波利亞解題思想在新定義問題中的啟發(fā)

新高考數(shù)學(xué)試題貫徹考試內(nèi)容改革要求，銳意改革探索.新定義問題通過創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)，以全新的試題情境、問題呈現(xiàn)方式和設(shè)問方式來增強(qiáng)試題的選拔功能，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)探索性、創(chuàng)新性思維品質(zhì).2024年新高考I卷第19題通過呈現(xiàn)有關(guān)數(shù)列的新定義，以問題搭建橋梁，引導(dǎo)學(xué)生深人探索，有效考查了學(xué)生的“四基\"“四能”，是核心素養(yǎng)的真實(shí)落地[1].

在當(dāng)下多元化的教學(xué)與考試情境中，為了加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想與創(chuàng)新思維的鍛煉，眾多學(xué)者基于不同類型的題目，提出了各具針對(duì)性的解題理論，其中較為突出的就是波利亞解題思想.波利亞圍繞“怎樣解題”這一中心來開展數(shù)學(xué)研究，他把數(shù)學(xué)解題過程歸結(jié)為4個(gè)階段： ① 理解題目， ② 擬定計(jì)劃， ③ 實(shí)現(xiàn)計(jì)劃， ④ 回顧.由此，本文對(duì)于新定義問題，基于波利亞解題思想的理論應(yīng)用，分析數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第19題學(xué)生的思維生成過程，探索該題目對(duì)學(xué)生相關(guān)數(shù)學(xué)能力的考查要求.

1試題呈現(xiàn)

設(shè) Σ_m 為正整數(shù)，數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是公差不 為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項(xiàng) a_i 和 a_j（i1，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j）- 可分?jǐn)?shù)列.

（1）寫出所有的 （i，j），1?i?j?6 ，使數(shù)列 a₁ 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列；

（2）當(dāng) m?3 時(shí)，證明：數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是（2，13）－可分?jǐn)?shù)列；

（3）從 1，2，…，4m+2 中一次任取兩個(gè)數(shù) i 和 j （ ?i1，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列的概率為 P_m ，證明：

2題目解答

由于前兩問思路較為簡(jiǎn)單，過程簡(jiǎn)便，解法從略，下面重點(diǎn)對(duì)第（3）問利用波利亞“怎樣解題\"思想進(jìn)行解法探尋，根據(jù)解題提示語引導(dǎo)思路生成.

2.1理解題目

理解新定義創(chuàng)設(shè)的新語境，是學(xué)生解決問題過程中遇到的第一個(gè)困難.問題表征對(duì)問題解決有直接的影響，不僅考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語言和問題的理解水平，還要求學(xué)生具備很好的文字語言、符號(hào)語言的理解能力，正確的問題表征是解決問題的必要前提.這也與波利亞解題理論中第一階段“理解題目\"相呼應(yīng).在此階段，波利亞提出三個(gè)問題：

問題1這是一個(gè)什么問題？

這個(gè)問題是數(shù)列與古典概型問題.第（3）問中，考慮到對(duì)數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列的概率為 P_m 的求解，且每個(gè) （i，j） 是等可能的，所以關(guān)于 P_m 的計(jì)算為古典概型問題.

問題2條件是什么？

第（3）問的條件由兩部分組成.首先，根據(jù)題目給出的新定義的概念，可以得到可分?jǐn)?shù)列的內(nèi)在含義，即去掉兩項(xiàng)后，剩下部分可以分為若干個(gè)4項(xiàng)為一組的等差數(shù)列.其次，對(duì)第（1）問、第（2）問的解題過程和思路分析進(jìn)行提煉，得到的基本經(jīng)驗(yàn)也是解決第（3）

問的內(nèi)在條件.例如：由于公差不為0的等差數(shù)列中a_?m，a_?n，a_?P，a_?q 成等差數(shù)列等價(jià)于 m，n，p，q 成等差數(shù)列，因此該問題等價(jià)于數(shù)列 1，2，…，4m+2 是（i，j） 一可分?jǐn)?shù)列.

問題3 求什么？

分母的表達(dá)形式為 C_4m+2²=8m²+6m+1 是確定的.所以，求出使得數(shù)列 1，2，…，4m+2 是 （i，j）- 可分?jǐn)?shù)列的 （i，j） 數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù) f（m） 就成了解決問題的關(guān)鍵.

對(duì)于本題，思考這三個(gè)問題有助于學(xué)生探索題目本質(zhì)，抽象表征問題.

2.2擬定計(jì)劃

問題4已知條件和未知量之間有什么關(guān)系？

已知條件指的是題中給出的新定義概念以及由前兩問得到的基本經(jīng)驗(yàn).未知量指的是所求的使得數(shù)列 1，2，…，4m+2 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列的 （i，j） 數(shù)對(duì)的個(gè)數(shù) f（m） .二者之間的關(guān)系為特殊和一般的關(guān)系.

