例1已知函數(shù) f（x）=x²-2x+1+ae^x 有兩個(gè)極值點(diǎn) x₁，x₂ 且 x₁2 ，求證： x₁+x₂gt;4

證明：令 g（x）=f^′（x）=2x-2+ae^x ，則 x₁，x₂ 是函數(shù) g（x） 的兩個(gè)零點(diǎn).

令 g（x）=0 ，得 令 則 h（x₁）=h（x₂）

求導(dǎo)得 ，則 h（x） 在區(qū)間 （-∞，2） 上單調(diào)遞減，在區(qū)間 （2，+∞） 上單調(diào)遞增.設(shè) x₁lt;22

令 H（x）=h（2+x）-h（2-x） ，求導(dǎo)得 H^′（x）=

當(dāng) 0′（x）lt;0，H（x） 單調(diào)遞減，有H（x）

所以可得 h（x₁）=h（x₂）=h[2+（x₂-2）]lt; h[2-（x₂-2）]=h（4-x₂）

因?yàn)?x₁lt;2，4-x₂lt;2，h（x） 在 （-∞，2） 上單調(diào)遞減，所以 σ_x1gt;4-σ_x2 ，即 x₁+x₂gt;4

解后反思：極值點(diǎn)偏移問題是近年來(lái)各種模擬考試及高考的常考題型.由于此類問題變化多樣，解決問題的手段很多，最常用的便是對(duì)稱式設(shè)計(jì).如例1中，根據(jù)題意可得 h（x₁）=h（x₂） ，求出 h（x） 的在（-∞，2） 上單調(diào)遞減，在 （2，+∞） 上單調(diào)遞增，便可設(shè) H（x）=h（2+x）-h（2-x） ，思路就清晰許多了.

例2已知函數(shù)

（1）若 a=2 ，求函數(shù) f（x） 在 （1，e²） 上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（2）若 f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn) x₁，x₂（x₁2） ，求證：21+x₂lt;3e^a-1-1.

（1）解： f（x） 在 （1，e²） 上只有一個(gè)零點(diǎn).過程略.

（2）證明： ① 先證 .x₁+x₂gt;2

利用通法證明 的極值點(diǎn) x= 1向左偏移，即1lt;1+x2

② 再證 x₁+x₂lt;3e^a-1-1

由 f（x）=0 ，得 記 h（x）= ，則 x₁，x₂ 是 h（x） 的兩個(gè)零點(diǎn).

由 h^′（x）=0 ，得 x=e^a-1 .當(dāng) 0a-1 時(shí)， h^′（x）gt; 0；當(dāng) Δ_xgt;e^a-1 時(shí)， h^′（x）lt;0

所以 x=e^a-1 （記 p=e^a-1 ）是 h（x） 極大植，也是最大值.

所以可得 構(gòu)造函數(shù) ： ，則 m（x） 在 （0，+∞） 上單調(diào)遞增.

當(dāng) xgt;p 時(shí) m（x）gt;m（p）=0 1當(dāng) 0lt;_Xlt;_P 時(shí)， .m（x）lt;0 于是

整理，得 x₁²-（3e^a-1-1）x₁+e^a-1gt;0 同理， .x₂²-（3e^a-1-1）x₂+e^a-1lt;0

所以 x₂²-（3e^a-1-1）x₂+e^a-11²-（3e^a-1-1） x₁+e^a-1 ，即 （x₂+x₁）（x₂-x₁）lt;（3e^a-1-1） ·（x₂-x₁） ：

所以 x₁+x₂lt;3e^a-1-1

解后反思：解決此題關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)， x₁+ x₂lt;3e^a-1-1-1 的證明依賴于 x₁+x₂gt;2 的放縮，在對(duì)含參問題討論的前提下，可以加深對(duì)于含對(duì)數(shù)式的極值點(diǎn)偏移問題的研究，在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，當(dāng)遇到比較難以理解的問題，選取一個(gè)好用的函數(shù)來(lái)研究[3]，往往會(huì)起到事半功倍的作用.當(dāng)然了，還可用三階導(dǎo)數(shù)法（適用于可導(dǎo)函數(shù)）或其他方法，由于篇幅所限，這里從略.

“云散月明誰(shuí)點(diǎn)綴，天容海色本澄清”，極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)是函數(shù)值變化快慢的問題，是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)研究中的具體應(yīng)用，對(duì)考生數(shù)學(xué)綜合能力與素養(yǎng)提出了較高的要求，是培養(yǎng)考生邏輯推理能力的有效方法與途徑，能夠挖掘考生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的潛能.波利亞認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是“教會(huì)學(xué)生思考”.在日常的教育與教學(xué)中，教師可以從具體、計(jì)算量小的函數(shù)模型出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生理解掌握極值點(diǎn)偏移問題的解題策略與通法；可以從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平出發(fā)，設(shè)計(jì)合理的“精致練習(xí)”，循序漸進(jìn)地訓(xùn)練學(xué)生分析問題的能力，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，解決實(shí)際問題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和動(dòng)力，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的提高.

參考文獻(xiàn)：

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[3陳炳泉.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考一類常見導(dǎo)數(shù)題思考與探索[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（4）：45-48.Z