一次利用直觀想象解題帶來的風波

2025-09-28 00:00:00張波

中學數學·高中版 2025年9期

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱為《課標》）將高中數學學科核心素養的外延界定為數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，它們構成既相對獨立又相互交融的有機整體.直觀想象由“形成直觀”和“展開想象”兩個基本環節構成，高中數學課程標準中的直觀想象是狹義的直觀想象，主要指形成“幾何直觀”和展開“空間想象”.直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養.主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路[1-2].

在實際問題的處理中，學生基本上可以借助直觀想象的路徑解決數學問題，但是從解決問題的實際效果來看，學生只是停留在借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化，對于認識運動規律與利用圖形描述、分析數學問題，以及建立形與數的聯系方面還需要進一步培養.

1疑問呈現

在一次向量的訓練中，偶遇了一道題：平面向量^m，n 滿足 n 與 n-m 的夾角為且 ∣λn-m∣=∣λn∣ 中 λgt;0 ），則正實數λ（）.

A.有最小值，但無最大值B.有最小值，但無最大值C.無最小值，但有最大值D.既無最小值，也無最大值解析：將 ∣λn-m∣=∣λn∣ （ λgt;0 兩邊平方，得

所以cos ?m，n?gt;0 ，可得，則cos ?m，n?∈（0，1）

所以 λ 既無最小值也無最大值.

故選：D.

問題就這么解答？師生都充滿了疑惑.此解法中∣m∣ 與大小關系顯得較為模糊，該解答不得不令人生疑.

2疑問探究

問題1向量與向量 n-m 的夾角為有什么意義？

我們不妨畫出示意圖，如圖1.設向量，從向量 n 的

終點 N 引一條射線 NM^′ ，使得

是射線 NM^′ 上

圖1

的動點.設，向量 λn（λgt;0）與方向相同，記其終點為 N^′ ，則向量 .依題意 ∣ON^′∣= ∣MN^′∣ ，則 N^′ 是線段 OM 的垂直平分線與射線 ON 的交點.過點 o 作 OM₀⊥ON ，與射線 NM^′ 交于點M₀ ，點 M 在線段 NM₀ 上運動（不含端點 N，M₀ .下面分兩種情況：

（1）點 M 沿射線 NM^′ 向點 M_o 運動的過程中，點

N^′ 沿 ON 向右運動至無窮遠處.所以 λ 無最大值.（2）點 M 沿線段 NM₀ 向點 N 運動過程中，點 N^′

沿 NO 向左運動.點 M 無限接近點 N 時，點 N^′ 無限接

近于 ON 的中點 N₀ ，此時 λ 趨近于 .所以 λ 無最小值.

故選：D.

以上（1）（2）兩種分析近乎完美地將數與形結合起來，很好地回答了選項.但事實果真如此嗎？

問題2點 M 沿線段 NM₀ 向點 N 運動的過程中λ一定是遞減的嗎？（大部分學生感覺是遞減的.）

此時一位學生提出了另一種解法：

考慮到 n 與 n-m 的夾角為記 n-m=p ，則 m=n-p ，所以 λn-m=（λ-1）n+p ，從而

∣（λ-1）n+p∣=∣λn∣，

兩邊平方，得

（1-2λ）n²+p²+2（λ-1）n?p=0.

所以（1-2λ）|n|²+|p|²+（λ-1）|n||p|=0.

整理，得

令 Δ?0 ，得（λ-1）²-4（1-2λ）≥0 ，即 λ²+6λ-

3?0 ，解得

那么，λ不是有最小值嗎？

問題的焦點在于時是否符合題意？意義何在？

師生再次踏上探索之旅.

回到圖形上來，此時點 M 運動到點 M₁ 處，點 N 運動到N₁ 處，如圖2，此時

圖2

當時，方程 ① 即

解得

不妨設 |n|=1 ，則（204號

所以 N₁M₁⊥M₁N ，且 ·sin

所以 N₁ 是線段 OM₁ 的垂直平分線與 ON 的交點，符合題意.

所以 λ 有最小值

故選：A.

問題出在哪里呢？

問題3因為，說明點 M 沿 M^′N 向點N 運動的過程中，并不是越接近點 N，λ 就越小，猜想是不是先減小再增大，當點 M 運動到點 M₁ 時 λ 最小？

這個問題在問題1的情況（1）和（2）中可以得到解釋嗎？

回到圖3，由問題2知，當 M₁N₁⊥ MNM^′ 時 λ 取到最小值.假設 N₁ 向點O 運動到 N₂ 時，點 M₁ 向 N 運動到點 M₂ ，由平面幾何知識， ∣N₂M₂∣gt; ∣N₁M₁ 1.此時，與題設不符.為了確保 ∣λn-m∣=∣λn∣ .點 N₁ 只能向點 N 運動，說明 λ 要增大.