由特殊到一般，采用初步探索的方式，往往可以發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系或歸納出相關(guān)結(jié)論.故而需要通過歸納猜想，找出解決問題的突破口.因此有以下兩個(gè)追問：

追問1：你能從第（1）問中推出相關(guān)規(guī)律并證明嗎？

考慮 m=1 時(shí)，數(shù)列 1，2，3，4，5，6 是（1，6）-可分?jǐn)?shù)列； m=2 時(shí)，數(shù)列 1，2，3，4，…，10 是（1，10）-可分?jǐn)?shù)列； m=3 時(shí)，數(shù)列 1，2，3，4，…，13，14 是（1，14）一可分?jǐn)?shù)列.對(duì)以上規(guī)律作出歸納猜想：數(shù)列1，2，…，4m+2 是 （1，4m+2） 一可分?jǐn)?shù)列，且余下的4m 個(gè)數(shù)分為 Σ_m 組公差為1的等差數(shù)列.由第（2）問的經(jīng)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)， Σ_m 數(shù)值的增加并不會(huì)影響原有的（i，j） 一可分.

猜想1：數(shù)列 1，2，…，4m+2 是 （1，4k+2） 一可分?jǐn)?shù)列， 0?k?m k∈N

證明： （i，j）=（1，4k+2），0?k?m，k∈N

（1）k=0 時(shí)， （i，j）=（1，2） ，剩余部分為3，4，…，4m+2 ，共 4m 個(gè)連續(xù)整數(shù)，依次取相鄰的4個(gè)整數(shù)共有 Σ_m 組，每組均是公差為1的等差數(shù)列；

（2）kgt;0 時(shí)， （i，j）=（1，4k+2） ，剩余部分為2，3，…，4k+1 和 4k+3，4k+4，…，4m+2 ，分別有4k，4（m-k） 個(gè)連續(xù)的整數(shù)，依次取相鄰的4個(gè)整數(shù)共有 Σ_m 組，每組均是公差為1的等差數(shù)列.

故猜想得證.

追問2：你能從第（2）問中推出相關(guān)規(guī)律并證明嗎？

表1

考慮第（2）問中，數(shù)列 1，2，…，13 是 （2，13）- 可分?jǐn)?shù)列應(yīng)會(huì)對(duì)第（3）問的解決提供重要的思路指引.觀察發(fā)現(xiàn)該類型的 （i，j） 數(shù)對(duì)是通過去掉第2項(xiàng)和倒數(shù)第2項(xiàng)數(shù)值獲得，且 m=3 時(shí)分為3組公差為3的等差數(shù)列.對(duì)于 m=2，m=3 ，通過觀察表1歸納得：數(shù)列 1，2，…，4m+2 ，當(dāng) m?2 時(shí)，是 （2，4m+1）- 可分，且剩余 4m 項(xiàng)分為 Σ_m 組公差為 m 的等差數(shù)列.

類比猜想1，可得猜想2：數(shù)列 1，2，…，4m+2 是 （2，4k+1） 一可分?jǐn)?shù)列，其中 2?k?m . k∈N

證明： （i，j）=（2，4k+1），2?k?m，k∈N 中，1，3，4，…，4k，4k+2 可分為 k 組公差 d=k 的等差數(shù)列，由于首項(xiàng)均不相同且公差相等，則不含重復(fù)項(xiàng)，且各項(xiàng)均在 1，3，4，…，4k，4k+2 中，因此前 4k 項(xiàng)可分.

又 4k+3，4k+4，…4m+2 共有 4（m-k） 個(gè)連 續(xù)的項(xiàng)，可依次得到 m-k 組等差數(shù)列，故得證.

我們需要求出關(guān)于 f（m） 的關(guān)系式，因此采用找出 f（m） 與 f（m+1） 的遞推關(guān)系式來解決.

2.3問題解決

具體解法如下：

記數(shù)列 1，2，…，4m+2 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列的（i，j） 數(shù)對(duì)共有 f（m） 個(gè).數(shù)列 1，2，…，4m+6 中的（i，j） 數(shù)對(duì)共有 f（m+1） 個(gè).其中數(shù)列 5，6，… 4m+6 為等差數(shù)列，且有 4m+2 項(xiàng)，則其 （i，j） 數(shù)對(duì)有f（m） 個(gè).

由猜想1結(jié)論可知 （i，j）=（1，4k+2），0?k? m+1，k∈N ，使得 1，2，…，4m+6 為 （i，j） 一可分，滿足條件的 k 有 m+2 個(gè)；

由猜想2結(jié)論可知 （i，j）=（2，4k+1），2?k? m+1，k∈N ，使得 1，2，…，4m+6 為 （i，j） 一可分，滿足條件的 k 有 Ψ_m 個(gè).所以， f（m+1）?f（m）+m+2+m ，整理得

由累加法可得 f（m）-f（1）≥2[m+（m-1）+ …^-] ，則 f（m）≥m²+m+1. 所以 成立.

2.4回顧

問題5你能以不同的方法推導(dǎo)這個(gè)結(jié)論嗎？

在推導(dǎo)遞推關(guān)系時(shí)，我們可以考慮由容斥原理，得到 f（m+1） 與 f（m），f（m-1） 的關(guān)系.

思路分析：記數(shù)列 1，2，…，4m+2 是 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列的 （i，j） 數(shù)對(duì)共有 f（m） 個(gè).數(shù)列 1，2，…，4m+ 6中的 （i，j） 數(shù)對(duì)共有 f（m+1） 個(gè).通過如圖1的示意圖，可以直觀表征出 f（m+1），f（m） 與 f（m-1） 之間的關(guān)系.

圖１

解析：（i）根據(jù)容斥原理， |A∪B|=|A|+|B|- |A∩B| ，可知 1，2，…，4m+2 與 5，6，…，4m+6 中的 （i，j） 數(shù)對(duì)共有 2f（m）-f（m-1） 個(gè).

（ii）由猜想1結(jié)論知 （i，j）=（1，4m+6），1，2 …+m+6 為 （i，j） 一可分.

（iii）由猜想2結(jié)論知 （i，j）=（2，4m+5），1，2 …+m+6 為 （i，j） 一可分.

由于以上3種情況 （i，j） 數(shù)對(duì)均不相同，因此f（m+1）≥2f（m）-f（m-1）+2 則有 [f（m+1）-f（m）]-[f（m）-f（m-1）]?2 從而 ：

所以 f（m）≥m²+m+1 ，以下步驟與上述解法相同.

問題6本題的關(guān)鍵之處是什么？

本題的關(guān)鍵之處分為三個(gè)部分：

在理解題目部分，需要學(xué)生將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語言轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)字問題.其次，在 P_m 的求解過程中，通過古典概率公式，將問題轉(zhuǎn)化為求解 （i，j） 數(shù)對(duì)f（m） 的值.考查了學(xué)生對(duì)數(shù)列和概率的知識(shí)本質(zhì)的理解，以及由特殊解決一般的基本思想方法.

在搭建經(jīng)驗(yàn)橋梁部分，學(xué)生需將前兩問解題的經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化，通過前兩問解決的簡(jiǎn)單思路，發(fā)現(xiàn)解決第（3）問的一般規(guī)律，明確學(xué)生需要強(qiáng)化從特殊到一般的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及發(fā)現(xiàn)問題的基本能力.

在建立遞推關(guān)系部分，需要學(xué)生具備分析求解f（m） 的能力，即考慮尋找 f（m） 與 f（m+1） 的遞推關(guān)系，進(jìn)而用累加法求出 f（m） 的具體表達(dá)式.

問題7你能對(duì)結(jié)論作進(jìn)一步推廣嗎？

將上述兩個(gè)猜想進(jìn)行推廣.

猜想1結(jié)論推廣：

考慮等差數(shù)列 a₁，a₂，…，a_4m+2 刪除前 4s 項(xiàng)后，剩余的項(xiàng)所組成的仍為題中所給形式的等差數(shù)列，那么相應(yīng)地可以對(duì)猜想1結(jié)論做出如下推廣：數(shù)列1，2，…，4m+2 是 （i，j）=（4s+1，4k+2），0?s?k?m s，k∈N 的 （i，j） 一可分?jǐn)?shù)列.

猜想2結(jié)論推廣：

類比于猜想1結(jié)論推廣的生成過程，可得到猜想2的結(jié)論推廣：數(shù)列 1，2，…，4m+2 是 （i，j）= 4s+2，4k+1），0?s?k-2?m-2，k∈N 的 （i，j）- 可分?jǐn)?shù)列.

基于猜想1與猜想2的推廣，本題還可以考慮以對(duì) s 與進(jìn)行分類討論的方式解決問題.此外，“隔板法”也不失為解決該問題的另一種優(yōu)秀的思路方法，在此本文不做大篇幅思路闡述.

3教學(xué)啟示

在日常教學(xué)中，對(duì)于新定義問題的教學(xué)，如何提高和培養(yǎng)學(xué)生的“四基\"“四能”，在此給出以下教學(xué)建議.

3.1思維融合，基礎(chǔ)先行

新定義題型要求學(xué)生有較強(qiáng)數(shù)學(xué)思維、方法融合能力和扎實(shí)基礎(chǔ)，需在內(nèi)化教材知識(shí)后探究多種思維、多知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)合解法.因此，教師講解教材基礎(chǔ)知識(shí)要清晰易懂，方法靈活，循序漸進(jìn)引導(dǎo)思維生成.

3.2應(yīng)用探究，推導(dǎo)踐行

新定義題型要求學(xué)生從所給定義出發(fā)探究、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題，這符合教學(xué)內(nèi)容生成規(guī)律.因此，日常教學(xué)中教師要加強(qiáng)知識(shí)生成講解，讓學(xué)生理解本質(zhì)，注重公式與定理推導(dǎo)的嚴(yán)謹(jǐn)性，培養(yǎng)歸納、類比推理等思想.

3.3教學(xué)著力，單元統(tǒng)籌

新定義題型要求學(xué)生綜合多單元知識(shí)探索解法，因此教師日常教學(xué)需注重知識(shí)系統(tǒng)性與邏輯性，以大單元教學(xué)為重點(diǎn)，關(guān)注知識(shí)關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識(shí)框架，助學(xué)生觸類旁通、舉一反三.

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部教育考試院.優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)突出思維能力考查—2024年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析[J].中國(guó)考試，2024（7）：79-85.

[2]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2018.Z